2021南充高二下学期期末数学（理）试题含答案

南充市2020—2021学年度下期高中二年级期末教学质量监测

理科数学

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.复数的共轭复数是（    ）

A. B. C. D.

2.双曲线的渐近线方程是（    ）

A.  B.

C.  D.

3.设函数则（    ）

A.1 B.2 C.3 D.

4.3个班分别从5个风景点中选择一处游览，不同选法的种数是（    ）

A B. C. D.

5.的展开式中的系数是（    ）

A.-84 B.-56 C.56 D.84

6.函数的最大值为（    ）

A.1 B. C. D.3

7.以正方体的顶点为顶点的三棱锥的个数为（    ）

A.70 B.64 C.60 D.58

8.设偶函数满足，则（    ）

A.  B.

C.  D.

9.若，，，则（    ）

A.  B.

C.  D.

10.在直三棱柱中，，，分别是，的中点，，则与所成角的余弦值为（    ）

A. B. C. D.

11.以抛物线的顶点为圆心的圆交于，两点，交的准线于，两点，已知，，则（    ）

A.2 B.4 C.6 D.8

12.若函数有两个极值点，则实数的取值范围是（    ）

A.  B.

C.  D.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知向量，，若，则_______.

14.设为等差数列的前项和，，，则_______.

15.若曲线在处的切线方程为，则_______.

16.抛物线的焦点为，其准线与双曲线有两个交点，，若，则双曲线的离心率为_______.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必需作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：共60分

17.随机抛掷一枚质地均匀的骰子，设向上一面的点数为.

（1）求的分布列；

（2）求和.

18.在中，内角，，的对边分别为，，，已知，，.

（1）求；

（2）求边上的高.

19.如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，.

（1）证明：平面；

（2）若，求二面角的正弦值.

20.已知抛物线的准线与轴的交点为.

（1）求的方程；

（2）若过点的直线与抛物线交于，两点.求证：为定值.

21.已知函数的最小值为0.

（1）求的值；

（2）若为整数，且对于任意的正整数，，求的最小值.

（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。

22.设，，，且，证明：

（1）；

（2）.

23.已知函数的图象过点.

（1）求；

（2）用反证法证明：没有负零点.

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理科数学试题参考答案及评分意见

一、选择题：

1.A     2.C     3.B     4.D     5.A     6.C     7.D     8.A     9.B     10.C

11.B     12.D

二、填空题：

13.-2 14.0 15.3 16.

三、解答题：

17.解：（1）的分布列为

（2）

；

18.解：（1）在中，

因为，

所以，

由正弦定理得，

由已知可得，

所以，

所以.

（2）在中，

因为

所以边上的高为

.

19.解：（1）证明：因为为正方形，

所以，

因为，

所以，

又因为，

所以平面，

平面，

所以，

同理可证，，

又，

所以平面.

（2）以为坐标原点，射线，，分别为

轴，轴，轴的正半轴建立空间直角坐标系，则

，，，，，

，

设平面的一个法向量为，

由，得

令，得，

由题意易得，平面，

所以是平面的一个法向量，

所以，

故二面角的正弦值为.

20.解：（1）由题意可得，

所以，

所以抛物线的方程为

.

（2）证明：由题意设直线的方程为，，，

联立得.

，，，

所以，.

所以

.

所以为定值.

21.解：（1）.

①若，则，单调递减，无最小值；

②若，则当时，，

当时，，

所以在单调递减，在上单调递增.

的最小值为，

所以.

（2）由（1）得，当时，，

即，即.

令得

所以.

故

又，且为整数

所以的最小值为3.

22.证明：（1）因为

.

所以（当且仅当时取等号）

（2）因为，

所以，

所以，

所以（当且仅当时取等号），

同理，

所以，

所以（当且仅当时取等号）

23.（1）解：因为函数的图象过点.

所以，

即，

解得，

所以.

（2）证明：假设函数有负零点，则，

故，

因为函数在上是增函数，

且，

所以，

所以，

所以，解得，

与相矛盾.

故假设不成立，即函数没有负零点.