2022年广西北部湾经济区中考数学试卷解析版

这是一份2022年广西北部湾经济区中考数学试卷解析版，共32页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022年广西北部湾经济区中考数学试卷
一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．）
1．（3分）﹣的相反数是（　　）
A． B．﹣ C．3 D．﹣3
2．（3分）2022北京冬残奥会的会徽是以汉字“飞”为灵感来设计的，展现了运动员不断飞跃，超越自我，奋力拼搏，激励世界的冬残奥精神．下列的四个图中，能由如图所示的会徽经过平移得到的是（　　）

A． B． C． D．
3．（3分）空气由多种气体混合而成，为了直观介绍空气中各成分的百分比，最适合使用的统计图是（　　）
A．条形图 B．折线图 C．扇形图 D．直方图
4．（3分）如图，数轴上的点A表示的数是﹣1，则点A关于原点对称的点表示的数是（　　）

A．﹣2 B．0 C．1 D．2
5．（3分）不等式2x﹣4＜10的解集是（　　）
A．x＜3 B．x＜7 C．x＞3 D．x＞7
6．（3分）如图，直线a∥b，∠1＝55°，则∠2的度数是（　　）

A．35° B．45° C．55° D．125°
7．（3分）下列事件是必然事件的是（　　）
A．三角形内角和是180°
B．端午节赛龙舟，红队获得冠军
C．掷一枚均匀骰子，点数是6的一面朝上
D．打开电视，正在播放神舟十四号载人飞船发射实况
8．（3分）如图，某博物馆大厅电梯的截面图中，AB的长为12米，AB与AC的夹角为α，则高BC是（　　）

A．12sinα米 B．12cosα米 C．米 D．米
9．（3分）下列运算正确的是（　　）
A．a+a2＝a3 B．a•a2＝a3 C．a6÷a2＝a3 D．（a﹣1）3＝a3
10．（3分）《千里江山图》是宋代王希孟的作品，如图，它的局部画面装裱前是一个长为2.4米，宽为1.4米的矩形，装裱后，整幅图画宽与长的比是8：13，且四周边衬的宽度相等，则边衬的宽度应是多少米？设边衬的宽度为x米，根据题意可列方程（　　）

A．＝ B．＝
C．＝ D．＝
11．（3分）如图，在△ABC中，CA＝CB＝4，∠BAC＝α，将△ABC绕点A逆时针旋转2α，得到△AB′C′，连接B′C并延长交AB于点D，当B′D⊥AB时，的长是（　　）

A．π B．π C．π D．π
12．（3分）已知反比例函数y＝（b≠0）的图象如图所示，则一次函数y＝cx﹣a（c≠0）和二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　）

A． B．
C． D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．）
13．（2分）化简：＝　 　．
14．（2分）当x＝　 　时，分式的值为零．
15．（2分）如图，一个质地均匀的正五边形转盘，指针的位置固定，当转盘自由转动停止后，观察指针指向区域内的数（若指针正好指向分界线，则重新转一次），这个数是一个奇数的概率是 　 　．

16．（2分）古希腊数学家泰勒斯曾利用立杆测影的方法，在金字塔影子的顶部直立一根木杆，借助太阳光测金字塔的高度．如图，木杆EF长2米，它的影长FD是4米，同一时刻测得OA是268米，则金字塔的高度BO是 　 　米．

17．（2分）阅读材料：整体代值是数学中常用的方法．例如“已知3a﹣b＝2，求代数式6a﹣2b﹣1的值．”可以这样解：6a﹣2b﹣1＝2（3a﹣b）﹣1＝2×2﹣1＝3．根据阅读材料，解决问题：若x＝2是关于x的一元一次方程ax+b＝3的解，则代数式4a2+4ab+b2+4a+2b﹣1的值是 　 　．
18．（2分）如图，在正方形ABCD中，AB＝4，对角线AC，BD相交于点O．点E是对角线AC上一点，连接BE，过点E作EF⊥BE，分别交CD，BD于点F，G，连接BF，交AC于点H，将△EFH沿EF翻折，点H的对应点H′恰好落在BD上，得到△EFH′．若点F为CD的中点，则△EGH′的周长是 　 　．

