2021芜湖高三下学期5月教育教学质量监控数学（理）试题含答案

2020-2021学年度第一学期芜湖市中小学校教育教学质量监控

高三年级数学（理科）试题卷

本试卷共4页，23小题，满分150分．考试用时120分钟

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、学校、考场/座位号、班级、准考证号填写在答题卷上．将条形码横贴在答题卷右上角“条形码粘贴处”．

2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卷上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试题卷上．

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答无效．

4．考生必须保证答题卷的整洁，考试结束后，将试题卷和答题卷一并交回．

第Ⅰ卷（选择题，共60分）

一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）

1．已知集合，，则（    ）

A． B．  C．  D．

2．若复数z满足，则（    ）

A． B． C． D．

3．多年来，某市持续推动创建文明城市工作，通过净化出行环境、改造生活设施、扩建园林绿化等，空气质量稳步提升．如图是空气质量指数与相应等级对照表以及该市12月21日至第二年1月10日的空气质量指数图，下面结论中不正确的是（    ）

A．1月上旬的空气质量等级总体优于12月下旬空气质量等级

B．以上21天中12月30号空气质量等级为优，空气质量最佳

C．1月上旬空气质量指数比12月下旬的波动性更大

D．以上21天空气质量指数的中位数对应的等级为良

4．已知等差数列的前项和为，，，则（    ）

A．0 B．15 C．20 D．30

5．函数的部分图象大致为（    ）

A．            B．

C．            D．

6．已知为抛物线的焦点，点在抛物线上，，若线段的中点到准线的距离为4，则为（    ）

A．1 B． C．2 D．4

7．已知，则曲线在点处的切线方程为（    ）

A．  B．

C．  D．

8．在中，，边上的高为1，则面积的最小值为（    ）

A． B． C． D．

9．现有甲、乙、丙3位同学在周一至周五参加某项公益劳动，要求每人参加一天且每天至多安排一人，并要求甲同学安排在另外两位前面，则不同的安排总数为（    ）

A．10 B．20 C．40 D．60

10．意大利著名天文学家伽利略曾错误地猜测链条自然下垂时的形状是抛物线．直到1690年，雅各布·伯努利正式提出该问题为“悬链线”问题并向数学界征求答案．1691年他的弟弟约翰·伯努利和莱布尼兹、惠更斯三人各自都得到了正确答案，给出悬链线的数学表达式—双曲余弦函数：（为自然对数的底数）．当，时，记，，，则的大小关系为（    ）

A．  B．

C．  D．

11．设函数．若对任意的实数都成立，且，在单调，则（    ）

A．，  B．，

C．，  D．，

12．已知正方体的棱长为2，，中点分别为，，若过的平面截该正方体所得的截面是一个五边形，则该五边形周长的最大值为（    ）

A．  B．

C．  D．

第Ⅱ卷（非选择题，共90分）

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，请将答案填写在答题卷的横线上．）

13．已知向量，，，则实数的值为          ．

14．在平面直角坐标系中，以轴非负半轴为始边，角与角的终边关于轴对称，若，则的值为          ．

15．已知正四棱锥的体积为18，侧棱与底面所成的角为，则该正四棱锥外接球的表面积为          ．

16．已知双曲线的左、右焦点为，点为双曲线的渐近线上一点，，若直线与圆相切，则双曲线的离心率为          ．

三、解答题（共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．）

（一）必考题：共60分．

17．（12分）

设数列的前项和为，已知，．

（1）求数列的通项公式；

（2）设，记数列的前项和为，求证：．

18．（12分）

在四棱台中，底面是边长为2的菱形，，，平面．

（1）是棱的中点，求证：平面；

（2）试问棱上是否存在点，使得二面角的余弦值是？若存在，求点的位置；若不存在，请说明理由．

19．（12分）

“直播带货”是指通过一些互联网平台，使用直播技术进行商品线上展示、咨询答疑、导购销售的新型服务方式．某高校学生会调查了该校100名学生2020年在直播平台购物的情况，这100名学生中有男生60名，女生40名．男生中在直播平台购物的人数占男生总数的，女生中在直播平台购物的人数占女生总数的．

