2023届高考人教B版数学一轮复习课件（适用于新高考新教材）第三章　一元函数的导数及其应用 3.1　导数的概念、意义及运算

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这是一份2023届高考人教B版数学一轮复习课件（适用于新高考新教材）第三章　一元函数的导数及其应用 3.1　导数的概念、意义及运算，共37页。PPT课件主要包含了内容索引，必备知识预案自诊，关键能力学案突破，知识梳理，x2-x1，y2-y1，常数k，αxα-1，axlna，cosx等内容，欢迎下载使用。

1.函数的平均变化率一般地,若函数y=f(x)的定义域为D,且x1,x2∈D,x1≠x2,y1=f(x1),y2=f(x2),则(1)称Δx=　　　　为自变量的改变量; (2)称Δy=　　　　　　　(或Δf=f(x2)-f(x1))为相应的因变量的改变量; (3)称 =　　　　　　 (或 =　　　　　 )为函数y=f(x)在以x1,x2为端点的闭区间上的平均变化率,其中“以x1,x2为端点的闭区间”,在x1x2时指的是[x2,x1].
温馨提示函数平均变化率的几何意义如图所示,函数f(x)在区间[x1,x2]上的平均变化率,就是直线AB的斜率,其中A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2)),事实上
2.平均速度与平均变化率如果物体运动的位移x m与时间t s的关系为x=h(t),则物体在[t1,t2](t13.瞬时变化率与导数(1)瞬时变化率
(2)导数①f(x)在x0处的导数记作f'(x0);②f'(x0)=　　　　　　　　　. (3)导函数一般地,如果函数y=f(x)在其定义域内的每一点x都　　　,则称f(x)可导.此时,对定义域内的每一个值x,都对应一个确定的导数f'(x).于是,在f(x)的定义域内,　　　是一个函数,这个函数通常称为函数y=f(x)的导函数.记作f'(x)(或y',yx'),即f'(x)=y'=yx'=　　　　　　　　　.导函数通常也简称为导数.
4.导数的几何意义f'(x0)就是曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处(也称在x=x0处)的切线的斜率,从而根据直线的点斜式方程可知,切线的方程是　　　　　　　　　　　　. 5.常用函数的求导公式C'=　　　, (xα)'=　　　　, (ax)'=　　　　, (lgax)'=　　　　, (sin x)'=　　　　, (cs x)'=　　　　.
y-f(x0)=f'(x0)(x-x0)
6.求导法则(1)函数和与差的求导法则[f(x)±g(x)]'=　　　　　　　　. (2)函数积的求导法则[f(x)g(x)]'=　　　　　　　;特别地,[Cf(x)]'=　　　　. (3)函数商的求导法则
f'(x)±g'(x)
f'(x)g(x)+f(x)g'(x)
7.简单复合函数的求导法则(1)复合函数的概念一般地,已知函数y=f(u)与u=g(x),给定x的任意一个值,就能确定u的值.如果此时还能确定y的值,则y可以看成x的函数,此时称f(g(x))有意义,且称y=h(x)=f(g(x))为函数　　　　与　　　　的复合函数,其中　　称为中间变量. (2)复合函数的求导法则一般地,如果函数y=f(u)与u=g(x)的复合函数为y=h(x)=f(g(x)),则可以证明,复合函数的导数h'(x)与f'(u),g'(x)之间的关系为h'(x)=[f(g(x))]'=　　　=　　　　.这一结论也可以表示为yx'=　　.
f'(u)g'(x)
　f'(g(x))g'(x)
1.①[f1(x)±f2(x)±…±fn(x)]'=f1'(x)±f2'(x)±…±fn'(x).②[af(x)+bg(x)]'=af'(x)+bg'(x)(a,b为常数).2.奇函数的导数是偶函数,偶函数的导数是奇函数,周期函数的导数还是周期函数.3.函数y=f(x)的导数f'(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势,其正负号反映了变化的方向,其大小|f'(x)|反映了变化的快慢,|f'(x)|越大,曲线在这点处的切线越“陡”.
