2022年河南省三门峡市中考数学一模试卷（含答案解析）

2022年河南省三门峡市中考数学一模试卷

1. 的相反数是

A.  B. 5 C.  D.

2. 根据三门峡市统计局2月11日公布的数据：2021年度三门峡市国民生产总值约为1582亿元，同比增长约数据“1582亿”用科学记数法表示是

A.  B.  C.  D.

3. 已知，则的值为

A.  B. 7 C.  D. 3

4. 如图，由8个大小相同的正方体搭成的几何体，从正面看到的形状图是

A.
B.
C.
D.
 

5. 如图，，的平分线BP与的平分线AP相交于点P，作于点E，，则两条平行线AD与BC间的距离为

A. 5 B. 8 C. 9 D. 10

6. 下列运算正确的是

A.  B.
C.  D.

7. 矩形、菱形都具有的性质是

A. 对角线互相垂直 B. 对角线相等
C. 对角线互相平分 D. 对角线垂直、平分且相等

8. 关于x的一元二次方程有两个实数根，则m的取值范围是

A.  B.  C. 且 D.

9. 如图，直线与x轴、y轴分别相交于点A，B，过点B作，使将绕点O顺时针旋转，每次旋转，当第2022次旋转结束时，点C的对应点落在反比例函数的图象上，则k的值为
    

A.  B. 40 C. 80 D.

10. 如图①，在矩形ABCD中，，点P从点B出发沿线段BC向点C运动，线段AP的垂直平分线分别交AB，DC于点M，N，设，，y与x之间的函数图象如图②所示，则图②中的a的值为

A. 8 B. 12 C. 9 D.

11. 请写出一个小于的正整数______.
12. 满足不等式组的整数解是______.
13. 小明和小强本学期在延时服务选课中都喜欢篮球、乒乓球、电脑编程、兴趣数学这四门课，但是因时间冲突，每人只能选这4门课中的一种，假设每门课被选中的机会均等，那么小明和小强选中同一门课的概率是______.
14. 按照如图所示方法三次折叠半径为1的圆形纸片，则图3中阴影部分的面积为______结果保留
     

15. 如图，在中，，，，点D是边AC上一动点.连接BD，将沿BD折叠，点A落在处，当点在内部不含边界时，AD长度的取值范围是______ .

16. 先化简，再求值：，其中
17. 2021年是中国共产党建党100周年，为了让学生了解更多的党史知识，某中学举行了一次“党史知识竞赛”，为了了解本次竞赛情况，从中抽取了初一、初二两个年级各50名学生，对他们此次竞赛的成绩分别进行了整理、描述和分析.下面给出部分信息初一年级学生竞赛成绩的频数分布直方图如图数据分成6组：，，，，，；
    初一年级学生竞赛成绩在这一组的是：
    80 81 81 82 82 84 86 86 86 88 88 89
    这两个年级学生竞赛成绩的平均数、众数、中位数如表：

根据以上信息，回答下列问题：
写出表中m的值；
在此次竞赛中，竞赛成绩更好的是______ 填“初一”或“初二”，理由是______ .
已知该校初一年级有学生400人，估计该校初一年级学生竞赛成绩超过85的人数.

18. 数学老师在给同学们讲完下面例题后，告诉同学们，知道平行线、角平分线和等腰三角形中的任意两个条件，可证明第三个条件成立．
    如图，已知，BD平分，可证：
    受此启发，丽丽想到了另一种用尺规作角平分线的方法．
    请你帮她完善下面作图步骤：
    已知：如图，
    求作：的平分线
    作法：①在OA上任取一点C；
    ②在内作，使；
    ③在CD上截取______；
    ④作射线OP，射线OP即为所求．
    补全作图．保留作图痕迹
    为了说明这一方法的正确性，需要对其进行证明．下面给出了不完整的“已知”，请结合的图形将已知补充完整，并写出证明过程．
    已知：如图，C是边OA上任意一点，，P是CD上的点，且______=______，作射线
    求证：OP平分

19. 如图，图②是图①秋千的侧面示意图，秋千的静止状态为已知AB与地面平行，OD、OE是其在摆动过程中的两个位置，从O处测的D，E两点的角分别为和即，，这时点E相对于点D秋千升高了即，其中于M，于求该秋千摆绳OC的长度计算结果精确到

