2021南昌高三下学期5月第三次模拟考试数学（理）试题含答案

NCS20210607项目第三次模拟测试卷

理科数学

本试卷共4页，23小题，满分150分．考试时间120分钟．

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填涂在答题卡上，并在相应位置贴好条形码．

2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案信息涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案．

3．非选择题必须用黑色水笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来答案，然后再写上新答案，不准使用铅笔和涂改液不按以上要求作答无效．

4．考生必须保证答题卡整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回，

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 设全集为R，已知集合，则（    ）

A. R B.  C.  D.

2. 若复数z满足，则（    ）

A.  B.  C.  D.

3. 己知自由落体运动的速度，则自由落体运动从到所走过的路程为（    ）

A. g B.  C.  D.

4. 若函数，则（    ）

A.  B.  C. 1 D.

5. 已知公差不为0的等差数列满足，则（    ）

A.  B.  C.  D.

6. 若变量x，y满足，则目标函数的最小值为（    ）

A.  B.  C.  D.

7. 随机变量X服从正态分布，有下列四个命题：

①；②；

③；④．

若只有一个假命题，则该假命题是（    ）

A. ① B. ② C. ③ D. ④

8. 将方程的实数根称为函数的“新驻点”．记函数，的“新驻点”分别为a，b，c，则（    ）

A.  B.  C.  D.

9. 平安夜苹果创意礼品盒，如图1所示，它的形状可视为一个十面体，其中上下底面为全等的正方形，八个侧面是全等的等腰三角形如图2，底面正方形的边长为2，上底面与下底面之间的距离为，则该几何体的侧面积为（    ）

A.  B.  C.  D.

10. 如图所示，“嫦娥五号”月球探测器飞行到月球附近时，首先在以月球球心F为圆心的圆形轨道Ⅰ上绕月球飞行，然后在P点处变轨进以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月球飞行，最后在Q点处变轨进入以F为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月球飞行，设圆形轨道Ⅰ的半径为R，圆形轨道Ⅲ的半径为r，则下列结论中正确的序号为（    ）

①轨道Ⅱ的焦距为；②若R不变，r越大，轨道Ⅱ的短轴长越小；

③轨道Ⅱ的长轴长为；④若r不变，R越大，轨道Ⅱ的离心率越大．

A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④

11. 已知函数与直线在第一象限的交点横坐标从小到大依次分别为，则（    ）

A.  B. 0 C. 1 D.

12. 已知直线与x轴相交于点A，过直线l上的动点P作圆的两条切线，切点分别为C，D两点，记M是的中点，则的最小值为（    ）

A.  B.  C.  D. 3

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13. 已知单位向量，若，则_________．

14. 等比数列前n项和为，若，，则________．

15. 设双曲线的左、右焦点分别为，圆与双曲线C在第一象限的交点为A，若与双曲线C的一条渐近线l垂直，则l的方程为________．

16. 球面几何学是几何学的一个重要分支，在航海、航空、卫星定位等面都有广泛的应用，如图，A，B，C是球面上不同的大圆（大圆是过球心的平面与球面的交线）上的三点，经过这三个点中任意两点的大圆的劣弧分别为，由这三条劣弧围成的图形称为球面．已知地球半径为R，北极为点N，P，Q是地球表面上的两点若P，Q在赤道上，且，则球面的面积为________；若，则球面的面积为________．

三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答；第22、23题为选考题，考生根据要求作答．

（一）必考题：共60分．

17. 如图，在梯形中，．

（1）求值；

（2）若的面积为4，求的长．

18. 如图，在四棱锥中，平面，，若，，，．

（1）求证：；

（2）求直线与平面所成的角的正弦值．

19. 已知抛物线，过点作斜率为的直线l与抛物线C相交于A，B两点．

（1）求取值范围；

（2）记P点关于x轴的对称点为Q点，若的面积为16，求直线l的方程．

20. 高尔顿板是英国生物统计学家高尔顿设计用来研究随机现象的模型，在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木块，小木块之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，让一个小球从高尔顿板上方的通道口落下，小球在下落的过程中与层层小木块碰撞，且等可能向左或向右滚下，最后掉入高尔顿板下方的某一球槽内.如图1所示的高尔顿板有7层小木块，小球从通道口落下，第一次与第2层中间的小木块碰撞，以的概率向左或向右滚下，依次经过6次与小木块碰撞，最后掉入编号为1，2，…，7的球槽内.例如小球要掉入3号球槽，则在6次碰撞中有2次向右4次向左滚下.

