2022年浙教版数学八下期中复习阶梯训练：平行四边形（优生加练）

2022年浙教版数学八下期中复习阶梯训练：平行四边形（优生加练）

一、单选题

1．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线AB与y轴交于点A（0，6），与x轴的负半轴交于点B，且∠BAO＝30°， M、N是该直线上的两个动点，且MN＝2，连接OM、ON，则△MON周长的最小值为 （　　） 

A．2＋3  B．2＋2  C．2＋2  D．5＋

2．将一长方形纸片沿一条直线剪成两个多边形，那么这两个多边形的内角和之和不可能是（　　） 

A．360° B．540° C．720° D．730°

3．如图，△ABC中，∠ABC、∠EAC的角平分线BP、AP交于点P，延长BA、BC，PM⊥BE，PN⊥BF，则下列结论中正确的个数（　　）

①CP平分∠ACF；②∠ABC+2∠APC=180°；③∠ACB=2∠APB；④S△PAC=S△MAP+S△NCP.

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

4．如图，由两个全等菱形(菱形ABCD与菱形EFGH)组成的“四叶草”图案，其重叠部分是正八边形(阴影部分)，点B，D在EG上，点F，H在AC上，若CF=2，则BD的长为(　　)

A．4 B．2  C．2  D．2

5．如图，在 中， ， ， .分别以点B、D为圆心，大于 长为半径画弧，两弧相交于点M、N，直线MN分别与AD、BC相交于点E、F，则EF的长为（　　） 

A． B．4 C． D．

6．如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于O，BD=2AD，E，F，G分别是OC，OD，AB的中点，下列结论：①四边形BEFG是平行四边形；②BE⊥AC；③EG=FG；④EA平分∠GEF。其中正确的是（　　）

A．①② B．①②③ C．①②④ D．①③④

7．平行四边形 中， ， ， 交于点 ， 是 边上一点，连接 ，过点 作 并延长交 于点 ，交 于点 ，已知 ， ， ，则下列结论：① ；② ；③ ；④ 中正确的个数是（　　）. 

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

8．如图，在 中， ，点 在边 上， ， ， .若 与 关于直线 对称，则线段 的长为（　　） 

A． B． C． D．

9．如图，已知□OABC的顶点A，C分别在直线 和 上，O是坐标原点，则对角线OB长的最小值为（　　）

A．3 B．4 C．5 D．6

10．如图，平行四边形ABCD中，AB=6，BC=4，∠DAB=60°，E在AB上，且AE= EB，F是BC的中点，过D分别作DP⊥AF于P，DQ⊥CE于Q，则DP：DQ的值为（　　）

A． B． C． D．

二、填空题

11．如图所示，△ABO与△CDO称为“对顶三角形”，其中∠A+∠B=∠C+∠D．利用这个结论，在图2中，∠A十∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G= 　     　

12．如图，矩形 中， ， ，连结对角线 ，E为 的中点，F为 边上的动点连结 ，作点C关于 的对称点 ，连结 ， ，若 与 的重叠部分（ ）面积等于 的 ，则 　             　. 

13．如图所示，分别以 的直角边 ，斜边 为边向 外构造等边 和等边 ， 为 的中点，连接 ， ， ， ， ．有下列五个结论：① ；② ；③四边形 是菱形；④ ；⑤四边形 是平行四边形．其中正确的结论是　     　． 

14．如图，在 中， ， ， 平分 交 于点 . 为直线 上一动点.以 、 为邻边构造平行四边形 ，连接 ，若 .则 的最小值为　     　. 

15．如图，▱ABCD中，AC，BD交于O，AE平分∠BAD，EC＝CD＝1，∠ECD＝2∠CDA.下列结论：①AC平分∠EAD；②OE＝ AD；③BD＝ ；④S▱ABCD＝ .正确的有　     　个. 

16．如图，平面直角坐标系 中，点A在第一象限， ， ， ．在x轴上取一点 ，过点P作直线l垂直于直线 ，将线段 关于直线l的对称图形记为线段 ，当线段 和过点A且平行于x轴的直线有交点时，m的取值范围为　        　． 

三、解答题

17．已知：如图，在四边形 中， ， 为对角线 的中点， 为 的中点， 为 的中点.求证：

18．【知识链接】连结三角形两边中点的线段，叫做三角形的中位线．

【动手操作】小明同学在探究证明中位线性质定理时，是沿着中位线将三角形剪开然后将它们无缝隙、无重叠的拼在一起构成平行四边形，从而得出：三角形中位线平行于第三边且等于第三边的一半．

【性质证明】小明为证明定理，他想利用三角形全等、平行四边形的性质来证明．请你帮他完成解题过程（要求：画出图形，根据图形写出已知、求证和证明过程）．

19．在 中， ，点 为 所在平面内一点，过点 分别作 交 于点 ， 交 于点 ，交 于点 . 

