2021上海嘉定区高三下学期4月第二次质量调研测试（二模）数学试题含答案

嘉定区2020学年高三年级第二次质量调研测试

数 学 试 卷

一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）

考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．

1．已知集合，，则____________．

2．已知复数满足（为虚数单位），则____________．

3．已知等差数列满足，则____________．

4．若实数、满足，则的最大值为_____________．

5．已知函数 （，且）．若的反函数的图像经过点，则_____________．

6．《九章算术》中，称四个面均为直角三角形的四面体为“鳖臑”．

已知某“鳖臑”的三视图如图所示，则该“鳖臑”的体积为

_____________．

7．已知正数、满足，则的最小值为___________．

8．设数列的前项和为，且满足，

则___________．

9．将的二项展开式的各项重新随机排列，则有理项互不相邻的概率为_______．

10．已知点、是双曲线 （，）的左、右顶点，点是该双曲线上异于、的另外一点，若是顶角为的等腰三角形，则该双曲线的渐近线方程是_____________．

11．已知函数若对任意的，都存在唯一的，满足，则实数的取值范围是______________．

12．在平面直角坐标系中，起点为坐标原点的向量满足，且， （）．若存在向量、，对于任意实数，不等式成立，则实数的最大值为___________．

二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在

    答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．

13．“函数 （、，且）的最小正周期为”是“”的（    ）．

（A）充分非必要条件                   （B）必要非充分条件

（C）充要条件                         （D）既非充分又非必要条件  

14．已知一组数据、、、、的平均数是，则这组数据的方差是            （    ）．

（A）               （B）             （C）             （D）

15．设直线与椭圆交于、两点，点在直线上．

若，则实数的取值范围是                                    （    ）．

（A）  （B）  （C）  （D）

16．已知函数，则不等式

的解集为        （    ）．

（A）  （B）  （C）  （D）

三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤．

17．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）

在矩形中，，，矩形绕旋转形成一个圆柱．

如图，矩形绕顺时针旋转至，线段的中点为．

（1）求证：；

（2）求异面直线与所成的角的大小（结果用反三角函数值表示）．

18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）

设常数，函数．

（1）若函数是奇函数，求实数的值；

（2）若函数在时有零点，求实数的取值范围．

19．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）

某居民小区为缓解业主停车难的问题，拟对小区内一块扇形空地进行改造．如图所示，平行四边形区域为停车场，其余部分建成绿地，点在围墙弧上，点和点分别在道路和道路上，且米，，设．

（1）当时，求停车场的面积（精确到平方米）；

（2）写出停车场面积关于的函数关系式，并求当为何值时，停车场面积取得最大值．

20．（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）

已知抛物线的焦点为，点在抛物线上．

（1）求抛物线的方程；

（2）若，求点的坐标；

（3）过点 （）作两条互相垂直的直线分别交抛物线于、、、四点，且点、分别为线段、的中点，求的面积的最小值．

21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）

已知数列满足：，，，为数列的前项和．

（1）若是递增数列，且成等差数列，求的值；

（2）已知，且是递增数列，是递减数列，求数列的通项公式；

（3）已知，对于给定正整数，试探究是否存在一个满足条件的数列，使得．若存在，写出一个满足条件的数列；若不存在，请说明理由．

嘉定区2020学年高三年级第二次质量调研测试

数 学 试 卷

一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）

考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．

1．已知集合，，则____________．

【答案】

【解析】因为，所以. 

2．已知复数满足（为虚数单位），则____________．

【答案】

【解析】因为，所以，所以

3．已知等差数列满足，则____________．

【答案】

【解析】设等差数列的首项为，公差为，因为，

        所以，整理得，即.

4．若实数、满足，则的最大值为_____________．

【答案】

【解析】画出可行性区域，由图可知直线在过点时最大，即

5．已知函数 （，且）．若的反函数的图像经过点，则_____________．

【答案】

【解析】由题意得的图像经过点，所以，

        所以，所以.

6．《九章算术》中，称四个面均为直角三角形的四面体为“鳖臑”．

已知某“鳖臑”的三视图如图所示，则该“鳖臑”的体积为

_____________．

【答案】

【解析】由三视图得该几何体是底面为直角边为3和4的直角三角形，

高为4的三棱锥，故体积.

7．已知正数、满足，则的最小值为___________．

【答案】

【解析】因为，所以，

        当且仅当且，即时取等号，

所以的最小值为.