（1）填写列联表，并判断能否有99%的把握认为该校学生的性别与2020年在直播平台购物有关？

（2）若把这100名学生2020年在直播平台购物的频率作为该校每个学生2020年在直播平台购物的概率，从全校所有学生中随机抽取4人，记这4人中2020年在直播平台购物的人数与未在直播平台购物的人数之差为，求的分布列与期望．

附：

，．

20．（12分）

已知椭圆的离心率，且椭圆经过点．

（1）求椭圆的方程；

（2）椭圆的右焦点为，过点作两条倾斜角互补的直线分别交椭圆于，两点，证明：．

21．（12分）

已知函数．

（1）讨论的单调性；

（2）函数，当时，讨论零点的个数．

（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分

22．[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）

在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．

（1）当为参数时，曲线与仅有一个公共点，求；

（2）当为参数时，曲线与相交于，，且，求．

23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）

已知函数．

（1）求不等式的解集；

（2）若为的最小值，实数满足，求证．

2020-2021学年度第一学期芜湖市中小学校教育教学质量监控

高三年级数学（理科）试题参考答案

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13．3 14． 15． 16．2

三、解答题（本大题共7小题，共70分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）

（一）必做题（共5小题，每小题12分，共60分）

17．（12分）

解：（1），

，即．

又，，

，，

也满足．

是以1为首项，2为公比的等比数列，

．

（2）由（1）知

，

．

18．（12分）

（1）证明：连，由，得，

故四边形为平行四边形．

，平面，平面，

所以平面．

（2）假设点存在，取中点，

因为底面是菱形，，

所以，，

又面，

所以两两互相垂直．

以为坐标原点，为正方向建立空间直角坐标系．

由，得，

设，其中．

，

，．

设为平面的一个法向量，

则即

可取．

易知平面一个法向量为，

由，

得，故为边上靠近的四等分点．

19．（12分）

解：（1）列列联表：

．

故没有的把握认为该校学生的性别与2020年在直播平台购物有关．

（2）设这4人中2020年在直播平台购物的人数为，

则，且，

，故，

且，

，

，

，

．

所以的分布列为

，，

即．

20．（12分）

（1）解：因为椭圆的离心率为，

，，

即，

又因为椭圆过点，

所以，解得，

椭圆的方程为．

（2）证明：设直线的方程为，

因为直线与直线的倾斜角互补，

所以直线的方程可设为，

联立

得．

设，，

则．

．

同理可得．

．

又，，

所以．

21．（12分）

解：（1）函数的定义域为，．

①当时，，所以在上单调递减；

②当时，令得．

若，；

若，；

所以在单调递减，在单调递增．

综上所述，当时，在上单调递减．

当时，在单调递减；在单调递增．

（2）

设函数

因为，所以得．

当时，，在上单调递减．

当时，，在上单调递增．

所以当时，取最小值，最小值为．

若时，，所以函数只有1个零点；

若时，，所以函数无零点；

若时，，

，

，

故，；

所以函数在和各有一个零点，

所以函数有两个零点．

综上所述，当时，函数只有1个零点；

当时，函数无零点；

当时，函数有两个零点．

（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．

22．（10分）

解：（1）曲线的直角坐标方程为，

当为参数时，曲线的直角坐标方程为，

又曲线与只有一个公共点，

故与的位置关系是外切或内切．

（i）当与外切时，．解得；

（ii）当与内切时，，解得．

故或者．

（2）当为参数时，曲线为过点的直线，

又曲线是半径为2的圆，且，

则直线过的圆心，

则直线的斜率，

因为，所以．

23．（10分）

解：（1），

当时，由得，

当时，由得，

当时，由得，

综上知：不等式的解集为．

（2）由题意可知，则，

则

（当且仅当，，时取等号）