2020安庆高三上学期期末数学（理）试题含答案
展开安庆市2019－2020学年度第一学期期末教学质量监测
高三数学（理科）试题
第I卷（选择题，共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设全集为，集合，，则
A． B． C． D．
2.是虚数单位，复数，则
A． B． C． D．
3.已知满足则
A. B. C. D.
4.二项式的展开式中的系数为
A. B. C. D.
5.中心在原点，焦点在轴上的双曲线的一条渐近线经过点，则它的离心率为
A． B． C． D．
6.某学校开展脱贫攻坚社会实践走访活动，学校安排了2名教师带队，4名学生参与，为了调查更具有广泛性，将参加人员分成2个小组，每个小组由1名教师和2名学生组成，到甲、乙两地进行调查，不同的安排方案共有
A．12种 B．10种 C．9种 D．8种
7.函数的图像大致是
A B C D
8.若满足则的最大值为
A. B. C. D.
9.在△ABC中，是中点，是中点，的延长线交于点则
A. B.
C. D.
10.已知数列的前项和为，且对于任意满足
则
A. B. C. D.
11.已知圆锥顶点为，底面的中心为，过直线的平面截该圆锥所得的截面是
面积为的正三角形，则该圆锥的体积为
A． B． C． D．
12.已知函数，给出下列四个命题：
① 的最小正周期为 ②的图象关于直线对称
③ 在区间上单调递增 ④ 的值域为
其中所有正确的编号是
A.②④ B．①③④ C．③④ D．②③
第II卷（非选择题，共90分）
本卷包括必考题和选考题两部分. 第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答. 第22题 ～第23题为选考题，考生根据要求作答.
二、填空题：共4小题，每小题5分共20分，将答案填写在答题卷中的相应区域，答案写在试题卷上无效。
13.曲线在点处的切线方程为__________．
14.设△ABC的内角所对的边分别为,若,
则__________．
15.设为等比数列的前项和，已知，则公比为为________．
16.已知函数，若实数满足，则_______．
三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤。答案写在试题卷上无效
17.（本题满分12分）
在△ABC中，角所对的边为，若，点在边上，且，.
（Ⅰ）若的面积为，求的长；
（Ⅱ）若,求的大小．
18.（本题满分12分）
在几何体中，，⊥平面，⊥平面，，.
（Ⅰ）设平面与平面的交线为直线，求证：∥平面；
（II）求二面角的正弦值．
19.（本题满分12分）
某学校开设了射击选修课，规定向、两个靶进行射击：先向靶射击一次，命中得分，没有命中得分，向靶连续射击两次，每命中一次得分，没命中得分；小明同学经训练可知：向靶射击，命中的概率为，向靶射击，命中的概率为，假设小明同学每次射击的结果相互独立．现对小明同学进行以上三次射击的考核．
（Ⅰ）求小明同学恰好命中一次的概率；
（Ⅱ）求小明同学获得总分的分布列及数学期望．
20.（本题满分12分）
如图，设是椭圆的左焦点，直线：与轴交于点，为椭圆的长轴，已知，且，过点作斜率为直线与椭圆相交于不同的两点 ，
（Ⅰ）当时，线段的中点为，过作交轴于点，求；
（Ⅱ）求面积的最大值．
21.（本题满分12分）
已知函数，
(Ⅰ)讨论的单调性；
(Ⅱ)设，若的最小值为，证明：．
请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。作答时请写清题号
- （本题满分10分）选修4–4坐标系与参数方程
在平面坐标系中中，已知直线的参考方程为（为参数），曲线的参数方程为（为参数）．设为曲线上的动点，
（Ⅰ）求直线和曲线的直角坐标方程；
（Ⅱ）求点到直线的距离的最小值．
23.（本题满分10分）选修4–5不等式选讲
设均为正数，
（Ⅰ）证明：；
（Ⅱ）若，证明．
安庆市2019－2020学年度第一学期期末教学质量监测
高三数学（理科）试题参考答案及评分标准
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分共60分。
1.解析：，，
，答案为B
2.解析：，答案为D
3.解析：，故答案为B
4.解析：通项为
令，则，，
答案为A
另：
5.解析：设双曲线的方程为，其渐近线为，
点在渐近线上，所以，由．答案为D
6.解析：采取分步计算 答案为A
7.解析：函数为偶函数，当，，答案为C
8.解析：画出可行域，可知经过点取得最大值，答案为D
9.解析：设，
因为三点共线，则，
所以
答案为A
10.解析：当时，
所以数列的从第2项起为等差数列，又，所以 ，
所以，，，，
答案为B
11.解析：∵过直线的平面截该圆锥所得的截面是面积为的正三角形，设正三角形边长为，则，解得，所以圆锥的高为，底面圆的直径为，所以该圆锥的体积为．答案为B
12.解析：
函数，，，故函数的最小正周期不是，故①错误．
由于，，∴， 故的图象不关于直线对称，故排除②．
在区间上，，，单调递增，故③正确．
当时，，
故它的最大值为，最小值为；当时，
，
综合可得，函数的最大值为，最小值为，故④正确．答案为．
二、填空题：共4小题，每小题5分共20分。
13.解析：由题意知，，所以曲线在点处的切线斜率，
故所求切线方程为，答案为 ．
14.解析：，由正弦定理得，，,，则答案为
15.解析：，以上相减可得，所以数列的公比为，
答案为3.
