2021晋中高三下学期5月统一模拟考试（三模）数学（理）含答案

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试卷类型：B

2021年普通高等学校招生统一模拟考试

数学(理科)

(本试卷考试时间120分钟，满分150分)

★祝考试顺利★

注意事项：

1.答题前，考生务必将自己的学校、姓名、班级、准考证号填写在答题卡上相应的位置。

2.全部答案在答题卡上完成，答在本试卷上无效。

3.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案用0.5毫米及以上黑色笔迹签字笔写在答题卡上。

4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合M＝{x|(x＋2)(x－1)<0}，N＝{x|(x＋1)(x－2)＝0}，则M∩N等于

A.{－1}     B.{2}     C.{－1，1}     D.{－2，2}

2.已知i为虚数单位，则复数z＝等于

A.     B.     C.     D.

3.现有甲、乙、丙、丁4人，若将4人随机分配到两所学校去工作，要求每所学校两人，则甲、乙恰好被分到同一所学校的概率为

A.     B.     C.     D.

4.已知M为抛物线C：x2＝2py(p>0)上一点，点M到C的焦点F的距离是它到x轴距离的5倍，是它到直线2y＋3＝0距离的2倍，则p等于

A.1     B.2     C.4     D.8

5.两个底角为72°，顶角为36°的等腰三角形是一种黄金三角形，其底与一腰的长度比称为黄金比值。若该黄金比值可以表示为2sinθ(其中θ为锐角)，则θ等于

A.9°     B.12°     C.18°     D.36°

6.(x＋y)4(x－y)4的展开式中x4y4的系数为

A.－6     B.－4     C.4     D.6

7.为了预防新冠肺炎病毒，晋中某商场需要通过喷洒药物对商场内部空间进行全面消毒，出于对顾客健康的考虑，卫生部门规定空气中这种药物的浓度不超过0.25毫克/立方米时。顾客方可进入商场，已知从喷洒药物开始，商场内部的药物浓度y(毫克/立方米)与时间t(分钟)之间的函数关系为y＝(a为常数)。如果该商场规定顾客早上最早10点可以进入商场，那么开始喷洒药物的时间最迟是

A.9：40     B.9：30     C.9：20     D.9：10

8.已知函数f(x)＝cos(ωx＋φ)(ω>0，－π<φ<0)为奇函数，将y＝f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变)，得到函数y＝g(x)的图象，若g(x)的最小正周期为4π，则f(π)等于

A.－1     B.     C.     D.1

9.函数f(r)＝lnx＋x2－ax(x>0)在[，3]上有且仅有一个极值点，则实数a的取值范围是

A.(，)     B.[，)     C.(，]     D.[2，]

10.已知tan(α－β)＝，tan(α＋β)＝2，α∈(0，)，则tanβ等于

A.－3     B.     C.－3或     D.1或－

11.已知双曲线C：(a>0，b>0)的左.右焦点分别为F1，F2，过F1的直线l与圆x2＋y2＝a2相切于点T，且直线l与双曲线C的右支交于点P，若，则双曲线C的离心率为

A.     B.     C.     D.

12.在正四棱锥P－ABCD中，已知PA＝AB＝2，O为底面ABCD的中心，以点O为球心作一个半径为的球，则该球的球面与侧面PCD的交线长度为

A.     B.     C.     D.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.若x，y满足约束条件，则z＝x－y的最大值为           。

14.若向量m＝(0，－2)，n＝(，1)，写出一个与2m＋n垂直的非零向量           。

15.我国有一种容器叫做“方斗”，“方斗”的形状是一个上大下小的正四棱台。如果一方斗的高为3分米(即该方斗上、下两底面的距离为3分米)，上底边长为6分米，下底边长为4分米，则此方斗外表面的侧面积为           平方分米。

16.在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，bsinC＋asinA＝bsinB＋csinC，c＋2b＝4，点D在线段BC上，且BD＝2DC，则AD的最小值为           。

三、解答题：共70分。解答题写出文字说明证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

(一)必考题：共60分。

17.(12分)在①a3＋a5＝5，S4＝7；②4Sn＝n2＋3n；③a1＝2d，a5是a3与的等比中项，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，然后解答补充完整的题目。

已知Sn是等差数列{an}的前n项和，d为公差，若           。

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)记bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn。

18.(12分)一款小游戏的规则如下；每轮游戏都要进行3次，每次游戏都需要从装有大小相同的2个红球、3个白球的袋中随机摸出2个球，若“摸出的两个都是红球”出现3次，则获得200分；若“摸出的两个都是红球”出现1次或2次，则获得20分；若“摸出的两个都是红球”出现0次，则扣除10分(即获得－10分)。

(1)求一轮游戏中获得20分的概率；

(2)很多玩过这款小游戏的人发现，很多轮游戏后，所得的分数与最初的分数相比，不是增加而是减少了，请运用概率统计的相关知识解释这种现象。

19.(12分)在三棱锥A－BCD中，E，F分别是棱BC，CD上的点，且EF//平面ABD。

(1)求证：BD//平面AEF；

(2)若AE⊥平面BCD，DE⊥BC，AE＝CE＝DE＝2，二面角B－AD－C的平面角的余弦值为－，求直线AB与AD所成角的余弦值。

20.(12分)在平面直角坐标系xOy中，F，A分别是椭圆：＋y2＝1(a>0)的左焦点和下顶点，点E(－，－)在椭圆上。

(1)求椭圆的方程及点F，A的坐标；

(2)椭圆上是否存在两点M，N，使得△AMN的三条高线交于点F。若存在，求出此时M，N所在直线的方程，若不存在，说明理由。

21.(12分)已知函数f(x)＝lnx，g(x)＝ax2＋bx＋1，其中a，b∈R。

(1)当a＝0时，直线y＝g(x)与函数y＝f(x)的图象相切，求b的值；

(2)当a≠0时，若对任意x>0，都有f(x)≤g(x)恒成立，求的最小值。

(二)选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。

22.[选修4－4：坐标系与参数方程](10分)

在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(θ为参数)，直线l的参数方程为(t为参数)。

(1)求曲线C、直线l的普通方程；

(2)已知点P(1，0)，当a＝0时，直线l与曲线C交于A，B两点，求||PA|－|PB||。

23.[选修4－5：不等式选讲](10分)

已知函数f(x)＝|x＋a|－|x－2a|(其中a>0)。

(1)当a＝3时，求证：－9≤f(x)≤9；

(2)当x≥2a时，解关于a的不等式f(x)≤f(3)。