2021“超级全能生”高三全国卷地区5月联考试题（丙卷）数学（文）PDF版含解析

“超级全能生”2021高考全国卷地区5月联考丙卷

数学文科答案及评分标准

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

选择题评分标准：选对得分，错选，多选，不选均不得分。

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

填空评分标准：按参考答案给分，结果必须化简，完全正确，写错、未化简、多写答案、少写答案均不给分。

13. 4　

14．120　

15. －　

16．(－∞，－3]∪

三、解答题：共70分，解答题写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生必须作答。第22，23题为选考题，考生根据要求作答。

解答题评分标准

（1）导函数：

求单调区间过程要清楚，分类讨论各区间情况需做到无遗漏。遗漏不给分。

取值写成区间或者集合的形式，未写扣1分。

（2）选做题：

[坐标系与参数方程]极坐标方程转化为参数方程时需要过程，没有过程不得分。

[解不等式]解集要写成集合或区间，未写扣1分。

（3）具体步骤分参照答案解析，没有步骤只有答案均不给分。

（4）试题有不同解法时，解法正确即可酌情给分。

17．解：(Ⅰ)设等比数列{an}的公比为q.

∵a2，a5是一元二次方程x2－9x＋8＝0的两个根且数列{an}是递增数列，

∴a2＝1，a5＝8.(2分)

由得(4分)

∴an＝·2n－1＝2n－2(n∈N)．(6分)

(Ⅱ)设bn＝log2an，

由(Ⅰ)知bn＝log2an＝log22n－2＝n－2，(7分)

∴bn＋1－bn＝(n－1)－(n－2)＝1.

又b1＝－1，(8分)

∴数列{bn}是以－1为首项，1为公差的等差数列，(10分)

∴Tn＝nb1＋d(11分)

＝－1·n＋×1

＝.(12分)

18．解：(Ⅰ)由题中数据得＝＝×55＝5.5，＝＝×150＝15，(1分)

10＝10×5.5×15＝825，

∴－10＝890－825＝65.(2分)

又≈75.99，

∴≈≈0.86，(4分)

∴0.75≤|r|≤1，(5分)

∴y与x有较强的线性相关关系，可用线性回归模型拟合．(6分)

(Ⅱ)∵＝385，10＝10×5.52＝302.5，

∴＝＝＝＝≈0.8，(8分)

＝－＝15－×5.5≈10.7，(9分)

(当＝0.8得＝－＝15－0.8×5.5＝10.6同样给分)

∴y关于x的线性回归方程为＝0.8x＋10.7.(10分)

当x＝12时，＝0.8×12＋10.7≈20，(11分)

∴预测该商场12月份的收入为20万元．(12分)

19．解：(Ⅰ)证明：连接CM，BD.

∵四边形ABCD是菱形，∠BAD＝60°，

∴AB＝AD＝BD.(1分)

又M是AB的中点，∴DM⊥AB.

又AB∥CD，∴DM⊥CD.(2分)

∵ABCD－A1B1C1D1是直四棱柱，

∴DD1⊥平面ABCD.(3分)

又DM平面ABCD，∴DM⊥DD1.(4分)

又DD1∩CD＝D，∴DM⊥平面CDD1C1.(5分)

又DE平面CDD1C1，∴DM⊥DE.(6分)

(Ⅱ)∵∠ABC＝120°，菱形ABCD的边长为2，M是AB的中点，

∴DM⊥AB，(7分)

∴DM＝＝.(8分)

又ABCD－A1B1C1D1是直四棱柱，侧棱长为4，E为CC1的中点，

∴DE＝＝2.(9分)

由(Ⅰ)知DM⊥DE，

∴＝DD1·CD＝×4×2＝4，

S△DEM＝DM·DE＝××2＝.(10分)

设D1到平面DME的距离为d.