三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
19．（6分）计算：（﹣1+2）×3+22÷（﹣4）．
20．（6分）先化简，再求值：（x+y）（x﹣y）+（xy2﹣2xy）÷x，其中x＝1，y＝．
21．（10分）如图，在▱ABCD中，BD是它的一条对角线．
（1）求证：△ABD≌△CDB；
（2）尺规作图：作BD的垂直平分线EF，分别交AD，BC于点E，F（不写作法，保留作图痕迹）；
（3）连接BE，若∠DBE＝25°，求∠AEB的度数．

22．（10分）综合与实践
【问题情境】数学活动课上，老师带领同学们开展“利用树叶的特征对树木进行分类”的实践活动．
【实践发现】同学们随机收集芒果树、荔枝树的树叶各1片，通过测量得到这些树叶的长y（单位：cm），宽x（单位：cm）的数据后，分别计算长宽比，整理数据如下：

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
芒果树叶的长宽比
3.8
3.7
3.5
3.4
3.8
4.0
3.6
4.0
3.6
4.0
荔枝树叶的长宽比
2.0
2.0
20
2.4
1.8
19
1.8
2.0
1.3
1.9
【实践探究】分析数据如下：

平均数
中位数
众数
方差
芒果树叶的长宽比
3.74
m
4.0
0.0424
荔枝树叶的长宽比
1.91
2.0
n
0.0669
【问题解决】
（1）上述表格中：m＝　 　，n＝　 　；
（2）①A同学说：“从树叶的长宽比的方差来看，我认为芒果树叶的形状差别大．”
②B同学说：“从树叶的长宽比的平均数、中位数和众数来看，我发现荔枝树叶的长约为宽的两倍．”
上面两位同学的说法中，合理的是 　 　（填序号）；
（3）现有一片长11cm，宽5.6cm的树叶，请判断这片树叶更可能来自于芒果、荔枝中的哪种树？并给出你的理由．

23．（10分）打油茶是广西少数民族特有的一种民俗．某特产公司近期销售一种盒装油茶，每盒的成本价为50元，经市场调研发现，该种油茶的月销售量y（盒）与销售单价x（元）之间的函数图象如图所示．
（1）求y与x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；
（2）当销售单价定为多少元时，该种油茶的月销售利润最大？求出最大利润．

24．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AC为直径作⊙O交BC于点D，过点D作DE⊥AB，垂足为E，延长BA交⊙O于点F．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若＝，AF＝10，求⊙O的半径．

25．（10分）已知抛物线y＝﹣x2+2x+3与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧）．
（1）求点A，点B的坐标；
（2）如图，过点A的直线l：y＝﹣x﹣1与抛物线的另一个交点为C，点P为抛物线对称轴上的一点，连接PA，PC，设点P的纵坐标为m，当PA＝PC时，求m的值；
（3）将线段AB先向右平移1个单位长度，再向上平移5个单位长度，得到线段MN，若抛物线y＝a（﹣x2+2x+3）（a≠0）与线段MN只有一个交点，请直接写出a的取值范围．

26．（10分）已知∠MON＝α，点A，B分别在射线OM，ON上运动，AB＝6．
（1）如图①，若α＝90°，取AB中点D，点A，B运动时，点D也随之运动，点A，B，D的对应点分别为A′，B′，D′，连接OD，OD′．判断OD与OD′有什么数量关系？证明你的结论；
（2）如图②，若α＝60°，以AB为斜边在其右侧作等腰直角三角形ABC，求点O与点C的最大距离；
（3）如图③，若α＝45°，当点A，B运动到什么位置时，△AOB的面积最大？请说明理由，并求出△AOB面积的最大值．

2022年广西北部湾经济区中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．）
1．（3分）﹣的相反数是（　　）
A． B．﹣ C．3 D．﹣3
【解答】解：﹣的相反数是．
故选：A．
2．（3分）2022北京冬残奥会的会徽是以汉字“飞”为灵感来设计的，展现了运动员不断飞跃，超越自我，奋力拼搏，激励世界的冬残奥精神．下列的四个图中，能由如图所示的会徽经过平移得到的是（　　）

A． B． C． D．
【解答】解：根据平移的性质可知：能由如图经过平移得到的是D，
故选：D．
3．（3分）空气由多种气体混合而成，为了直观介绍空气中各成分的百分比，最适合使用的统计图是（　　）
A．条形图 B．折线图 C．扇形图 D．直方图
【解答】解：根据题意，得
要求直观反映空气的组成情况，即各部分在总体中所占的百分比，结合统计图各自的特点，应选择扇形统计图．
故选：C．
4．（3分）如图，数轴上的点A表示的数是﹣1，则点A关于原点对称的点表示的数是（　　）

