高考题型7 指数型函数的单调性、对称性试卷

题型7   指数型函数的单调性、对称性

【方法点拨】

1. 指数复合型函数的对称中心为.

记忆方法：横下对，纵半分（即横坐标是使分母取对数的值，但真数为保证有意义，取的是绝对值而已，而纵坐标是分母、分子中的常数分别作为分母、分子的值的一半）.

2.函数的性质如下：

（1）定义域是R；                   （2）值域是（－1,1）；   

（3）在（－∞，+∞）单增；           （4）是奇函数，其图象关于坐标原点对称.

说明：形如的函数，即指数函数与一次分式函数复合类型的函数是重要的考察的载体，通过变形（部分分式），可得到、等.

【典型例题】

例1   已知函数，则满足不等式的实数的取值范围是           .

【答案】

【解析】的对称中心是，其定义域为R且单减

令，则为R上的单调递减的奇函数

由得

即

因为为奇函数，故

所以

又在R上单减，所以，解之得

所以实数的取值范围是.

例2   已知，设函数，的最大值、最小值分别为，则的值为          .

【答案】4039

【分析】研究函数的对称性，利用函数（其中是奇函数）在对称区间上的最大值、最小值的和为.

【解析】

设

则

所以的图象关于点对称

所以的图象关于点对称

故的值为4039.

例3   已知函数（）是奇函数，设函数，,

若，其中，试比较的大小.

【答案】.

【分析】研究函数的单调性，逆用单调性脱“g”即可.

【解析】易得，故，，下面考察函数的单调性.

对于在单增，由复合函数单调性得在单减；

对于，设（），在单减，由复合函数单调性得在单减，

再由函数单调性得性质得，在单减，

因为，，所以.

【巩固练习】

1.已知函数的图象关于坐标原点对称，则实数的值为_____.

2. 已知函数，则满足不等式的实数的取值范围是           .

3.已知，则的值为        ．

4. 已知函数在区间[－k,k]上的值域为[m,n]，则m＋n=________．

5. 已知函数是定义域为的奇函数,当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是           .

【答案与提示】

1.【答案】－1

【提示】由立得.

2.【答案】

【提示】的对称中心是，其定义域为R且单增.

3.【答案】

【思路一】从所求式中自变量的特征，被动发现函数的对称性.设若，尝试去求

的值，易得.

【思路二】主动发现函数的对称性，，设，则其对称中心为，则的对称中心也为，故.

4. 【答案】2

【提示】，奇，单增.

5. 【答案】.

【解析】∵函数是定义域为的奇函数，

∴，解得.

经检验，当时，函数为奇函数，即所求实数的值为.

设且，则

，

∵，∴，，

∴，即，所以是上的减函数.

由，可得.

∵是上的奇函数，∴，

又是上的减函数，

所以对恒成立，

令，∵，∴，

∴对恒成立，

思路一：（转化为二次函数区间上的最大值≤0）

令，，该函数开口朝上，故或取得最大值

∴，解得，所以实数的取值范围为.

思路二：（分离变量）即对恒成立，

设，则在区间上单减，在区间上单增

所以

所以，故实数的取值范围为.