2021安庆一中高三下学期第三次模拟考试数学（理）试题PDF版含答案

安庆一中2021届高三第三次模拟考试

数学试题（理科）

命题：安庆一中高三数学组           审题：安庆一中高三数学组

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1、设，，则=（    ）

A．    B．      C．    D．

【答案】B

【解析】，，

则，故选：B．

2、设是两条直线， ， 表示两个平面，如果， ，那么“”是“”的(　　)

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件

【答案】B

3、如图所示的曲线图是2020年1月25日至2020年2月12日陕西省及西安市新冠肺炎累计确诊病例的曲线图，则下列判断错误的是（    ）

A. 1月31日陕西省新冠肺炎累计确诊病例中西安市占比超过了

B. 1月25日至2月12日陕西省及西安市新冠肺炎累计确诊病例都呈递增趋势

C. 2月2日后到2月10日陕西省新冠肺炎累计确诊病例增加了97例

D. 2月8日到2月10日西安市新冠肺炎累计确诊病例的增长率大于2月6日到2月8日的增长率

【答案】D

【解析】由新冠肺炎累计确诊病例的曲线图，可得：

对于选项A中，1月31日陕西省新冠肺炎累计确诊病例共有87例，其中西安32例，所以西安所占比例为，故A正确；

对于选项B中，由曲线图可知，1月25日至2月12日陕西省及西安市新冠肺炎累计确诊病例都呈递增趋势，故B正确；

对于选项C中，2月2日后到2月10日陕西省新冠肺炎累计确诊病例增加了例，故C正确；

对于选项D中，2月8日到2月10日西安新冠肺炎累计确诊病例增加了，

2月6日到2月8日西安新冠肺炎累计确诊病例增加了，

显然，故D错误.    故选：D.

4、 据史料记载，早在元朝至正十一年(公元1351年)安庆就建有谯楼，后在朱元璋与陈友谅两军交战时被毁；明朝洪武元年重建，并将其作为知府衙署的望楼；乾隆年间，安徽布政使司由江宁移至安庆，谯楼又进行大规模修葺扩建，此后一直作为司署之所。保存下来的双檐楼阁谯楼，是清同治六年(公元1867年)由安徽布政使吴坤修牵头修建的。目前的谯楼是2006年安庆一中百年校庆时，由学校牵头，校友及教职工出资重新修整的，是安徽省文物保护单位。国庆期间，谯楼上到处挂满了五彩缤纷的大小灯球，灯球有两种，一种是大灯下缀2个小灯，另一种是大灯下缀4个小灯，大灯共360个，小灯共1200个.若在这座楼阁的灯球中，随机选取两个灯球，则至少有一个灯球是大灯下缀4个小灯的概率为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】设一大二小与一大四小的灯球数分别为，则，解得，若随机选取两个灯球，则至少有一个灯球是一大四小的概率为.故选:C

5、已知椭圆的两个焦点分别为，，以为直径的圆交椭圆于点，且，则的离心率为（      ）

A. B. C. D.

【答案】D

【解析】在中，

设，则，又由椭圆定义可知

则离心率，故选:D.

6、 为非零向量，满足，且，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】设向量与的夹角为θ，∵，不妨设，则，
∵，∴，∴，
，，
，∴.故选：A.

7、函数的图象可能是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】A

【解析】其定义域为

根据奇函数性质可得，是奇函数

故排除B，C.

当，

根据指数函数是单调增函数，可得

当，

故只有A符合题意,故选：A.

