2023版（全国版）高考大一轮复习讲义第四章　曲线运动　万有引力与航天

第4节　万有引力定律及应用一、开普勒三定律定律内容图示或公式开普勒第一定律(轨道定律)所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上开普勒第二定律(面积定律)对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过相等的面积开普勒第三定律(周期定律)所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等＝k，k是一个与行星无关的常量【自测1】 关于行星运动的规律，下列说法符合史实的是(　　)A.开普勒在牛顿定律的基础上，导出了行星运动的规律B.开普勒在天文观测数据的基础上，总结出了行星运动的规律C.开普勒总结出了行星运动的规律，找出了行星按照这些规律运动的原因D.开普勒总结出了行星运动的规律，发现了万有引力定律答案　B解析　开普勒在天文观测数据的基础上总结出了行星运动的规律，并没有找出其中的原因，而牛顿发现了万有引力定律。二、万有引力定律1.内容自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m1和m2的乘积成正比，与它们之间距离r的二次方成反比。2.表达式F＝G，G为引力常量，G＝6.67×10－11 N·m2/kg2。3.适用条件(1)公式适用于质点间的相互作用，当两个物体间的距离远大于物体本身的大小时，物体可视为质点。(2)质量分布均匀的球体可视为质点，r是两球心间的距离。【自测2】 若地球表面处的重力加速度为g，而物体在距地面3R(R为地球半径)处，由于地球作用而产生的加速度为g′，则为(　　)A.1 B.C. D.答案　D三、宇宙速度1.第一宇宙速度(1)第一宇宙速度又叫环绕速度，其数值为7.9 km/s。(2)第一宇宙速度是人造卫星在地面附近环绕地球做匀速圆周运动时具有的速度。(3)第一宇宙速度是人造卫星的最小发射速度，也是人造卫星的最大环绕速度。(4)第一宇宙速度的计算方法由G＝m得v＝；由mg＝m得v＝。2.第二宇宙速度使物体挣脱地球引力束缚的最小发射速度，其数值为11.2 km/s。3.第三宇宙速度使物体挣脱太阳引力束缚的最小发射速度，其数值为16.7 km/s。【自测3】 2019年5月17日，我国成功发射第45颗北斗导航卫星，该卫星属于地球静止轨道卫星(同步卫星)。该卫星(　　)A.入轨后可以位于北京正上方B.入轨后的速度大于第一宇宙速度C.发射速度大于第二宇宙速度D.若发射到近地圆轨道所需能量较少答案　D考点一　开普勒定律和万有引力定律的理解与应用1.开普勒行星运动定律(1)行星绕太阳的运动通常按圆轨道处理。(2)开普勒行星运动定律也适用于其他天体，例如月球、卫星绕地球的运动。(3)开普勒第三定律＝k中，k值只与中心天体的质量有关，不同的中心天体k值不同。2.万有引力定律公式F＝G适用于质点、均匀介质球体或球壳之间万有引力的计算。当两物体为匀质球体或球壳时，可以认为匀质球体或球壳的质量集中于球心，r为两球心的距离，引力的方向沿两球心的连线。1.(开普勒定律的理解)火星和木星沿各自的椭圆轨道绕太阳运行，根据开普勒行星运动定律可知(　　)A.太阳位于木星运行轨道的中心B.火星和木星绕太阳运行速度的大小始终相等C.火星与木星公转周期之比的平方等于它们轨道半长轴之比的立方D.相同时间内，火星与太阳连线扫过的面积等于木星与太阳连线扫过的面积答案　C解析　由开普勒第一定律可知，太阳位于木星运行轨道的一个焦点上，故A错误；火星和木星绕太阳运行的轨道不同，运行速度的大小不可能始终相等，故B错误；根据开普勒第三定律知，太阳系中所有行星轨道的半长轴的三次方与它的公转周期的平方的比值是一个常数，故C正确；对于太阳系某一个行星来说，其与太阳连线在相同的时间内扫过的面积相等，不同行星在相同时间内扫过的面积不相等，故D错误。