8．设数列的前项和为，且满足，则___________．

【答案】

【解析】（*），当时，，即；

        当时，（**），

        （*）和（**）相减得，所以数列是的等比数列，

        所以.

9．将的二项展开式的各项重新随机排列，则有理项互不相邻的概率为_______．

【答案】

【解析】的展开式的通项为，

        当时，为有理项，一共4项，

        当时，为无理项，一共4项，

        要使得有理项互不相邻，采用插空法，先把无理项排好，再把有理项插到无理项的

5个空档中，共有种情况，全部的情况有种，

故所求概率.

10．已知点、是双曲线 （，）的左、右顶点，点是该双曲线上异于、的另外一点，若是顶角为的等腰三角形，则该双曲线的渐近线方程是_____________．

【答案】

【解析】根据对称性，不妨设在第一象限，因为是顶角为的等腰三角形，

所以，所以点的坐标为，

即代入双曲线方程，解得，

故双曲线的渐近线方程为.

11．已知函数若对任意的，都存在唯一的，满足，则实数的取值范围是______________．

【答案】

【解析】【法1】当时，．因为，

而，当且仅当，即时，等号成立，所以的取值范围是．

由题意及函数

的图像与性质可得 

或 ，如右上图所示．解得 或 ，所以所求实数的取值范围是 ．

【法2】当时，，即，因为，当且仅当，即时，等号成立，所以的取值范围是；

当时，

（1）若，则  （），它是增函数，此时的取值范围是．由题意可得 ，解得 ，又，所以 ；

（2）若，则．函数在上是增函数，此时的取值范围是；而函数在上是减函数，此时的取值范围是．由题意可得 ，解得，又 ，所以 ．

综上，所求实数的取值范围是 ．

12．在平面直角坐标系中，起点为坐标原点的向量满足，且， （）．若存在向量、，对于任意实数，不等式成立，则实数的最大值为___________．

【答案】

【解析】由题意可得的夹角为．可设，，则点、在单位圆上，点、在直线上，如图所示．根据、的任意性，即求点、到直线距离之和的最小值，即 （点、分别是点、在直线上的射影点）；同时根据的存在性，问题转化为求的最大值．设的中点为，设点、在直线上射影点分别为、，则

，

当且仅当点、、依次在一条直线上时，等号成立．

所以，即所求实数的最大值是．

二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．

13．“函数 （、，且）的最小正周期为”是“”的（    ）．

（A）充分非必要条件                   （B）必要非充分条件

（C）充要条件                         （D）既非充分又非必要条件  

【答案】B

【解析】最小正周期，故，故为必要非充分条件，选B.

14．已知一组数据、、、、的平均数是，则这组数据的方差是            （    ）．

（A）               （B）             （C）             （D）

【答案】A

【解析】由题意得，

        所以方差，故选A.

15．设直线与椭圆交于、两点，点在直线上．

若，则实数的取值范围是                                    （    ）．

（A）  （B）  （C）  （D）

【答案】A

【解析】椭圆方程为，易得关于原点对称，所以，

        所以，故原点到直线的距离，

        解得或，故选A.