16.解析：易知为奇函数且为增函数，故
，，
答案为
三、解答题：本大题共6小题，共70分。
17.解析：（1）又由可得
由余弦定理可得，…………………………… 1分
所以， ………………………………………… 2分
因为的面积为，即，
所以，………………………………………………3分
在中,由余弦定理，得,
所以 ………………………………………………6分
（2）由题意得设,
在△ADC中，由正弦定理，得， ……………… ①
…………………7分
在△BCD中，由正弦定理
即 ………………② …………………8分
由①②可得所以………………………………………………9分
即，………………………………………………10分
由，解得……………………………………………11分
由解得
故或.…………………………………………12分
18.证明：(I) 因为⊥平面，⊥平面
所以， ………………1分
又因为平面，平面，
所以平面………………3分
平面平面，则
又平面，平面
所以平面 ………………6分
（II）建立如图所示的空间直角坐标系 ………………7分
因为，，.
所以
则，,,,………………8分
设平面的法向量为
,则即
令，则，所以………………………………9分
设平面的法向量为
,则即
取，则所以………………………………10分
…………………………11分
所以故二面角的正弦值………………………12分
19.解析：（Ⅰ）记：“小明恰好命中一次”为事件C，“小明射击靶命中”为事件, “该射手第一次射击靶命中”为事件，“该射手第二次射击靶命中”为事件，
由题意可知，，…………………………………2分
由于…………………………………4分
=；……………………………6分
（Ⅱ）……………………………7分
，，
，，
……………………………9分
0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | |
……………………………10分
.………………12分
20.解析：（Ⅰ）∵, ∴，又∵，
∴∴,
∴椭圆的标准方程为，…………2分
点的坐标为，点的坐标为
直线的方程为
即……………………………3分
联立可得设，
则，……………………………4分
所以，
直线的斜率为，直线的方程为………………………5分
令，解得即
所以……………………………6分
（Ⅱ）直线的方程为，当时，……………………………7分
当时，设，直线的方程为
联立可得，设
，解得或者
，……………………………8分
方法一：……………………………9分
点到直线的距离……………………………10分
当且仅当，即时（此时适合于△＞0的条件）取等号,
所以当时，直线为时，面积取得最大值为.
……………………………12分
方法二：……………………9分
即，…………………11分
当且仅当，即时（此时适合于△＞0的条件）取到等号。
∴所以当时，直线为时，面积取得最大值为.
…………………12分
21.解：(Ⅰ)
， …………………1分
设
所以在上单调递减，在上单调递增…………………………3分
，即…………………………………………5分
所以在上单调递增…………………………………………………6分
(Ⅱ)
，……………………………………………………………7分
设
， 设
，所以在上单调递增………………………………………8分
，即，所以在上单调递增…………………9分
所以在上恰有一个零点且…………10分
在上单调递减，在上单调递增
，…………………………11分
由(Ⅰ)知在上单调递增
所以
所以……………………………………………………………………12分
22.解析：（Ⅰ）由可得，所以即
所以直线直角坐标方程为.…………………………2分
由可得，所以
所以曲线的直角坐标方程为…………………………5分
（Ⅱ）设点，则，则
…………………………9分
当时取等号，此时所以点到直线的距离的最小值为
…………………………10分
23.证明：（Ⅰ）因为均为正数，由重要不等式可得
，，…………………………3分
以上三式相加可得
即得证.…………………………5分
（Ⅱ）因为由（Ⅰ）可知…………………………6分
故
所以得证.…………………………10分
2020安庆二中高二上学期期末考试数学（理）试题含答案： 这是一份2020安庆二中高二上学期期末考试数学（理）试题含答案
2020安庆高二上学期期末数学（理）试题含答案： 这是一份2020安庆高二上学期期末数学（理）试题含答案
2020西安中学高三上学期期末考试数学（理）试题含答案： 这是一份2020西安中学高三上学期期末考试数学（理）试题含答案