2.(万有引力定律的应用)(2020·全国卷Ⅰ)火星的质量约为地球质量的，半径约为地球半径的，则同一物体在火星表面与在地球表面受到的引力的比值约为(　　)A.0.2 B.0.4C.2.0 D.2.5答案　B解析　由万有引力定律可得，质量为m的物体在地球表面上时，受到的万有引力大小为F地＝G，质量为m的物体在火星表面上时，受到的万有引力大小为F火＝G，二者的比值＝＝0.4，B正确，A、C、D错误。考点二　万有引力与重力的关系万有引力与重力的关系地面地下天上两极(或不计自转)赤道g＝＝(R－h)mg＝g＝＝G＝mg0 g＝G＝mg1＋mω2Rg＝－ωR2.两个推论推论1：在匀质球壳的空腔内任意位置处，质点受到球壳的万有引力的合力为零。推论2：在匀质球体内部距离球心r处的质点(m)受到的万有引力等于球体内半径为r的同心球体(M′)对其的万有引力，即F＝。角度1　天体表面的重力加速度问题【真题示例1】 (2021·山东卷)从“玉兔”登月到“祝融”探火，我国星际探测事业实现了由地月系到行星际的跨越。已知火星质量约为月球的9倍，半径约为月球的2倍，“祝融”火星车的质量约为“玉兔”月球车的2倍。在着陆前，“祝融”和“玉兔”都会经历一个由着陆平台支撑的悬停过程。悬停时，“祝融”与“玉兔”所受着陆平台的作用力大小之比为(　　)图1A.9∶1 B.9∶2C.36∶1 D.72∶1答案　B解析　悬停时“祝融”和“玉兔”所受平台的作用力等于万有引力，根据F＝G得＝＝×2＝，故选项B正确。角度2　地球赤道与两极的重力加速度问题【例2】 (2021·北京通州区模拟)用传感器测量一物体的重力时，发现在赤道测得的读数与其在北极的读数相差大约3‰。如图2所示，如果认为地球是一个质量分布均匀的标准球体，下列说法正确的是(　　)图2A.在北极处物体的向心力为万有引力的3‰B.在北极处物体的重力为万有引力的3‰C.在赤道处物体的向心力为万有引力的3‰D.在赤道处物体的重力为万有引力的3‰答案　C解析　在北极处，没有向心力，重力等于万有引力，A、B错误；在赤道处F引－G′＝F向，再结合题意＝3‰知，在赤道处＝＝＝3‰，C正确；赤道处＝＝1－＝997‰，D错误。角度3　天体表面某深度处的重力加速度【例3】 (2021·西南名校1月联考)2020年11月10日8时12分，我国载人深海潜水器“奋斗者”号在马里亚纳海沟成功坐底，下潜深度达到10 909米，创造了中国载人深潜的新纪录。假设地球是半径为R且质量分布均匀的球体，已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零。某次“奋斗者”号潜水器下潜深度为h，则地面处和“奋斗者”号潜水器所在位置的重力加速度大小之比为(　　)A. B.C. D.答案　B解析　设质量为m的物体在质量为M的地球内距离地心为r处所受的万有引力为F，则F＝G＝mg，解得g＝G＝∝r，所以＝，故B正确。考点三　天体质量和密度的估算1.“g、R”法：已知天体表面的重力加速度g和天体半径R。由G＝mg，得天体质量M＝。天体密度ρ＝＝＝。2.“T、r”法：测出卫星绕中心天体做匀速圆周运动的半径r和周期T。由＝mr，得M＝。若已知天体的半径R，则天体的密度ρ＝＝＝。【例4】 1789年英国物理学家卡文迪许测出引力常量G，因此卡文迪许被人们称为“能称出地球质量的人”。若已知引力常量为G，地球表面处的重力加速度为g，地球半径为R，地球上一个昼夜的时间为T1(地球自转周期)，一年的时间为T2(地球公转周期)，地球中心到月球中心的距离为L1，地球中心到太阳中心的距离为L2。下列说法正确的是(　　)A.