A．﹣2 B．0 C．1 D．2
【解答】解：∵关于原点对称的数是互为相反数，
又∵1和﹣1是互为相反数，
故选：C．
5．（3分）不等式2x﹣4＜10的解集是（　　）
A．x＜3 B．x＜7 C．x＞3 D．x＞7
【解答】解：2x﹣4＜10，
移项，得：2x＜10+4，
合并同类项，得：2x＜14，
系数化为1，得：x＜7，
故选：B．
6．（3分）如图，直线a∥b，∠1＝55°，则∠2的度数是（　　）

A．35° B．45° C．55° D．125°
【解答】解：如图，∵a∥b，
∴∠3＝∠1＝55°，
∴∠2＝∠3＝55°．
故选：C．

7．（3分）下列事件是必然事件的是（　　）
A．三角形内角和是180°
B．端午节赛龙舟，红队获得冠军
C．掷一枚均匀骰子，点数是6的一面朝上
D．打开电视，正在播放神舟十四号载人飞船发射实况
【解答】解：A、三角形内角和是180°，是必然事件，故A符合题意；
B、端午节赛龙舟，红队获得冠军，是随机事件，故B不符合题意；
C、掷一枚均匀骰子，点数是6的一面朝上，是随机事件，故C不符合题意；
D、打开电视，正在播放神舟十四号载人飞船发射实况，是随机事件，故D不符合题意；
故选：A．
8．（3分）如图，某博物馆大厅电梯的截面图中，AB的长为12米，AB与AC的夹角为α，则高BC是（　　）

A．12sinα米 B．12cosα米 C．米 D．米
【解答】解：Rt△ABC中，sinα＝，
∵AB＝12，
∴BC＝12sinα．
故选：A．
9．（3分）下列运算正确的是（　　）
A．a+a2＝a3 B．a•a2＝a3 C．a6÷a2＝a3 D．（a﹣1）3＝a3
【解答】解：∵a与a2不是同类项，
∴选项A不符合题意；
∵a•a2＝a3，
∴选项B符合题意；
∵a6÷a2＝a4，
∴选项C不符合题意；
∵（a﹣1）3＝（）3＝，
∴选项D不符合题意，
故选：B．
10．（3分）《千里江山图》是宋代王希孟的作品，如图，它的局部画面装裱前是一个长为2.4米，宽为1.4米的矩形，装裱后，整幅图画宽与长的比是8：13，且四周边衬的宽度相等，则边衬的宽度应是多少米？设边衬的宽度为x米，根据题意可列方程（　　）

A．＝ B．＝
C．＝ D．＝
【解答】解：由题意可得，
，
故选：D．
11．（3分）如图，在△ABC中，CA＝CB＝4，∠BAC＝α，将△ABC绕点A逆时针旋转2α，得到△AB′C′，连接B′C并延长交AB于点D，当B′D⊥AB时，的长是（　　）

A．π B．π C．π D．π
【解答】解：根据题意可得，
AC′∥B′D，
∵B′D⊥AB，
∴∠C′AD＝∠C′AB′+∠B′AB＝90°，
∵∠C′AD＝α，
∴α+2α＝90°，
∴α＝30°，
∵AC＝4，
∴AD＝AC•cos30°＝4×＝2，
∴，
∴的长度l＝＝．
故选：B．
12．（3分）已知反比例函数y＝（b≠0）的图象如图所示，则一次函数y＝cx﹣a（c≠0）和二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　）

A． B．
C． D．
【解答】解：∵反比例函数y＝（b≠0）的图象位于一、三象限，
∴b＞0；
∵A、B的抛物线都是开口向下，
∴a＜0，根据同左异右，对称轴应该在y轴的右侧，
故A、B都是错误的．
∵C、D的抛物线都是开口向上，
∴a＞0，根据同左异右，对称轴应该在y轴的左侧，
∵抛物线与y轴交于负半轴，
∴c＜0
由a＞0，c＜0，排除C．
故选：D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．）
13．（2分）化简：＝　2　．
【解答】解：＝＝＝2．
故答案为：2．
14．（2分）当x＝　0　时，分式的值为零．
【解答】解：由题意得：
2x＝0且x+2≠0，
∴x＝0且x≠﹣2，
∴当x＝0时，分式的值为零，
故答案为：0．
15．（2分）如图，一个质地均匀的正五边形转盘，指针的位置固定，当转盘自由转动停止后，观察指针指向区域内的数（若指针正好指向分界线，则重新转一次），这个数是一个奇数的概率是 　　．