8、已知数列的前项和为，若，且，则（    ）

A. 8 B. 6 C. 4 D. 2

【答案】D

【解析】，，

，变形得

所以数列是每项均为的常数列，，即

又

解得：    故选：C

9、已知，，直线：，：，且，则的最小值为（    ）

A. 2 B. 4 C.  D.

【答案】D

【解析】因为，所以，即，

因，所以，

所以+1+1，

当且仅当时，等号成立.故选：D

10、中，，，，点为的外心，若，则实数的值为　　

A． B． C．  D．

【答案】A

【解析】中，，，，

则，

，，

又，同理可得：，代入上式，

，解得：，

故选：．

11、是棱长为2的正方体, 分别为的中点，过的平面截正方体的截面面积为                           （         ）

A． B． C．  D．

【答案】C    截面为正六边形

12．设函数，已知在有且仅有5个零点．下述四个结论不正确的是（           ）

A、f(x)在(0，2π)上有且仅有3个极大值点   B、f(x)在(0，2π)上有且仅有2个极小值点

C、f(x)在上单调递增              D、ω的取值范围是

【答案】B

【解析】如图，根据题意知，xA≤2π＜xB，根据图象可知函数f(x)在(0，2π)有且仅有3个极大值点，所以A正确；但可能会有3个极小值点，所以B错误；根据xA≤2π＜xB，有≤2π<，得≤ω＜，所以D正确；当x∈时，＜ωx＋＜＋，因为≤ω＜，所以＋<<，所以函数f(x)在上单调递增，所以C正确．

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13.已知随机变量，若P（ξ＜2）＝0.3，则P（2＜ξ＜6）＝_____．

【答案】0.4

【解析】随机变量服从正态分布，其对称轴方程为，

又，，

则．

故答案为：0.4．

14. 已知，则___________

【答案】60

【解析】因为，

此二项式的展开式的通项为，

当时，所以．

15、 已知分别是双曲线上的三点，且满足，若直线的斜率分别为，成立，其中，则渐近线方程为___      _____.

【答案】

【详解】

设，，

.

，

又，

，

即，结合题意可知不成立，

当，

可得

16、已知函数有三个零点，，，且，其中，为自然对数的底数，则的范围为________

【答案】

【解析】由方程，有

设即 所以

令 ，则,所以在上单调递增，在上单调递减,

且，，当时，其大致图像如下.

要使关于的方程有三个不相等的实数解，，，且.

结合图像可得关于的方程一定有两个不等的实数根

且从而。

  则.

所以

三、解答题：共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每道试题考生都必须作答. 第22，23题为选考题，考生根据要求作答.

（一）必考题：共60分。

17、在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，且，若

（Ⅰ）求b的值；

（Ⅱ）求△ABC的面积．

【解答】（Ⅰ）sinB＝2sinA，由正弦定理知，＝，

∴b＝2a，由余弦定理知，cosA＝，

∵cosA＝，c＝3，∴＝，

化简得2a2﹣7a+6＝0，解得a＝2或，

当a＝时，b＝2a＝3＝c，与题意矛盾；

当a＝2时，b＝2a＝4≠c，符合题意，

∴b＝4．

（Ⅱ）∵cosA＝，A∈（0，π），∴sinA＝＝，

∴△ABC的面积S＝bc•sinA＝×4×3×＝．

18、如图（1），平面四边形中，，，，将沿边折起如图（2），使为四面体外接球的直径,点，分别为，中点．

（1）判断直线与平面的位置关系，并说明理由；

（2）求二面角的余弦值．

【详解】

（1)为四面体外接球的直径，则，可得，

又由，且,平面，所以平面，

因为，分别为，中点，可得，所以平面．

（2）以为原点，射线为轴建立如图直角坐标系，

则，，，，

可得，，

设平面的法向量为，则，

取，可得，所以

设平面的法向量为，则,

取，可得，

所以，故二面角的余弦值.

19、安庆市某学校高三年级开学之初增加晚自习，晚饭在校食堂就餐人数增多，为了缓解就餐压力，学校在原有一个餐厅的基础上增加了一个餐厅，分别记做餐厅甲和餐厅乙，经过一周左右统计调研分析：前一天选择餐厅甲就餐第二天选择餐厅甲就餐的概率是25%、选择餐厅乙就餐的概率为75%，前一天选择餐厅乙就餐第二天选择餐厅乙就餐的概率是50%、选择餐厅甲就餐的概率也为50%，如此往复。假设学生第一天选择餐厅甲就餐的概率是，择餐厅乙就餐的概率是，记某同学第n天选择甲餐厅就餐的概率为.