20. 请阅读材料，并完成相应的任务．
    在数学探究课上，同学们发现改变图1中圆周角的顶点P的位置，可以得到类似和这样顶点在圆外和圆内的角．结合数学课上学习的圆周角的概念，对顶点在圆外和圆内的角进行定义：顶点在圆外，两边都与圆相交的角叫做圆外角．顶点在圆内的角叫做圆内角，如图1，和分别是AB所对的圆外角和圆内角．
    
    如图2，点A，B在上，为所对的一个圆外角．AP，BP分别交于点C，若，所对的圆心角为，求的度数．
    探索小组的解题过程部分如下：
    解：如图2，连接AD，OC，
    是所对的圆周角，且，
    
    …
    任务：
    将探索小组的解题过程补充完整；
    如图3，当点P在内时，是所对的一个圆内角，延长AP交于点C，延长BP交于点D，若设，所对的圆心角为，则的度数为______.
21. 国家为了鼓励新能源汽车的发展，实行新能源积分制度，积分越高获得的国家补贴越多．某品牌的“4S”店主销纯电动汽车续航600千米和插电混动汽车B，两种主销车型的有关信息如下表：

月份该“4S”店共花费550万元购进A，B两种车型，且全部售出共获得新能源积分130分，则x，y分别为多少？
因汽车供不应求，该“4S”店4月份决定购进A，B两种车型共50辆，应环保的要求，所进车辆全部售出后获得新能源积分不得少于300分，已知每个新能源积分可获得3000元的补贴，那么4月份如何进货才能使4S店获利最大？获利包括售车利润和积分补贴

22. 已知二次函数
    该二次函数图象的对称轴是直线______；
    若该二次函数的图象开口向上，当时，y的最大值是5，求抛物线的解析式；
    若对于该抛物线上的两点，，当取大于3的任何实数时，均满足，请结合图象，直接写出的取值范围．

23. 综合与实践
    问题情境：
    如图1，M是线段AB上任意一点不与点A，B重合，分别以AM和BM为斜边在AB同侧构造等腰直角三角形AMC和等腰直角三角形BMD，连接取AB中点E，CD中点F，连接
    猜想验证：
    如图2，当点M与点E重合时，试判断EF与CD之间的数量关系，并说明理由；
    延伸探究：
    如图3，当点M与点E不重合时，问题中的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由；
    如图3，若，线段EF是否存在最小值，若存在，请直接写出最小值；若不存在，请说明理由.
     

答案和解析

1.【答案】B

【解析】解：的相反数是
故选：
根据相反数的概念解答即可．
本题考查了相反数的意义：只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是
 

2.【答案】C

【解析】解：1582亿
故选：
科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
 

3.【答案】A

【解析】解：，
原式



故选：
将代数式适当变形，利用整体代入的方法解答即可．
本题主要考查了求代数式的值，将代数式适当变形，利用整体代入的方法解答是解题的关键．
 

4.【答案】B

【解析】解：从正面看，底层是三个小正方形，上层左边是一个小正方形，
故选：
根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．
本题考查了简单几何体的三视图，从正面看得到的图形是主视图．
 

5.【答案】D

【解析】解：过点P作交AD于G，交BC于H，
，
，
平分，，，
，
同理可得，，
，即两平行线AD与BC间的距离为10，
故选：
作，根据角平分线的性质分别求出PG、PH，得到答案．
本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
 

6.【答案】B

【解析】解：与不是同类项，不能合并，故选项A运算错误；
，故选项B运算正确；
与不是同类二次根式，不能合并，故选项C运算错误；
，故选项D运算错误．
故选：
利用合并同类项法则、幂的乘方法则、二次根式的加减法法则、完全平方公式分别计算各选项，根据计算结果得结论．
本题考查了整式的运算和二次根式的加减，掌握合并同类项法则、“”、“”及二次根式的加减法法则是解决本题的关键．
 

7.【答案】C

【解析】解：菱形的对角线互相垂直平分，矩形的对角线互相平分且相等，
矩形、菱形都具有的性质是对角线互相平分，
故选：
由矩形的性质和菱形的性质可直接求解．
本题考查了矩形的性质，菱形的性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
 

8.【答案】C

【解析】解：根据题意得且，
解得且
故选：
利用一元二次方程的定义和根的判别式得到且，然后解不等式组即可．
本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．也考查了一元二次方程的定义．
 