【解答】解：由图可知，
指针指向的区域有5种可能性，其中指向的区域是奇数的可能性有3种，
∴这个数是一个奇数的概率是，
故答案为：．
16．（2分）古希腊数学家泰勒斯曾利用立杆测影的方法，在金字塔影子的顶部直立一根木杆，借助太阳光测金字塔的高度．如图，木杆EF长2米，它的影长FD是4米，同一时刻测得OA是268米，则金字塔的高度BO是 　134　米．

【解答】解：据相同时刻的物高与影长成比例，
设金字塔的高度BO为x米，则可列比例为，，
解得：x＝134，
答：金字塔的高度BO是134米，
故答案为：134．
17．（2分）阅读材料：整体代值是数学中常用的方法．例如“已知3a﹣b＝2，求代数式6a﹣2b﹣1的值．”可以这样解：6a﹣2b﹣1＝2（3a﹣b）﹣1＝2×2﹣1＝3．根据阅读材料，解决问题：若x＝2是关于x的一元一次方程ax+b＝3的解，则代数式4a2+4ab+b2+4a+2b﹣1的值是 　14　．
【解答】解：∵x＝2是关于x的一元一次方程ax+b＝3的解，
∴2a+b＝3，
∴b＝3﹣2a，
∴4a2+4ab+b2+4a+2b﹣1
＝4a2+4a（3﹣2a）+（3﹣2a）2+4a+2（3﹣2a）﹣1
＝4a2+12a﹣8a2+9﹣12a+4a2+4a+6﹣4a﹣1
＝14．
故答案为：14．
18．（2分）如图，在正方形ABCD中，AB＝4，对角线AC，BD相交于点O．点E是对角线AC上一点，连接BE，过点E作EF⊥BE，分别交CD，BD于点F，G，连接BF，交AC于点H，将△EFH沿EF翻折，点H的对应点H′恰好落在BD上，得到△EFH′．若点F为CD的中点，则△EGH′的周长是 　5+　．

【解答】解：如图，过点E作EM⊥BC于M，作EN⊥CD于N，过点F作FP⊥AC于P，连接GH，

∵将△EFH沿EF翻折得到△EFH′，
∴△EGH'≌△EGH，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝CD＝BC＝4，∠BCD＝90°，∠ACD＝∠ACB＝45°，
∴BD＝BC＝8，△CPF是等腰直角三角形，
∵F是CD的中点，
∴CF＝CD＝2，
∴CP＝PF＝2，OB＝BD＝4，
∵∠ACD＝∠ACB，EM⊥BC，EN⊥CD，
∴EM＝EN，∠EMC＝∠ENC＝∠BCD＝90°，
∴∠MEN＝90°，
∵EF⊥BE，
∴∠BEF＝90°，
∴∠BEM＝∠FEN，
∵∠BME＝∠FNE，
∴△BME≌△FNE（ASA），
∴EB＝EF，
∵∠BEO+∠PEF＝∠PEF+∠EFP＝90°，
∴∠BEO＝∠EFP，
∵∠BOE＝∠EPF＝90°，
∴△BEO≌△EFP（AAS），
∴OE＝PF＝2，OB＝EP＝4，
∵tan∠OEG＝＝，即＝，
∴OG＝1，
∴EG＝＝，
∵OB∥FP，
∴∠OBH＝∠PFH，
∴tan∠OBH＝tan∠PFH，
∴＝，
∴＝＝2，
∴OH＝2PH，
∵OP＝OC﹣PC＝4﹣2＝2，
∴OH＝×2＝，
在Rt△OGH中，由勾股定理得：GH＝＝，
∴△EGH′的周长＝△EGH的周长＝EH+EG+GH＝2+++＝5+．
故答案为：5+．
三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
19．（6分）计算：（﹣1+2）×3+22÷（﹣4）．
【解答】解：原式＝1×3+4÷（﹣4）
＝3﹣1
＝2．
20．（6分）先化简，再求值：（x+y）（x﹣y）+（xy2﹣2xy）÷x，其中x＝1，y＝．
【解答】解：（x+y）（x﹣y）+（xy2﹣2xy）÷x
＝x2﹣y2+y2﹣2y
＝x2﹣2y，
当x＝1，y＝时，原式＝12﹣2×＝0．
21．（10分）如图，在▱ABCD中，BD是它的一条对角线．
（1）求证：△ABD≌△CDB；
（2）尺规作图：作BD的垂直平分线EF，分别交AD，BC于点E，F（不写作法，保留作图痕迹）；
（3）连接BE，若∠DBE＝25°，求∠AEB的度数．