地球的质量m地＝ B.太阳的质量m太＝C.月球的质量m月＝ D.由题中数据可求月球的密度答案　B解析　若不考虑地球自转，根据地球表面物体所受的万有引力等于重力，有G＝mg，则m地＝，故A错误；根据太阳对地球的万有引力提供向心力，有G＝m地L2，则m太＝，故B正确；由题中数据无法求出月球的质量，也无法求出月球的密度，故C、D错误。3.(2021·广东卷)2021年4月，我国自主研发的空间站“天和”核心舱成功发射并入轨运行。若核心舱绕地球的运行可视为匀速圆周运动，已知引力常量，由下列物理量能计算出地球质量的是(　　)A.核心舱的质量和绕地半径B.核心舱的质量和绕地周期C.核心舱的绕地角速度和绕地周期D.核心舱的绕地线速度和绕地半径答案　D解析　根据万有引力提供核心舱绕地球做匀速圆周运动的向心力得＝m，解得M＝，D正确；由于核心舱质量在运算中被约掉，故无法通过核心舱质量求解地球质量，A、B错误；已知核心舱的绕地角速度，由＝mω2r得M＝，且ω＝，r约不掉，故还需要知道核心舱的绕地半径，才能求得地球质量，C错误。考点四　卫星运行参量的分析角度1　物理量随轨道半径变化的规律规律【真题示例5】 (2021·河北卷)“祝融号”火星车登陆火星之前，“天问一号”探测器沿椭圆形的停泊轨道绕火星飞行，其周期为2个火星日。假设某飞船沿圆轨道绕火星飞行，其周期也为2个火星日。已知一个火星日的时长约为一个地球日，火星质量约为地球质量的，则该飞船的轨道半径与地球同步卫星的轨道半径的比值约为(　　)A. B.C. D.答案　D解析　由万有引力提供向心力有G＝m()2r，解得r＝，所以飞船的轨道半径与地球同步卫星的轨道半径的比值＝＝＝。故A、B、C错误，D正确。角度2　第一宇宙速度的理解与计算1.第一宇宙速度的推导方法一：由G＝m得v＝＝ m/s＝7.9×103 m/s＝7.9 km/s。方法二：由mg＝m得v＝＝ m/s＝7.9×103 m/s＝7.9 km/s。2.第一宇宙速度是发射人造卫星的最小速度，也是人造卫星的最大环绕速度，此时它的运行周期最短，Tmin＝2π＝5 075 s≈85 min。【例6】 (2021·重庆南开中学模拟)2020年7月23日12点41分，我国火星探测器“天问一号”成功发射，开启了我国首次行星探测之旅。火星的表面积相当于地球陆地面积，火星的自转周期24.6 h，火星半径约是地球半径的0.53倍，火星质量约是地球质量的0.11倍。已知地球半径约为6.4×106 m，地球表面的重力加速度g＝10 m/s2，逃逸速度为第一宇宙速度的倍。根据以上信息请你估算火星的逃逸速度约为(　　)A.3.0 km/s B.4.0 km/sC.5.0 km/s D.6.0 km/s答案　C解析　根据万有引力提供向心力有＝m，解得地球的第一宇宙速度v1＝＝≈8.0 km/s，火星的第一宇宙速度v2＝＝0.45v1≈3.6 km/s，所以火星的逃逸速度v＝v2≈5.0 km/s选项C正确，A、B、D错误。考点一　开普勒定律　万有引力定律的理解与应用1.(2019·全国卷Ⅱ)2019年1月，我国嫦娥四号探测器成功在月球背面软着陆。在探测器“奔向”月球的过程中，用h表示探测器与地球表面的距离，F表示它所受的地球引力，能够描述F随h变化关系的图象是(　　)答案　D解析　由万有引力公式F＝G可知，探测器与地球表面距离h越大，F越小，排除B、C选项；而F与h不是一次函数关系，排除A选项，D选项正确。2.假设有一载人宇宙飞船在距地面高度为4 200 km的赤道上空绕地球做匀速圆周运动，地球半径约为6 400 km，地球同步卫星距地面高度为36 000 km，宇宙飞船和地球同步卫星绕地球同向运动，每当二者相距最近时，宇宙飞船就向同步卫星发射信号，然后再由同步卫星将信号发送到地面接收站，某时刻二者相距最远，从此刻开始，在一昼夜的时间内，接收站共接收到信号的次数为(　　)A.4次 B.6次C.7次 D.8次答案　C解析　宇宙飞船轨道半径为r1＝4 200 km＋6 400 km＝10 600 km，地球同步卫星轨道半径为r2＝36 000 km＋6 400 km＝42 400 km，r2＝4r1。