（1）如图1，进行一次高尔顿板试验，求小球落入5号球槽的概率；

（2）小红､小明同学在研究了高尔顿板后，利用高尔顿板来到社团文化节上进行盈利性“抽奖”活动.小红使用图1所示的高尔顿板，付费6元可以玩一次游戏，小球掉入m号球槽得到的奖金为元，其中.小明改进了高尔顿板(如图2)，首先将小木块减少成5层，然后使小球在下落的过程中与小木块碰撞时，有的概率向左，的概率向右滚下，最后掉入编号为1，2，……，5的球槽内，改进高尔顿板后只需付费4元就可以玩一次游戏，小球掉入n号球槽得到的奖金为元，其中.两位同学的高尔顿板游戏火爆进行，很多同学参加了游戏，你觉得小红和小明同学谁的盈利多？请说明理由.

21. 已知定义在实数集R上的偶函数的最小值为3，且当时，，其中e是自然对数的底数．

（1）求函数的解析式；

（2）求最大的整数，使得存在，只要，就有．

（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．

选修4-4：坐标系与参数方程

22. 在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为：（为参数），以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为：．

（1）求曲线的极坐标方程；

（2）设A，B是曲线、公共点，若，求曲线的直角坐标方程．

选修4-5：不等式选讲

23. 已知函数．

（1）求的最小值m；

（2）己知，若时，正常数t使得的最大值为2，求t的值．

NCS20210607项目第三次模拟测试卷

理科数学 答案版

本试卷共4页，23小题，满分150分．考试时间120分钟．

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填涂在答题卡上，并在相应位置贴好条形码．

2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案信息涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案．

3．非选择题必须用黑色水笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来答案，然后再写上新答案，不准使用铅笔和涂改液不按以上要求作答无效．

4．考生必须保证答题卡整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回，

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 设全集为R，已知集合，则（    ）

A. R B.  C.  D.

【答案】D

2. 若复数z满足，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

3. 己知自由落体运动的速度，则自由落体运动从到所走过的路程为（    ）

A. g B.  C.  D.

【答案】B

4. 若函数，则（    ）

A.  B.  C. 1 D.

【答案】D

5. 已知公差不为0的等差数列满足，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

6. 若变量x，y满足，则目标函数的最小值为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

7. 随机变量X服从正态分布，有下列四个命题：

①；②；

③；④．

若只有一个假命题，则该假命题是（    ）

A. ① B. ② C. ③ D. ④

【答案】C

8. 将方程的实数根称为函数的“新驻点”．记函数，的“新驻点”分别为a，b，c，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

9. 平安夜苹果创意礼品盒，如图1所示，它的形状可视为一个十面体，其中上下底面为全等的正方形，八个侧面是全等的等腰三角形如图2，底面正方形的边长为2，上底面与下底面之间的距离为，则该几何体的侧面积为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

10. 如图所示，“嫦娥五号”月球探测器飞行到月球附近时，首先在以月球球心F为圆心的圆形轨道Ⅰ上绕月球飞行，然后在P点处变轨进以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月球飞行，最后在Q点处变轨进入以F为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月球飞行，设圆形轨道Ⅰ的半径为R，圆形轨道Ⅲ的半径为r，则下列结论中正确的序号为（    ）