【解答】（1）证明：如图1，

∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AD＝BC，
∵BD＝BD，
∴△ABD≌△CDB（SSS）；
（2）如图所示，

（3）解：如图3，

∵EF垂直平分BD，∠DBE＝25°，
∴EB＝ED，
∴∠DBE＝∠BDE＝25°，
∵∠AEB是△BED的外角，
∴∠AEB＝∠DBE+∠BDE＝25°+25°＝50°．
22．（10分）综合与实践
【问题情境】数学活动课上，老师带领同学们开展“利用树叶的特征对树木进行分类”的实践活动．
【实践发现】同学们随机收集芒果树、荔枝树的树叶各1片，通过测量得到这些树叶的长y（单位：cm），宽x（单位：cm）的数据后，分别计算长宽比，整理数据如下：

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
芒果树叶的长宽比
3.8
3.7
3.5
3.4
3.8
4.0
3.6
4.0
3.6
4.0
荔枝树叶的长宽比
2.0
2.0
20
2.4
1.8
19
1.8
2.0
1.3
1.9
【实践探究】分析数据如下：

平均数
中位数
众数
方差
芒果树叶的长宽比
3.74
m
4.0
0.0424
荔枝树叶的长宽比
1.91
2.0
n
0.0669
【问题解决】
（1）上述表格中：m＝　3.75　，n＝　2.0　；
（2）①A同学说：“从树叶的长宽比的方差来看，我认为芒果树叶的形状差别大．”
②B同学说：“从树叶的长宽比的平均数、中位数和众数来看，我发现荔枝树叶的长约为宽的两倍．”
上面两位同学的说法中，合理的是 　B　（填序号）；
（3）现有一片长11cm，宽5.6cm的树叶，请判断这片树叶更可能来自于芒果、荔枝中的哪种树？并给出你的理由．

【解答】解：（1）把10片芒果树叶的长宽比从小到大排列，排在中间的两个数分别为3.7、3.8，故m＝＝3.75；
10片荔枝树叶的长宽比中出现次数最多的是2.0，故n＝2.0；
故答案为：3.75；2.0；
（2）∵0.0424＜0.0669，
∴芒果树叶的形状差别小，故A同学说法不合理；
∵荔枝树叶的长宽比的平均数1.91，中位数是2.0，众数是2.0，
∴B同学说法合理．
故答案为：B；
（3）∵一片长11cm，宽5.6cm的树叶，长宽比接近2，
∴这片树叶更可能来自荔枝．
23．（10分）打油茶是广西少数民族特有的一种民俗．某特产公司近期销售一种盒装油茶，每盒的成本价为50元，经市场调研发现，该种油茶的月销售量y（盒）与销售单价x（元）之间的函数图象如图所示．
（1）求y与x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；
（2）当销售单价定为多少元时，该种油茶的月销售利润最大？求出最大利润．

【解答】解：（1）设函数解析式为y＝kx+b，由题意得：
，
解得：，
∴y＝﹣5x+500，
当y＝0时，﹣5x+500＝0，
∴x＝100，
∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣5x+500（50＜x＜100）；
（2）设销售利润为w元，
w＝（x﹣50）（﹣5x+500）＝﹣5x2+750x﹣25000＝﹣5（x﹣75）2+3125，
∵抛物线开口向下，
∴50＜x＜100，
∴当x＝75时，w有最大值，是3125，
∴当销售单价定为75元时，该种油茶的月销售利润最大，最大利润是3125元．
24．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AC为直径作⊙O交BC于点D，过点D作DE⊥AB，垂足为E，延长BA交⊙O于点F．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若＝，AF＝10，求⊙O的半径．