根据开普勒第三定律，地球同步卫星的周期T2为宇宙飞船周期T1的8倍。则同步卫星角速度ω2＝，宇宙飞船运动角速度ω1＝＝，第一次相距最近用时t1＝＝，在T2时间内接收信号次数为n＝＝7，即从二者相距最远时刻开始，在一昼夜的时间内，接收站共接收到信号的次数为7次，选项C正确。3.海王星绕太阳的公转轨道是个椭圆，公转周期为T0，其近日点到太阳的距离为a，远日点到太阳的距离为b，半短轴的长度为c，A、C和B、D分别为长轴和短轴的端点，如图1所示。若太阳的质量为M，万有引力常量为G，忽略其他行星对它的影响，则(　　)图1A.海王星从A→B→C的过程中，速率逐渐变大B.海王星从A→B所用的时间等于C.海王星从B→C→D的过程中，万有引力对它选做正功后做负功D.海王星在B点的加速度为答案　D解析　根据开普勒第二定律：对每一个行星而言，太阳行星的连线在相同时间内扫过的面积相等。所以海王星从A→B→C的过程中，海王星与太阳的距离增大，速率逐渐变小，故A错误；公转周期为T0，海王星从A→C的过程中所用的时间是0.5T0，由于海王星从A→B→C的过程中，速率逐渐变小，从A→B与从B→C的路程相等，所以海王星从A→B所用的时间小于，故B错误；海王星从B→C→D的过程中，万有引力方向先与速度方向成钝角，过了C点后万有引力方向与速度方向成锐角，所以万有引力对它先做负功后做正功，故C错误；根据几何关系可知，海王星在B点到太阳的距离为r＝，根据万有引力提供向心力知＝man，知海王星在B点的加速度为an＝＝，故D正确。考点二　万有引力定律与重力的关系4.(2020·山东卷)我国将在今年择机执行“天问1号”火星探测任务。质量为m的着陆器在着陆火星前，会在火星表面附近经历一个时长为t0、速度由v0减速到零的过程。已知火星的质量约为地球的0.1倍，半径约为地球的0.5倍，地球表面的重力加速度大小为g，忽略火星大气阻力。若该减速过程可视为一个竖直向下的匀减速直线运动，此过程中着陆器受到的制动力大小约为(　　)A.m B.mC.m D.m答案　B解析　由G＝mg，解得火星表面的重力加速度与地球表面重力加速度的比值＝＝0.1×22＝0.4，即火星表面的重力加速度g火＝0.4g。着陆器着陆过程可视为竖直向下的匀减速直线运动，由v0－at0＝0可得a＝。由牛顿第二定律有F－mg火＝ma，解得F＝m，选项B正确。考点三　天体质量和密度的估算5.2018年2月，我国500 m口径射电望远镜(天眼)发现毫秒脉冲星“J0318＋0253”，其自转周期T＝5.19 ms。假设星体为质量均匀分布的球体，已知万有引力常量为6.67×10－11 N·m2/kg2。以周期T稳定自转的星体的密度最小值约为(　　)A.5×109 kg/m3 B.5×1012 kg/m3C.5×1015 kg/m3 D.5×1018 kg/m3答案　C解析　毫秒脉冲星稳定自转时由万有引力提供其表面物体做圆周运动的向心力，根据G＝m，M＝ρ·πR3，得ρ＝，代入数据解得ρ≈5×1015 kg/m3，C正确。6.(2021·辽宁葫芦岛一模)若银河系内每个星球贴近其表面运行的卫星的周期用T表示，被环绕的星球的平均密度用ρ表示。ρ与的关系图象如图2所示，已知万有引力常量G＝6.67×10－11 N·m2/kg2。