1)       记某班级的3位同学第二天选择餐厅甲的人数为X，求X的分布列，并求E(X);

2)       请写出与的递推关系；

3)       求数列的通项公式并帮助学校解决以下问题：为提高学生服务意识和团队合作精神，学校每天从20个班级中每班抽调一名学生志愿者为全体学生提供就餐服务工作，根据上述数据，如何合理分配到餐厅甲和餐厅乙志愿者人数？请说明理由.

解：1）

2）

20、在直角坐标系中，动点M到定点的距离比到轴的距离大，

1）求动点M的轨迹方程；

2）当时，记动点M的轨迹为曲线C,过原点且斜率大于零的直线交曲线于点P（异于原点O），过点P作圆的切线交C于另一点Q，证明：为定值．

【解析】：（Ⅰ）设，

2）

当直线的斜率不存在时，其方程为，

解得，则．

当直线的斜率存在时，设方程为，由题意知，

因为直线与圆相切，所以，即．

联立方程组得到元二次方程，

设，

由根与系数关系可知，

又，则

．

综上可知为定值2．

法2：

由题意可知直线的斜率不能为0，故可设的方程为；

因为直线与圆相切，所以，即．

联立方程组得到一元二次方程．

设，

由根与系数关系可知，则．

又，则

．

即为定值2．

21、

1）解：的定义域为，．

令，方程的判别式△，

（ⅰ）当△，即时，恒成立，

即对任意，，

所以在上单调递增．

（ⅱ）当△，即或．

①当时，恒成立，即对任意，，

所以在上单调递增．

②当时，由，解得，．

所以当时，；当时，；当时，，

所以在上，，

在上，，

所以函数在和上单调递增；

在上单调递减．

综上，当时，在上单调递增；

当时，在和上单调递增，在上单调递减．

（2）证明：

（3）

（二）选考题：共10分。请考生从22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。

22、在平面直角坐标系中，以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的方程为（t为参数），曲线C2的极坐标方程为，曲线C1与C2相交于A，B两点．

（Ⅰ）求曲线C1的普通方程及曲线C2的直角坐标方程；

（Ⅱ）求点M（2，﹣1）到A，B两点的距离之和．

【解析】（Ⅰ）由（t为参数），消去参数t，可得曲线C1的普通方程y2＝4x，

由ρcosθ﹣ρsinθ＝4，结合x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，可得曲线C2的直角坐标方程x﹣2y＝4；

（Ⅱ）曲线C2的参数方程为,  (t为参数)，

将其代入到曲线C1的普通方程y2＝4x中，有，

设t1，t2分别为A，B两点对应的参数，有，

由直线参数的几何意义，M（2，﹣1）到A，B两点的距离之和为：

．

23、设实数x，y，z满足x2+y2+z2＝1．

（Ⅰ）证明：xy+yz+xz≤1；

（Ⅱ）若x+y+2z≤|a﹣1|+|a+m|对任意的实数x，y，z，a恒成立，求实数m的取值范围．

【解析】（Ⅰ）由x2+y2≥2xy，y2+z2≥2yz，z2+x2≥2zx，

三式相加即得x2+y2+z2≥xy+yz+zx，又x2+y2+z2＝1，

所以xy+yz+zx≤1．

（Ⅱ）∵（x+y+2z）2≤（2+3+4）（x2+y2+z2）＝9

∴x+y+2z≤3

又∵x+y+2z≤|a﹣1|+|a+m|对任意的实数x，y，z，a恒成立，

∴3≤|a﹣1|+|a+m|，

∵|a﹣1|+|a+m|≥|m+1|，

∴|m+1|≥3

解得m≤﹣4或m≥2．