2021全国百强名校“领军考试”高三下学期3月联考数学（文）含解析

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“领军考试”高三数学(文数)

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名，准考证号填写在本试题相应的位置。

2.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效。

3.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案用0.5mm黑色笔迹签字笔写在答题卡上。

4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合A＝{－3，－1，3，5，7}，B＝{x|x2－5x>0}，则A∩B＝

A.{7}     B.{5，7}     C.{－3，－1，7}     D.{－3，－1，5，7}

2.若x，y∈R，且＝1＋i，则|x－yi|＝

A.     B.     C.5     D.2

3.cos285°－sin285°的值为

A.     B.     C.－     D.－

4.菱形ABCD中AB＝BD＝1，点E为BC中点，则＝

A.     B.1     C.     D.

5.f(x)＝cosx＋(a＋2)x3＋ax2＋1的图象关于y轴对称，则f(x)的图象在x＝0处的切线方程为

A.y＝2     B.4x＋y－2＝0     C.4x－y＋2＝0     D.2x－y＝0

6.中国是发现和研究勾股定理最古老的国家之一，公元前1000多年的《周脾算经》就记载有勾股定理的一个特例，在国外古希腊的著名数学家毕达哥拉斯也发现了这个定理，历史上有很多勾股定理爱好者通过构造图形证明了勾股定理，下图就是其中一个，该图中四边形ABCD满足∠ABC＝∠DCB＝，AB＝CE＝a，BE＝CD＝b，在四边形ABCD内任取1点，则该点落在△ADE内的概率的最小值为

A.     B.     C.     D.

7.已知双曲线C：(a>0，b>0)的一条渐近线被圆x2＋y2－4x＝0截得的线段长为，则双曲线C的离心率为

A.     B.     C.     D.

8.设x＝0.890.98，y＝0.980.89，z＝log0.980.89，则

A.z>x>y     B.x>z>y     C.z>y>x     D.x>y>z

9.已知三楼锥P－ABC中，PC中点为D，AB中点为E，DE⊥PB，AC＝3，PB＝2，则异面直线AC与PB所成角的余弦值为

A.     B.     C.     D.

10.△ABC中角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a＋2c＝2bcosA，若△ABC的周长为15，且三边的长成等差数列，则△ABC的面积为

A.     B.     C.     D.

11.过地物线C：y2＝2px(p>0)焦点F的直线与抛物线C交于点A，B，与抛物线C的准线交于点P，且|AB|＝|BP|，则|AF||BF|＝

A.     B.     C.     D.

12.已知函数f(x)＝，若x1<x2，x1<x3，且f(x1)＝f(x2)，f(x1)＋f(x3)＝4，则的取值范围是

A.(－，0]     B.(－，0)     C.(－∞，0)     D.(－，0]

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.函数f(x)＝的值域为           。

14.已知实数x，y满足约束条件，则2x－y的取值范围是           。

15.已知函数f(x)＝sin(ωx＋)sin(ωx＋)(ω>0)，若存在α，β∈(－3，0)，对任意x∈R，f(α)≤f(x)≤f(β)，则ω的取值范围是           。

16.已知球O的半径为4，点A，B，C在球O的表面上，CA＝CB，且平面ABC⊥平面ABO，球O上的点到平面ABC的最大距离为5，则三棱锥O－ABC的体积为           。

三、解答题：共70分，解答题写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

(一)必考题：共60分。

17.(12分)

2020年11月24日我国使用长征五号运载火箭成功发射嫦娥五号月球探测器，12月17日嫦娥五号返回器携带月球样品在预定地区安全着陆，探月工程嫦娥五号任务取得圆满成功。某大学为此举行了与嫦娥系列探测工程有关的知识测试，测试满分为100分，该校某专业的100名大一学生参加了学校举行的测试，记录这100名学生的分数，将数据分成7组：[30，40)，[40，50)，…，[90，100]，并整理得到如下频率分布直方图：

(1)估计这100名学生测试分数的中位数；

(2)若分数在[30，40)，[40，50)，[50，60)上的频率分别为p1，p2，p3，且2p1＋p2＝0.05，估计100名学生测试分数的平均数；

(3)把分数不低于80分的称为优秀，己知这100名学生中男生有70人，其中测试优秀的男生有45人，填写下面列联表并根据列联表判断是否有95%的把握认为测试优秀与性别有关：

附：

。

18.(12分)

已知数列{an}满足a1＝2，an＋1＝an－，bn＝an－。

(1)求证：数列{bn}是等比数列；

(2)设数列{an}的前n项的和为Sn，求证：Sn<。

19.(12分)

如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD为菱形，四边形ADEF为正方形，DE＝BD＝1，CE＝，点G为AD中点，点H为DE中点。

(1)求证：平面ADEF⊥平面ABCD且FH⊥BE；

(2)求三棱锥B－CEG的体积。

20.(12分)

已知斜率为的直线l与椭圆C：交于点A、B，线段AB中点为D(－1，1)，直线l在y轴上的截距为椭圆C的长轴长的倍。

(1)求椭圆C的方程；

(2)若点P，Q，M，N都在精圆C上，且PQ，MN都经过椭圆C的右焦点F，设直线PQ，MN的斜率分别为k1，k2，k1＋k2＝－1，线段PQ，MN的中点分别为G，H，判断直线GH是否过定点，若过定点，求出该定点，若不过定点，说明理由。

21.(12分)

已知f(x)＝ax2＋(a－1)lnx＋a。

(1)若f(x)有极大值或极小值，求a的取值范围；

(2)若a>0，求证：x>1时f(x)>1＋(2a－1)。

(二)选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分。

22.[选修4－4：坐标系与参数方程](10分)

在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(t为参数)。在以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2的极坐标方程为ρ(cosθ＋sinθ)＝a。

(1)求曲线C1及曲线C2的直角坐标方程；

(2)若射线θ＝(ρ>0)与曲线C1及曲线C2交于同一点A，求曲线C1与曲线C2另一个交点B的极坐标。

23.[选修4－5：不等式选讲](10分)

已知f(x)＝|x－a|＋x2。

(1)若a＝2，求不等式f(x)≥|x＋2|的解集；

(2)若0≤x≤1时f(x)<2，求实数a的取值范围。