则该图象的斜率约为(　　)图2A.1.4×1010 kg2/N·m2 B.1.4×1011 kg2/N·m2C.7×10－10 N·m2/kg2 D.7×10－11 N·m2/kg2答案　B解析　令该星球的半径为R，则星球的体积V＝πR3，卫星绕星球做匀速圆周运动，由万有引力提供卫星圆周运动的向心力，则有G＝mR，所以星球的密度为ρ＝，联立解得ρ＝，由数学知识知，该图象斜率k＝≈1.4×1011 kg2/N·m2，故选B。7.(多选)已知人造航天器在月球表面上空绕月球做匀速圆周运动，经过时间t(t小于航天器的绕行周期)，航天器运动的弧长为s，航天器与月球的中心连线扫过的角度为θ，引力常量为G，则(　　)A.航天器的轨道半径为 B.航天器的环绕周期为C.月球的质量为 D.月球的密度为答案　BCD解析　根据几何关系可得r＝，A错误；经过时间t，航天器与月球的中心连线扫过的角度为θ，则＝，解得T＝，B正确；由万有引力提供向心力得G＝mr，联立解得M＝，C正确；人造航天器在月球表面上空绕月球做匀速圆周运动，月球的半径等于r，则月球的体积为V＝πr3，月球的密度为ρ＝，联立解得ρ＝，D正确。考点四　卫星运行参量的分析8.(2022·四川巴中模拟)我国的航天事业正飞速发展，“天宫”空间站搭载三名宇航员正环绕地球运行，“天问一号”环绕器正环绕火星运行。假设它们都沿圆轨道运行，地球与火星的质量之比为p，“天宫”空间站与“天问一号”环绕器的轨道半径之比为k。“天宫”空间站与“天问一号”环绕器的(　　)A.运行周期之比为 B.环绕速度之比为C.加速度之比为pk2 D.动能之比为答案　A解析　根据万有引力提供向心力有G＝m＝mr＝ma，解得v＝，T＝，a＝，所以运行周期之比为＝，环绕速度之比为＝，加速度之比为＝，选项A正确，B、C错误；“天宫”空间站与“天问一号”环绕器的质量关系未知，无法求得动能之比，选项D错误。9.(多选)已知火星的直径约是地球的一半，质量约为地球质量的，表面积相当于地球陆地面积，自转周期与地球十分接近，到太阳的距离约是日地距离的1.5倍。根据以上信息可知(　　)A.火星表面的重力加速度约是地球表面重力加速度的0.4B.火星的第一宇宙速度约为地球第一宇宙速度的1.6倍C.火星的同步卫星轨道半径约为地球同步卫星轨道半径的1倍D.火星的公转周期约1.8年答案　AD解析　根据万有引力等于重力＝mg，得g＝。火星、地球表面的重力加速度之比为＝＝×22＝0.4，故A正确；根据第一宇宙速度的公式v＝，则火星的第一宇宙速度与地球的第一宇宙速度之比＝＝＝，故B错误；由＝mR和两星球的质量不相等知，两星球同步卫星半径不可能相等，故C错误；研究火星和地球绕太阳公转，根据万有引力提供向心力G＝mR，得T＝2π，火星与地球公转周期之比为3∶4，即火星的公转周期约为1.8年，故D正确。10.(多选)(2021·山东潍坊期末)2020年12月1日23时11分，在经历了为期一周的地月转移、近月制动、环月飞行之旅后，“嫦娥五号”探测器在月球表面预定的区域软着陆。若“嫦娥五号”在环月飞行时绕月球做匀速圆周运动，已知“嫦娥五号”距月球表面高度为h，运行周期为T，月球半径为R，引力常量为G，忽略月球自转，则下列说法正确的是(　　)A.“嫦娥五号”绕月球做匀速圆周运动时的线速度大小为B.月球表面重力加速度大小为C.月球的第一宇宙速度为D.月球的平均密度为答案　CD解析　“嫦娥五号”绕月球做匀速圆周运动时的线速度大小v＝，选项A错误；由＝mg月可得月球表面重力加速度大小g月＝，选项B错误；根据mg月＝m可得月球的第一宇宙速度v1＝，选项C正确；联合GM＝g月R2，M＝ρv，v＝πR3，可得月球的平均密度为ρ＝，选项D正确。11.(2021·南京二十九中模拟)如图3甲所示，太阳系中有一颗“躺着”自转的蓝色“冷行星”——天王星，周围存在着环状物质。为了测定环状物质是天王星的组成部分，还是环绕该行星的卫星群，假设“中国天眼”对其做了精确的观测，发现环状物质线速度的二次方即v2与到行星中心的距离的倒数即r－1关系如图乙所示。