9.【答案】C

【解析】解：直线与x轴、y轴分别相交于点A，B，
，，
，，
过点C作轴于点D，则，
，
，，
，
∽，
，
，，
，
，
绕点O顺时针旋转，每次旋转，
经过旋转2022次后点落在第三象限，
，
点在反比例函数的图象上，
，
故选：
先分别令和求得点A与点B的坐标，然后过点C作轴于点D，构造相似三角形求得点C的坐标，再利用旋转的特征求得点的坐标，最后求出k的值．
本题考查相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、旋转的性质、反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是过点C作轴于点D构造相似三角形求出点C的坐标．
 

10.【答案】D

【解析】解：由图②可知，当时，，即当时，，
连接PM，如图所示：

矩形ABCD，
，
，
是AP的垂直平分线，
，
，
当点P与B重合时，
是AP的垂直平分线，
是AB的中点，
，
当时，，
则当时，，
故选：
连接PM，由图②可知，当时，，即当时，，利用勾股定理求出此时BM长，再根据线段垂直平分线性质求得AB长，即可得出答案．
本题考查矩形的性质，函数的图象，线段垂直平分线的性质，勾股定理，从函数图象获取信息，求出AB长是解题关键．
 

11.【答案】答案不唯一

【解析】解：，
，
比小的正整数有
故答案为：答案不唯一
估算的大小，进而得出答案．
本题考查估算无理数的大小，估算出在哪两个相邻的正整数之间是解题的关键．
 

12.【答案】，，0

【解析】解：，
由①得：，
由②得：，
不等式组的解集为，
则不等式组的整数解为，，
故答案为：，，
分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分即可．
此题考查了一元一次不等式组的整数解，熟练掌握不等式组的解法是解本题的关键．
 

13.【答案】

【解析】解：将篮球、乒乓球、电脑编程、兴趣数学这四门课分别记作A、B、C、D，
画树状图如下：

由树状图知，共有16种等可能结果，其中小明和小强选中同一门课的有4种结果，
所以小明和小强选中同一门课的概率为，
故答案为：
将篮球、乒乓球、电脑编程、兴趣数学这四门课分别记作A、B、C、D，画树状图得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
此题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
 

14.【答案】

【解析】解：如图：连接OB，

由题意可得：，
，，
，
，
，
，

故答案为：
根据翻折变换求出，，再解直角三角形得出BC和，从而得出，然后根据，由三角形面积公式和扇形的面积公式计算即可．
本题考查翻折变换、圆的性质以及直角三角形的性质等知识，关键是对这些知识的掌握和综合运用．
 

15.【答案】

【解析】解：，，，
，
当点落在AC上时，如图，

将沿BD折叠，点A落在处，
，
，
，
当点落在BC上时，如图，过点D作于H，

将沿BD折叠，点A落在处，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
当点在内部不含边界时，AD长度的取值范围为
由勾股定理可而且AC的长，分别求出当点落在AC上时和当点落在BC上时，AD的长，即可求解．
本题考查了翻折变换，勾股定理，锐角三角函数等知识，求出点A落在AC和BC上时AD的值是本题的关键．
 

16.【答案】解：原式

，
当时，
原式

【解析】先算括号里面的减法，再把除法变成乘法，进行约分即可．
本题主要考查对分式的加减、乘除，约分等知识点的理解和掌握，能熟练地运用法则进行化简是解此题的关键．
 

17.【答案】初二  初二成绩平均数较高，中位数更大，说明初二学生竞赛水平普遍较高的了解更多的党史知识

【解析】解：；
在此次竞赛中，竞赛成绩更好的是初二．理由如下：
初二成绩平均数较高，中位数更大，说明初二学生竞赛水平普遍较高的了解更多的党史知识；
故答案为：初二，初二成绩平均数较高，中位数更大，说明初二学生竞赛水平普遍较高的了解更多的党史知识；
解：人
将一组数据按照从小到大或从大到小的顺序排列，这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数；
在此次竞赛中，竞赛成绩更好的是初二，因为初二成绩平均数较高，中位数更大，说明初二学生竞赛水平普遍较高的了解更多的党史知识；
从样本中可得初一年级学生竞赛成绩超过85的人数是，然后用样本去估计总体即可．
本题考查了频数分布直方图，用样本估计总体，加权平均数，中位数，众数，方差，解决本题的关键是掌握以上知识．
 