∵DM⊥平面CDD1C1，

∴，

即S△DEM·d＝·DM，(11分)

解得d＝＝2，即D1到平面DME的距离为2.(12分)

20．证明：(Ⅰ)当a＝e时，f(x)＝x－lnx，x>0，

则f′(x)＝1－＝.(1分)

由f′(x)＝0得x＝1，(2分)

由f′(x)>0得x>1，

所以f(x)在(1，＋∞)上单调递增；(3分)

由f′(x)<0得0<x<1，

所以f(x)在(0，1)上单调递减，(4分)

所以f(x)在x＝1处取得极小值，也是最小值，最小值f(1)＝1，(5分)

所以当a＝e时，f(x)≥1恒成立．(6分)

(Ⅱ)当a＝4时，g(x)＝x－log4x－1(x>0)，

则g′(x)＝1－＝，x>0.(7分)

当x∈时，g′(x)<0，g(x)在上单调递减；(8分)

当x∈时，g′(x)>0，g(x)在上单调递增．(9分)

因为g(1)＝0，g＝>0，g<g(1)＝0，(10分)

所以存在x0∈，使得g(x0)＝0，(11分)

即g(x)存在两个零点x0，1，

即函数g(x)＝f(x)－1有两个零点．(12分)

21．解：(Ⅰ)由题设知，双曲线C2：－＝1的右顶点为(2，0)，(1分)

∴＝2，(2分)

解得p＝4，(3分)

∴抛物线C1的标准方程为y2＝8x.(4分)

(Ⅱ)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

直线l的方程为y＝kx＋1，(5分)

联立消去y得k2x2＋(2k－8)x＋1＝0，(6分)

由Δ>0得(2k－8)2－4k2>0，即k<2，(7分)

∴x1＋x2＝－，x1x2＝.(8分)

又∵·＝1，F(2，0)，

∴·＝(x1－2)(x2－2)＋y1y2＝1，(9分)

∴x1x2－2(x1＋x2)＋4＋(kx1＋1)(kx2＋1)＝(1＋k2)x1x2＋(k－2)(x1＋x2)＋5＝1，

即k2＋4k－5＝0，(10分)

解得k＝1或k＝－5，(11分)

∴直线l的方程为y＝x＋1或y＝－5x＋1.(12分)

22．解：(Ⅰ)将ρ2＝x2＋y2，ρsinθ＝y代入ρ2－2aρsinθ＋a2－3＝0，

得曲线C的直角坐标方程为x2＋(y－a)2＝3，(2分)

∴曲线C的参数方程为(α为参数)．(4分)

∵曲线C过坐标原点O，

∴a2＝3，解得a＝±.(5分)

(Ⅱ)解法一：当a＝1时，曲线C的极坐标方程为ρ2－2ρsinθ－2＝0，(6分)

将θ＝代入ρ2－2ρsinθ－2＝0得ρ2－ρ－2＝0.(7分)

设A，B两点对应的极径分别为ρ1，ρ2，

∴ρ1＋ρ2＝1，ρ1ρ2＝－2，(8分)

∴|AB|＝|ρ1－ρ2|＝＝＝3.(10分)

解法二：当a＝1时，曲线C的普通方程为x2＋(y－1)2＝3，

直线l的极坐标方程θ＝化为直角坐标方程为y＝x.(6分)

联立消去y得2x2－x－3＝0.(7分)

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝－，(8分)

∴|AB|＝|x1－x2|

＝

＝3.(10分)

23．解：(Ⅰ)当a＝3时，f(x)>3x＋1，

即＋>3x＋1等价于

或

或(3分)

解得x≤－1或－1<x<1或x∈∅，(4分)

所以原不等式的解集为(－∞，1)．(5分)

(Ⅱ)f(x)≥2a－3对任意x∈R恒成立，等价于f(x)min≥2a－3.(6分)

因为f(x)＝|x＋1|＋|x－a|≥，

当且仅当(x＋1)(x－a)≤0时，等号成立，

所以只需≥2a－3，(7分)

即或(8分)

解得－1≤a≤4或a<－1，(9分)

所以实数a的取值范围是(－∞，4]．(10分)