已知天王星的半径为r0，引力常量为G，以下说法正确的是(　　)图3A.环状物质是天王星的组成部分B.天王星的自转周期为C.v2－r－1关系图象的斜率等于天王星的质量D.天王星表面的重力加速度为答案　D解析　若环状物质是天王星的组成部分，则环状物质与天王星同轴转动，角速度相同是定值，由线速度公式v＝ωr可得v∝r，题中图线特点是v2∝r－1，说明环状物质不是天王星的组成部分，A、B错误；若环状物质是天王星的卫星群，由天王星对环状物质的引力提供环状物质做圆周运动的向心力，则有G＝m可得v2＝GMr－1则有v2∝r－1，由图象特点可知，环状物质是天王星的卫星群，可得v2－r－1图象的斜率等于GM，不等于天王星的质量，C错误；由v2－r－1的关系图象可知r－1的最大值是r，则天王星的卫星群转动的最小半径为r0，即天王星的半径是r0，卫星群在天王星的表面运行的线速度为v0，天王星表面的重力加速度即卫星群的向心加速度为，D正确。12.宇宙中有两颗相距无限远的恒星S1、S2，半径均为R0。图4分别是两颗恒星周围行星的公转周期T2与半径r3的图象，则(　　)图4A.恒星S1的密度小于恒星S2的密度B.恒星S1的质量大于恒星S2的质量C.恒星S1的第一宇宙速度大于恒星S2的第一宇宙速度D.距两恒星表面高度相同的行星，S1的行星向心加速度较大答案　A解析　由题图可知，当绕恒星运动的行星的环绕半径相等时，S1运动的周期较大，由万有引力提供向心力有G＝mr解得M＝，周期越大，则质量越小，所以恒星S1的质量小于恒星S2的质量，故B错误；两颗恒星的半径相等，则体积相等，所以恒星S1的密度小于恒星S2的密度，故A正确；根据万有引力提供向心力，则G＝m，解得v＝，由于恒星S1的质量小于恒星S2的质量，所以恒星S1的第一宇宙速度小于恒星S2的第一宇宙速度，故C错误；距两恒星表面高度相等的行星，如图当他们轨道半径相等时，绕恒星S1运动的周期大于绕恒星S2运动的周期，它们的向心加速度a＝r，所以S1的行星向心加速度较小，故D错误。13.(多选)已知火星的半径是地球半径的，质量是地球质量的，地球表面的重力加速度是g，地球的半径为R，在地面上以某一速度向上竖直起跳的最大高度是h，忽略自转的影响，下列说法正确的是(　　)A.火星的密度为B.火星表面的重力加速度是C.火星的第一宇宙速度与地球的第一宇宙速度相等D.假如以与在地球上相同的速度在火星上向上竖直起跳，则能达到的最大高度是答案　ABD解析　由G＝mg，得到g＝，已知火星半径是地球半径的，质量是地球质量的，则火星表面的重力加速度是地球表面重力加速度的，即为g，故B正确；设火星质量为M′，对火星表面的物体，由万有引力等于重力可得G＝mg′，解得M′＝，密度为ρ＝＝＝，故A正确；由G＝m，得到v＝，火星的第一宇宙速度是地球第一宇宙速度的，故C错误；以v0在地球起跳时，根据竖直上抛的运动规律得出可跳的最大高度是h＝，由于火星表面的重力加速度是g，以相同的初速度在火星上起跳时，能达到的最大高度h′＝h，故D正确。14.(多选)(2021·河北唐山调考)如图5所示，某航天器围绕一颗行星做匀速圆周运动，航天器的轨道半径为R，环绕行星运动的周期为T，经过轨道上A点时发出了一束激光，与行星表面相切于B点，若测得激光束AB与轨道半径AO夹角为θ，引力常量为G，不考虑行星的自转，下列说法正确的是(　　)图5A.行星的质量为B.行星表面的重力加速度为C.行星的平均密度为D.行星的第一宇宙速度为答案　AB解析　匀速圆周运动的周期为T，那么可以得到匀速圆周运动的线速度v＝，再根据万有引力提供向心力G＝，解得m1＝，故A正确；一个行星表面的重力加速度为m2g＝G，联立解得g＝，故B正确；体积为V＝＝，所以平均密度为ρ＝＝·＝，故C错误；行星的第一宇宙速度为v＝＝，故D错误。