新教材高一数学下学期暑假训练1平面向量含答案

1 平面向量

例1．给出下列命题：

①零向量的长度为零，方向是任意的；

②若，都是单位向量，则；

③若，则或，

则所有正确命题的序号是（）

A．③ B．① C．①③ D．①②

例2．如图，半径为1的扇形的圆心角为，点C在弧上，且，若，则（）

A． B． C． D．

例3．（多选）若向量，，下列结论正确的是（）

A．若同向，则

B．与垂直的单位向量一定是

C．若在上的投影向量为（是与向量同向的单位向量），则

D．若与所成角为锐角，则n的取值范围是

例4．如图，在菱形中，，，､分别为､上的点，，，点在线段上，且满足，则__________；若点为线段上一动点，则的取值范围为__________．

一、选择题．

1．（多选）已知向量，，则下列说法正确的是（）

A．若，则

B．若，则

C．若与的夹角为120°，则或

D．若与的夹角为锐角，则

2．如图，在正方形中，，E为的中点，点P是以为直径的圆弧上任一点．则的最大值为（）

A．4 B．5 C． D．

3．在中，，，，，若是边上的动点，则的取值范围是（）

A． B． C． D．

二、填空题．

4．在中，点是上一点，且，为上一点，向量，则的最小值为_________．

三、解答题．

5．如图，在等腰梯形中，，．

（1）若与共线，求k的值；

（2）若P为边上的动点，求的最大值．

6．如图所示，在中，，，与相交于点，

设，，试用和表示向量．

例1．【答案】B

【解析】零向量的长度为零，方向是任意的，故①正确；

单位向量是指长度为1的向量，两个单位向量不一定相等，故②错误；

两个向量长度相等，推不出这两个向量相等或者是相反向量，故③错误，

故选B．

例2．【答案】B

【解析】如图所示，以O为原点，OB为x轴，建立直角坐标系，，

，，，即，

，，，即，

又，，

，解得，

，故选B．

例3．【答案】AC

【解析】A．设，所以，所以，即，

所以满足，故正确；

B．因为，所以也是与垂直的单位向量，故错误；

C．因为在上的投影向量为，所以，所以，所以，故正确；

D．因为与所成角为锐角，所以且不同向，

所以，所以，故错误，

故选AC．

例4．【答案】，

【解析】，，所以分别是的一个三等分点，，

设，

，

又，所以，，

所以，

设，，，

，

，

，

因为，所以，

故答案为，．

一、选择题．

1．【答案】AB

【解析】由，得，故A正确；

由，得，故B正确；

当与的夹角为120°时，，

即，解得或．

代入验证为增根，则舍去，故，故C错误；

当与的夹角为锐角时，有，则，

解得且，故D错误，

故选AB．

2．【答案】D

【解析】取的中点为，以为轴，过点垂直为轴，建立平面直角坐标系，如图所示：

则，，

设，，，

，其中，

，故选D．

3．【答案】C

【解析】因为中，，，，，

建立如图所示平面直角坐标系：

设，则，，

所以，，

所以，

因为，所以，故选C．

二、填空题．

4．【答案】

【解析】因为，所以，

又三点共线，所以，

所以，

当且仅当，则时等号成立，所以的最小值为，

故答案为．

三、解答题．

5．【答案】（1）；（2）12．

【解析】（1）不共线，以它们为基底，

由已知，

又与共线，所以存在实数，

使得，

即，解得．

（2）等腰梯形中，，，则，

设，，

则，，

，

所以时，取得最大值12．

6．【答案】．

【解析】由A，M，D三点共线，，可得，

由C，M，B三点共线，，

可得，

，解得，

．