①轨道Ⅱ的焦距为；②若R不变，r越大，轨道Ⅱ的短轴长越小；

③轨道Ⅱ的长轴长为；④若r不变，R越大，轨道Ⅱ的离心率越大．

A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④

【答案】C

11. 已知函数与直线在第一象限的交点横坐标从小到大依次分别为，则（    ）

A.  B. 0 C. 1 D.

【答案】D

12. 已知直线与x轴相交于点A，过直线l上的动点P作圆的两条切线，切点分别为C，D两点，记M是的中点，则的最小值为（    ）

A.  B.  C.  D. 3

【答案】A

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13. 已知单位向量，若，则_________．

【答案】

14. 等比数列前n项和为，若，，则________．

【答案】

15. 设双曲线的左、右焦点分别为，圆与双曲线C在第一象限的交点为A，若与双曲线C的一条渐近线l垂直，则l的方程为________．

【答案】

16. 球面几何学是几何学的一个重要分支，在航海、航空、卫星定位等面都有广泛的应用，如图，A，B，C是球面上不同的大圆（大圆是过球心的平面与球面的交线）上的三点，经过这三个点中任意两点的大圆的劣弧分别为，由这三条劣弧围成的图形称为球面．已知地球半径为R，北极为点N，P，Q是地球表面上的两点若P，Q在赤道上，且，则球面的面积为________；若，则球面的面积为________．

【答案】    (1).     (2).

三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答；第22、23题为选考题，考生根据要求作答．

（一）必考题：共60分．

17. 如图，在梯形中，．

（1）求值；

（2）若的面积为4，求的长．

【答案】（1）；（2）．

18. 如图，在四棱锥中，平面，，若，，，．

（1）求证：；

（2）求直线与平面所成的角的正弦值．

【答案】（1）证明见解析；（2）．

19. 已知抛物线，过点作斜率为的直线l与抛物线C相交于A，B两点．

（1）求取值范围；

（2）记P点关于x轴的对称点为Q点，若的面积为16，求直线l的方程．

【答案】（1）；（2）．

20. 高尔顿板是英国生物统计学家高尔顿设计用来研究随机现象的模型，在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木块，小木块之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，让一个小球从高尔顿板上方的通道口落下，小球在下落的过程中与层层小木块碰撞，且等可能向左或向右滚下，最后掉入高尔顿板下方的某一球槽内.如图1所示的高尔顿板有7层小木块，小球从通道口落下，第一次与第2层中间的小木块碰撞，以的概率向左或向右滚下，依次经过6次与小木块碰撞，最后掉入编号为1，2，…，7的球槽内.例如小球要掉入3号球槽，则在6次碰撞中有2次向右4次向左滚下.

（1）如图1，进行一次高尔顿板试验，求小球落入5号球槽的概率；

（2）小红､小明同学在研究了高尔顿板后，利用高尔顿板来到社团文化节上进行盈利性“抽奖”活动.小红使用图1所示的高尔顿板，付费6元可以玩一次游戏，小球掉入m号球槽得到的奖金为元，其中.小明改进了高尔顿板(如图2)，首先将小木块减少成5层，然后使小球在下落的过程中与小木块碰撞时，有的概率向左，的概率向右滚下，最后掉入编号为1，2，……，5的球槽内，改进高尔顿板后只需付费4元就可以玩一次游戏，小球掉入n号球槽得到的奖金为元，其中.两位同学的高尔顿板游戏火爆进行，很多同学参加了游戏，你觉得小红和小明同学谁的盈利多？请说明理由.

【答案】（1）；（2）小明的盈利多，理由见解析.

21. 已知定义在实数集R上的偶函数的最小值为3，且当时，，其中e是自然对数的底数．

（1）求函数的解析式；

（2）求最大的整数，使得存在，只要，就有．

【答案】（1）；（2）m最大正整数为4．

（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．

选修4-4：坐标系与参数方程

22. 在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为：（为参数），以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为：．

（1）求曲线的极坐标方程；

（2）设A，B是曲线、公共点，若，求曲线的直角坐标方程．

【答案】（1）；（2）．

选修4-5：不等式选讲

23. 已知函数．

（1）求的最小值m；

（2）己知，若时，正常数t使得的最大值为2，求t的值．

【答案】（1）；（2）．