若点 在 上（如图①），此时 ，可得结论： .

请应用上述信息解决下列问题：

当点 分别在 内（如图②）， 外（如图③）时，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立， ， ， ，与 之间又有怎样的数量关系，请写出你的猜想，不需要证明.

20．如图，四边形 ，对角线 交于点 ， ，点 分别为 的中点，求证： 是等边三角形. 

21．如图，△ABC中，D为BC的中点。DE平分∠ADB，DF平分∠ADC，BE⊥DE，CF⊥DF，P为AD与EF的交点。证明：EF=2PD．

22．如图所示，在形状为平行四边形的一块地ABCD中，有一条小折路EFG．现在想把它改为经过点G的直路，要求小路两侧土地的面积都不变，请在图中画出改动后的小路．

23．如图，△ABC中，AB=8，AC=6，AD、AE分别是其角平分线和中线，过点C作CG⊥AD于F，交AB于G，连接EF，求线段EF的长．

24．已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC， ．E是边AB的中点，联结DE、CE，且DE⊥CE．设AD=x，BC=y．

（1）如果∠BCD=60°，求CD的长；

（2）求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；

（3）联结BD．如果△BCD是以边CD为腰的等腰三角形，求x的值．

四、综合题

25．如图，在△ABC中，AC=BC，AD⊥AB交BE延长线于点D，CG平分∠ACB交BD于点F，交AB于点G，∠ADB=∠ACB.

（1）若E为AC的中点，求证：AD=CF；

（2）若BD=2，求BF值；

（3）若CG=5，求AD+BD的值.

26．如图，AC平分∠BAD，∠DCA＝∠CAD，在CD的延长线上截取DE＝DA，连接AE.

（1）求证：AB∥CD；

（2）若AE＝5，AC＝12，求线段CE的长；

（3）在（2）的条件下，若线段CE上有一点P，使△DPA的面积是△ACD面积的六分之一，求PC长.

答案解析部分

1．【答案】B

2．【答案】D

3．【答案】D

4．【答案】B

5．【答案】A

6．【答案】C

7．【答案】C

8．【答案】A

9．【答案】C

10．【答案】D

11．【答案】540

12．【答案】 或

13．【答案】①③⑤

14．【答案】

15．【答案】4

16．【答案】4≤m≤6

17．【答案】证明：∵ 是 中点， 是 中点，  

∴ 是 的中位线，

∴ ，

∵ 是 中点， 是 中点，

∴ 是 的中位线，

∴ ，

∵ ，

∴ ，

∴ 是等腰三角形，

∴ .

18．【答案】解：已知：如图所示，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点， 

求证：DE= BC，DE∥BC，

证明：延长DE到F，使DE=EF，连接CF，

∵点E是AC的中点，

∴AE=CE，

在△ADE和△CEF中，

，

∴△ADE≌△CEF（SAS），

∴AD=CF，∠ADE=∠F，

∴AB∥CF，

∵点D是AB的中点，

∴AD=BD，

∴BD=CF，

∴BD∥CF，

∴四边形BCFD是平行四边形，

∴DF∥BC，DF=BC，

∴DE∥BC且DE= BC．

19．【答案】解：当点 在 内时，上述结论 成立.  

证明：∵ ， ，∴四边形 为平行四边形，

∴ ，∵ ，∴ ，

又∵ ，∴ ，∴ ，∴ ，

∴ ，即 ，

又∵ ， ，

∴ ；

当点 在 外时，上述结论不成立，此时数量关系为 .

证明：∵ ， ，∴四边形 为平行四边形，

∴ ，

∵ ，∴ ，

又∵ ，∴ ，∴ ，∴ ，

∴ ，即 ，

又∵ ， ，

∴ .