【解答】（1）证明：如图1，
连接OD，则OD＝OC，
∴∠ODC＝∠OCD，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠OCD，
∴∠B＝∠ODC，
∴OD∥AB，
∵DE⊥AB，
∴OD⊥DE，
∵OD为⊙O的半径，
∴DE是⊙O的切线；

（2）解：如图2，连接AD，
∵＝，
∴设AE＝2m，DE＝3m，
∵DE⊥AB，
∴∠AED＝∠BED＝90°，
在Rt△ADE中，根据勾股定理得，AD＝＝m，
∵AC为直径，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°＝∠AED，
∴∠A＝∠A，
∴△ABD∽△ADE，
∴＝，
∴，
∴AB＝m，BD＝m，
∵AB＝AC，∠ADC＝90°，
∴DC＝m，BC＝2BD＝3m，
连接AF，则∠ADB＝∠F，
∵∠B＝∠B，
∴△ADB∽△CFB，
∴，
∵AF＝10，
∴BF＝AB+AF＝m+10，
∴，
∴m＝4，
∴AD＝4，CD＝6，
在Rt△ADC中，根据勾股定理得，AC＝＝26，
∴⊙O的半径为AC＝13．


25．（10分）已知抛物线y＝﹣x2+2x+3与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧）．
（1）求点A，点B的坐标；
（2）如图，过点A的直线l：y＝﹣x﹣1与抛物线的另一个交点为C，点P为抛物线对称轴上的一点，连接PA，PC，设点P的纵坐标为m，当PA＝PC时，求m的值；
（3）将线段AB先向右平移1个单位长度，再向上平移5个单位长度，得到线段MN，若抛物线y＝a（﹣x2+2x+3）（a≠0）与线段MN只有一个交点，请直接写出a的取值范围．

【解答】解：（1）当y＝0时，﹣x2+2x+3＝0，
∴x1＝﹣1，x2＝3，
∴A （﹣1，0），B（3，0）；
（2）∵抛物线对称轴为：x＝＝1，
∴设P（1，m），
由﹣x2+2x+3＝﹣x﹣1得，
x3＝﹣1（舍去），x4＝4，
当x＝4时，y＝﹣4﹣1＝﹣5，
∴C（4，﹣5），
由PA2＝PC2得，
22+m2＝（4﹣1）2+（m+5）2，
∴m＝﹣3；
（3）可得M（0，5），N（4，5），
当a＞0时，
∵y＝﹣a（x﹣1）2+4a，
∴抛物线的顶点为：（1，4a），
∴，
∴a≥，
当a＜0时，
（﹣16+8+3）a≥5，
∴a≤﹣1，
综上所述：a≥或a≤﹣1．
26．（10分）已知∠MON＝α，点A，B分别在射线OM，ON上运动，AB＝6．
（1）如图①，若α＝90°，取AB中点D，点A，B运动时，点D也随之运动，点A，B，D的对应点分别为A′，B′，D′，连接OD，OD′．判断OD与OD′有什么数量关系？证明你的结论；
（2）如图②，若α＝60°，以AB为斜边在其右侧作等腰直角三角形ABC，求点O与点C的最大距离；
（3）如图③，若α＝45°，当点A，B运动到什么位置时，△AOB的面积最大？请说明理由，并求出△AOB面积的最大值．


【解答】解：（1）OD＝OD′，理由如下：
在Rt△AOB中，点D是AB的中点，
∴OD＝，
同理可得：OD′＝，
∵AB＝A′B′，
∴OD＝OD′；
（2）如图1，

作△AOB的外接圆I，连接CI并延长，分别交⊙I于O′和D，
当O运动到O′时，OC最大，
此时△AOB是等边三角形，
∴BO′＝AB＝6，
OC最大＝CO′＝CD+DO′＝+BO′＝3+3；
（3）如图2，

作等腰直角三角形AIB，以I为圆心，AI为半径作⊙I，
∴AI＝＝3，∠AOB＝，
则点O在⊙I上，取AB的中点C，连接CI并延长交⊙I于O，
此时△AOB的面积最大，
∵OC＝CI+OI＝AB+3＝3+3，
∴S△AOB最大＝＝9+9．