18.【答案】CO OC CP

【解析】解：作法：①在OA上任取一点C；
②在内作，使；
③在CD上截取；
④作射线OP，射线OP即为所求．
故答案为：CO；

解：如图，即为补全的图形；


已知：如图，C是边OA上任意一点，，P是CD上的点，且，作射线
求证：OP平分
故答案为：CP，
证明：，
，
，
，
，
，
平分
故答案为：
利用等腰三角形的性质以及平行线的性质解决问题即可；
根据要求作出图形即可；
写出已知，求证．证明即可．
本题考查作图-复杂作图，等腰三角形的性质，平行线的判定和性质，角平分线的判定等知识，今天的的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
 

19.【答案】解：作于点F，作于点H，如右图所示，
由题意可得，，
，，
，，
，，
，
，
，
，
解得，
即该秋千摆绳OC的长度是

【解析】根据题意作出合适的辅助线，然后根据锐角三角函数，即可表示出OF和OH，再根据，即可得到OC的长
本题考查解直角三角形的应用，解答本题的关键是作出合适的辅助线，利用数形结合的思想解答．
 

20.【答案】

【解析】解：如图2，连接AD，OC，OD，
是所对的圆周角，且，
，
所对的圆心角为，
，
，
为的外角，
，
；

如图3，连接AD，OC，OD，

是所对的圆周角，且，
，
所对的圆心角为，
，
，
为的外角，

故答案为：
根据圆周角定理得到，，由，为的外角，即可求解；
和相同的思路即可求解．
本题为圆的综合题，主要考查了三角形外角定理、圆心角和圆周角的关系，这种探究类的题目，通常按照题设的顺序逐次求解，一般容易解答．
 

21.【答案】解：依题意得：，
解得：
答：x的值为10，y的值为
设4月购进A型车m辆，则购进B型车辆，
依题意得：，
解得：
设所进车辆全部售出后获得的总利润为w万元，则，
，
随m的增大而增大，
当时，即购进A型车49辆，B型车1辆时获利最大．

【解析】根据3月份该“4S”店共花费550万元购进A，B两种车型，且全部售出共获得新能源积分130分，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出x，y的值；
设4月购进A型车m辆，则购进B型车辆，根据所进车辆全部售出后获得新能源积分不得少于300分且购进B型车数量为正，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，设所进车辆全部售出后获得的总利润为w万元，利用总利润=每辆车的销售利润销售数量+积分补贴，即可得出w关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题．
本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；根据各数量之间的关系，找出w关于m的函数关系式．
 

22.【答案】1

【解析】解：对称轴
故答案为1；
该二次函数的图象开口向上，对称轴为直线，且当时，y的最大值是5，
当时，y的最大值为5，
，
，
抛物线的解析式为；
如图，

对称轴为直线，
与时的y值相等，
时，均满足，
②当时，抛物线开口向下，如图1，不成立；
②当时，抛物线开口向上，如图2，当取大于3的任何实数时，均满足，此时，的取值范围是：；
由①②知：当时，抛物线开口向上．当取大于3的任何实数时，均满足，
此时，的取值范围是：
利用对称轴公式计算即可；
构建方程求出a的值即可解决问题；
结合图象，分两种情况讨论，当取大于3的任何实数时，均满足，推出当抛物线开口向上，当时，满足条件，由此即可解决问题．
本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的图象和性质，函数的最值问题等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
 

23.【答案】解：结论：
理由：如图2中，

，都是等腰直角三角形，
，，，
，，
，
，
，即

结论成立．
理由：如图3中，延长AC交BD的延长线于G，连接MG，

，都是等腰直角三角形，
，，，
，，
，，
四边形MCGD是矩形，是等腰直角三角形，
，
是AB的中点，
，
，
是CD的中点，
是GM的中点，
在中，F是GM的中点，
，
，即

由可知，，
，
，
的最小值为1，
的最小值为

【解析】结论：利用直角三角形斜边中线的性质证明即可．
结论成立．延长AC交BD的延长线于G，连接MG，利用矩形的性质，直角三角形斜边中线的性质解决问题即可．
求出CD的最小值，可得结论．
本题属于三角形综合题，考查了等腰直角三角形的性质，矩形的判定和性质，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊四边形解决问题，属于中考常考题型．