20．【答案】证明：连接SC、PB， 

∵

∴四边形ABCD为等腰梯形，

∴∠ADC＝∠BCD，

又∵DC＝CD，

∴△ADC≌△BCD，

∴∠ODC＝∠OCD，

∴OD＝OC，即△ODC是等腰三角形，

∵∠ACD＝60°，

∴△ODC是等边三角形，

∵S为OD的中点，

∴CS⊥DO，

同理BP⊥AP，

又∵Q为BC的中点，即SQ为Rt△BSC斜边上的中线，

∴SQ＝ BC，PQ＝ BC，

∵点P、S分别为OA、OD的中点

∴PS是△OAD的中位线

∴PS＝ AD，

∴△SPQ是等边三角形；

21．【答案】解：∵DE平分∠ADB，DF平分∠ADC，∴∠EDF=90°，又∵BE⊥DE，∴∠BED=90°=∠EDF，∴BE∥DF，∠EBD=∠FDC，∵BE⊥DE，CF⊥DF，∴∠BED=∠DFC=90°，∵D为BC的中点，∴BD=DC，∴△BED≌△DFC，BE=DF，∴四边形BEFD是平行四边形，∴BD∥EF，∴∠BDE=∠FED，又DE平分∠ADB，∴∠BDE=∠PDE，∠PDE=∠FED，∴PE=PD，同理可得：PF=PD，∴EF=2PD。

22．【答案】证明：设GN交FE于点I．

∵EG∥FN，∴△GNF的面积等于△EFN的面积，（同底等高）．

把两个三角形面积都减去△FIN面积，所以△EIN面积等于△GIF面积，即小路两侧土地面积都不变．

23．【答案】解：在△AGF和△ACF中， ，∴△AGF≌△ACF（ASA），∴AG=AC=6，GF=CF，则BG=AB﹣AG=8﹣6=2．又∵BE=CE，∴EF是△BCG的中位线，∴EF= BG=1．

24．【答案】（1）解：过点D作DH⊥BC，垂足为点H．

∵AD∥BC，AB⊥BC，DH⊥BC，

∴DH=AB=2 ，

在Rt△DHC中，

∵∠BCD=60°，

∴∠CDH=30°．

∴CD=2CH，

设CH=x，则 CD=2x．

利用勾股定理，得 CH2+DH2=CD2．

即得：x2+（2 ）2=4x2．

解得 x=2（负值舍去）．

∴CD=4；

（2）解：取CD的中点F，连接EF，

∵E为边AB的中点，

∴EF= （AD+BC）= （x+y）．

∵DE⊥CE，

∴∠DEC=90°．

又∵DF=CF，

∴CD=2EF=x+y．

由AB⊥BC，DH⊥BC，得∠B=∠DHC=90°．

∴AB∥DH．

又∵AB=DH，

∴四边形ABHD是平行四边形．

∴BH=AD=x．

即得 CH=|y﹣x|，

在Rt△DHC中，利用勾股定理，得 CH2+DH2=CD2．

即得 （y﹣x）2+12=（x+y）2．

解得 ，

∴所求函数解析式为 ．

自变量x的取值范围是x＞0，且

（3）解：当△BCD是以边CD为腰的等腰三角形时，有两种可能情况：CD=BD或CD=BC．

（i）如果CD=BD，由DH⊥BC，得 BH=CH．即得 y=2x．

利用 ，得 ．

解得 ， ．

经检验： ， ，且 不合题意，舍去．

∴ ；

（ii）如果CD=BC，则 x+y=y．

即得 x=0（不合题意，舍去），

综上可得： ．

25．【答案】（1）证明：∵AC=BC，CG平分∠ACB

∴CG⊥AB

点G为 的中点

又∵AD⊥AB

∴AD∥CG

为 的中位线

∴∠FCE=∠DAE，∠ADE=∠CFE

又∵E为AC的中点

∴AE=CE

∴△ADE≌△CFE（AAS）

∴AD=CF

（2）解：由（1）得 为 的中位线 

点F为 中点

（3）解：由（1）得 为 的中位线 

，

，AD∥CG

， 平分

26．【答案】（1）证明：∵AC平分∠BAD，

∴∠BAC=∠CAD，

∵∠DCA=∠CAD，

∴∠DCA=∠BAC，

∴ ；

（2）解：∵DE＝DA，

∴∠DAE=∠DEA，

∵∠DCA+∠CAD+∠DAE+∠DEA=180°，∠DCA＝∠CAD，

∴∠CAD+∠DAE=90°，即∠CAE=90°，

∴ ；

（3）解：如图所示，当P不在线段CD上时，

∵△ACD和△DPA的高相同，

∴ ，

∴ ，

∵∠DCA＝∠CAD，

∴ ，

∴ ，

同理当P在线段CD上时，

∴当 或 时△DPA的面积是△ACD面积的六分之一.