1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.(1)f'(x0)是函数y=f(x)在x=x0附近的平均变化率.(　　)(2)求f'(x0)时,可先求f(x0)再求f'(x0).(　　)(3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点.(　　)(4)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线.(　　)(5)曲线y=f(x)在点P(x0,y0)处的切线与过点P(x0,y0)的切线相同.(　　)
2.一质点沿直线运动,如果由始点起经过t s后的位移为 ,那么速度为零的时刻是(　　)A.0 sB.1 s末C.2 s末D.1 s末和2 s末
3.(2020全国1,理6)函数f(x)=x4-2x3的图像在点(1,f(1))处的切线方程为(　　)A.y=-2x-1B.y=-2x+1C.y=2x-3D.y=2x+1
答案 B　解析对函数f(x)求导可得f'(x)=4x3-6x2,由导数的几何意义知在点(1,f(1))处的切线的斜率为k=f'(1)=-2.又因为f(1)=-1,所以切线方程为y-(-1)=-2(x-1),化简得y=-2x+1.
答案 2x+y-3=0　
【例1】分别求下列函数的导数:(1)y=ex·cs x;
解题心得函数求导应遵循的原则:(1)求导之前,应利用代数、三角恒等变换等对函数进行化简,然后求导,这样可以减少运算量,提高运算速度,减少差错.(2)进行导数运算时,要牢记导数公式和导数的四则运算法则,切忌记错记混.(3)复合函数的求导,要正确分析函数的复合层次,通过设中间变量,确定复合过程,然后求导.
对点训练1求下列函数的导数.(1)y=x2sin x;
考向1　过函数图像上一点求切线方程【例2】已知函数f(x)=x3-4x2+5x-4.(1)求曲线f(x)在点(2,f(2))处的切线方程;(2)求经过点A(2,-2)的曲线f(x)的切线方程.
解 (1)∵f'(x)=3x2-8x+5,∴f'(2)=1,又f(2)=-2,∴曲线在点(2,f(2))处的切线方程为y+2=x-2,即x-y-4=0.
解题心得求切线方程时,注意区分曲线在某点处的切线和曲线过某点的切线,曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线方程是y-f(x0)=f'(x0)(x-x0).求过某点的切线方程,需先设出切点坐标,再依据已知点在切线上求解.
对点训练2(1)已知函数f(x)=xln x(x>0),若直线l过点(0,-1),并且与曲线y=f(x)相切,则直线l的方程为(　　)A.x+y-1=0B.x-y-1=0C.x+y+1=0D.x-y+1=0(2)(2020全国1,文15)曲线y=ln x+x+1的一条切线的斜率为2,则该切线的方程为　　　　　.
答案 (1)B　(2)y=2x　
解析(1)f'(x)=ln x+1,x>0,设直线l的方程为y=kx-1,直线l与f(x)的图像的切点为(x0,y0),
考向2　已知曲线切线方程(或斜率)求切点【例3】 (1)(2020湖北高考模拟,理13)设曲线y=ex+1上点P处的切线平行于直线x-y-1=0,则点P的坐标是　　　　.
答案 (1)(0,2)　(2)ln 2　
解题心得已知切线方程(或斜率)求切点的一般思路是先求函数的导数,再让导数等于切线的斜率,从而求出切点的横坐标,将横坐标代入函数解析式求出切点的纵坐标.
对点训练3设曲线y=ex在点(0,1)处的切线与曲线y= (x>0)上点P处的切线垂直,则点P的坐标为　　　　　.
答案 (1,1)　
考向3　已知切线方程(或斜率)求参数的值【例4】若曲线f(x)=xln x+2m上点P处的切线方程为x-y=0.(1)求实数m的值;(2)若过点Q(1,t)存在两条直线与曲线y=f(x)相切,求实数t的取值范围.
解 (1)设点P坐标为(n,n).f(x)=xln x+2m的导数为f'(x)=1+ln x,点P(n,n)处的切线斜率为1+ln n=1,可得n=1,即切点为(1,1),则1=2m,解得m= .(2)f(x)=xln x+1.设切点为(u,v),则切线的斜率为f'(u)=1+ln u,即有切线的方程为y-uln u-1=(1+ln u)(x-u).代入点Q(1,t),即有t-uln u-1=(1+ln u)(1-u).即为t-2=ln u-u,在(0,+∞)上有两实数解,记g(u)=ln u-u,导数为g'(u)= -1.当u>1时,g(u)单调递减,当0解题心得已知切线方程(或斜率)求参数值的关键就是列出函数的导数等于切线斜率的方程.