16．已知函数，则不等式

的解集为        （    ）．

（A）  （B）  （C）  （D）

【答案】A

【解析】设函数，则函数是定义域为，且单调递增的奇函数，

所以是定义域为的增函数，

且其图像关于点对称，即有，即 ．

由得 ，

即，

即，所以 ，解得 ．所以选A．

三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤．

17．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）

在矩形中，，，矩形绕旋转形成一个圆柱．

如图，矩形绕顺时针旋转至，线段的中点为．

（1）求证：；

（2）求异面直线与所成的角的大小（结果用反三角函数值表示）．

【解析】解：（1）由题意知，…………2分

因为是圆柱的一条母线，所以垂直于圆柱的底面，

则得 ，即…………………………………4分

又因为 ，且 、平面，

所以 平面，因为 平面，

所以 ．  ………………………………………………6分

（2）联结．由题意知，∥，

所以异面直线与所成的角等于直线与直线

所成的角．…………………………………………2分

在中，，

，,……………………………4分

由余弦定理得 ,

．   …………………………………………………………7分

所以异面直线与所成的角的大小为．  ……………………8分

18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）

设常数，函数．

（1）若函数是奇函数，求实数的值；

（2）若函数在时有零点，求实数的取值范围．

【解析】（1）【法1】函数的定义域为．

因为函数是奇函数，所以．

设，则得 ，即 ，即 ，代入，

得，解得 ．…………………………………………………4分

此时．

又因为 ，即 ，

所以是奇函数．

因此所求实数的值为 ．……………………………………6分

【法2】函数的定义域为．

因为函数是奇函数，所以．

即 ，……………2分

即 ，

即 ，即 对任意都成立，

所以 ，解得 ．

因此所求实数的值为………………………………………6分

（2）解：设，

即关于的方程在区间上有实数解．……2分

设，因为 ，所以 ，

于是原问题等价于关于的方程（*）在区间上有实数解．……………………4分

当时，方程（*）不成立，所以，于是方程（*）可化为   （），

即函数与函数 （）的图像有公共点．……………………………………………6分

因为函数 （）为增函数，则得该函数的值域为 ，

所以 ，解得 ，

即所求的实数的取值范围是 …………………………………………………8分

19．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）

某居民小区为缓解业主停车难的问题，拟对小区内一块扇形空地进行改造．如图所示，平行四边形区域为停车场，其余部分建成绿地，点在围墙弧上，点和点分别在道路和道路上，且米，，设．

（1）当时，求停车场的面积（精确到平方米）；

（2）写出停车场面积关于的函数关系式，并求当为何值时，停车场面积取得最大值．

【解析】解：（1）在中，,

，

由正弦定理得，

即 ，即……2分

则停车场面积

（平方米），

即停车场面积约为平方米．……………………………………6分

（2）在中，,．

由正弦定理得，

即 ，即 ． ……………………………2分

则停车场面积

，

即 ，其中 ．……………………………4分

即 ，

即

．…………………6分

因为，所以 ，

则当，即 时，停车场面积取得最大值．

所以当时，停车场面积取得最大值．    …………………………………8分

20．（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）

已知抛物线的焦点为，点在抛物线上．

（1）求抛物线的方程；

（2）若，求点的坐标；

（3）过点 （）作两条互相垂直的直线分别交抛物线于、、、四点，且点、分别为线段、的中点，求的面积的最小值．

【解析】（1）解：因为抛物线的焦点为，即 ，解得………2分

所以所求抛物线的方程为 …………………………4分

（2）解：设点．

由抛物线的定义得 ……………………2分

令 ，解得……………………………………3分

因为点在抛物线上，所以，把代入，解得 ，………5分

因此所求点的坐标为或………………6分

（3）【法1】根据题意，直线、的斜率存在，且不为零，

可设直线的斜率为，则直线的斜率为，

则直线的方程为，直线的方程为，

设、．

由消去，并整理得 ，  ………………2分

由一元二方程根与系数的关系得 ，

所以，

即 ，因此．…………………………………………3分

同理可得 ……………………………………4分

所以，

，

于是，

当且仅当，即时，等号成立．

所以的面积的最小值等于． …………………………………………6分

【法2】根据题意得、的斜率存在，且不为零．

可设直线的方程为，则直线的方程为

，设、．

由得 ， ……………………………………………2分

由一元二方程根与系数的关系得 ，

则得 ，，

所以． ……………………………………………………………3分

同理可得 ．  …………………………………………………4分

所以，，

于是，

当且仅当，即时，等号成立．

所以的面积的最小值等于 ． …………………………………6分

21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）

已知数列满足：，，，为数列的前项和．

（1）若是递增数列，且成等差数列，求的值；

（2）已知，且是递增数列，是递减数列，求数列的通项公式；

（3）已知，对于给定正整数，试探究是否存在一个满足条件的数列，使得．若存在，写出一个满足条件的数列；若不存在，请说明理由．

【解析】解：（1）因为是递增数列，所以．

因为，所以 ，．…………………………………2分

又因为成等差数列，所以，即

即，解得或．

当时，，这与是递增数列相矛盾，所以．…………………4分

（2）因为是递增数列，则有，

于是  ①

因为，所以       ②

由①、②得，，

因此，即      ③   …………………2分

又因为是递减数列，则有，于是  ④

因为，所以      ⑤

由④、⑤得，，

因此，即    ⑥

由③、⑥可得． …………………………………4分

于是当时，

即 ．………………………………………………………5分

当时，代入上式得，与已知条件相吻合．

所以所求数列的通项公式是 ，．……………6分

（3）当或 （）时，存在数列，使得．…………2分

此时数列满足，

则有，，

即．  ……………………………………………………………………4分

当或 （）时，不存在数列，使得．……6分

理由如下：因为，所以 ；

又因为为奇数，则当时，为奇数，为偶数， ……………7分

所以当时，为奇数，为偶数，

因此，均不可能成立．

于是当或 （）时，不存在数列，使得．…8分