广西专用高考数学一轮复习考点规范练40空间几何体的表面积与体积含解析新人教A版理

考点规范练40　空间几何体的表面积与体积

基础巩固

1.(2020全国Ⅲ,理8)右图为某几何体的三视图,则该几何体的表面积是(　　)

A.6+4

B.4+4

C.6+2

D.4+2

答案:C

解析:由三视图可知,该几何体为三棱锥,是棱长为2的正方体一角,其表面积为32×2+22sin60°=6+2

2.祖暅是我国南北朝时期的数学家,他提出的“幂势既同,则积不容异”称为祖暅原理,利用该原理可以得到柱体的体积公式V柱体=Sh,其中S是柱体的底面积,h是柱体的高.若某柱体的三视图如图所示(单位:cm),则该柱体的体积(单位:cm3)是(　　)

A.158 B.162 C.182 D.324

答案:B

解析:由三视图得该棱柱的高为6,底面五边形可以看作是由两个直角梯形组合而成,其中一个上底为4,下底为6,高为3,另一个的上底为2,下底为6,高为3,则该棱柱的体积为3+3×6=162.

3.如图,直三棱柱ABC-A1B1C1的六个顶点都在半径为1的半球面上,AB=AC,侧面BCC1B1是半球底面圆的内接正方形,则侧面ABB1A1的面积为(　　)

A B.1

C D

答案:C

解析:由题意知,球心在侧面BCC1B1的中心O上,BC为△ABC所在圆面的直径,

所以∠BAC=90°,△ABC的外接圆圆心N是BC的中点,同理△A1B1C1的外心M是B1C1的中点.

设正方形BCC1B1的边长为x,Rt△OMC1中,OM=,MC1=,OC1=R=1(R为球的半径),所以=1,即x=,则AB=AC=1.

所以侧面ABB1A1的面积S=1=

4.(2020马鞍山三模)某几何体的三视图均为如图所示的五个小正方形构成,则该几何体与其外接球的表面积之比为(　　)

A B

C D

答案:C

解析:由三视图可知,该几何体的直观图如图所示.

设小正方形的边长为1,可知该几何体的表面积为S1=1×1×5×6=30,其外接球的半径R满足2R=,

所以该几何体外接球的表面积为S2=4π=11π.

因此,该几何体与其外接球的表面积之比为

故选C.

5.已知底面边长为1,侧棱长为的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上,则该球的体积为(　　)

A B.4π C.2π D

答案:D

解析:因为该正四棱柱的外接球的半径是四棱柱体对角线的一半,所以半径r==1,所以V球=13=故选D.

6.(2020湖北黄冈模拟)陀螺是中国民间较早的体育活动工具之一,但陀螺这个名词,直到明朝刘侗、于奕正合撰的《帝京景物略》一书中才正式出现.下图网格纸中小正方形的边长均为1,粗线画出的是一个陀螺模型的三视图,则该陀螺模型的体积为(　　)

A B C D.20π

答案:B

解析:由三视图知该几何体是上部为圆锥、中部为圆柱、下部为圆锥的简单组合体,其中,上部圆锥的底面半径为2、高为2,中部圆柱的底面半径为2、高为1,下部圆锥的底面半径为4、高为2,所以该陀螺模型的体积为22·2+π·22·1+42·2=故选B.

7.点A,B,C,D在同一个球的球面上,AB=BC=,∠ABC=90°.若四面体ABCD体积的最大值为3,则这个球的表面积为(　　)

A.2π B.4π C.8π D.16π

答案:D

解析:由题意,知S△ABC=3,设△ABC所在球的小圆的圆心为Q,则Q为AC的中点,当DQ与面ABC垂直时,四面体ABCD的最大体积为S△ABC·DQ=3,

∴DQ=3,如图,设球心为O,半径为R,则在Rt△AQO中,

OA2=AQ2+OQ2,即R2=()2+(3-R)2,∴R=2,

则这个球的表面积为S=4π×22=16π.故选D.

8.如图,正方体的棱长为2,以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为　　　　　. 

答案:

解析:由题意知,多面体是棱长均为的八面体,它是由两个有公共底面的正四棱锥组合而成的,正四棱锥的高为1,所以这个八面体的体积为2V正四棱锥=2()2×1=

9.(2020浙江宁波模拟)棱长为2的正方体被一平面截成两个几何体,其中一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为　　　　,表面积为　　　　. 

答案:4　12+2

解析:由三视图,可得棱长为2的正方体被平面AJGI截成两个几何体,且J,I分别为BF,DH的中点,如图,两个几何体的体积各占正方体的一半,则该几何体的体积是23=4.

四边形AJGI为菱形,所以该几何体的表面积S=3×2×2+IJ·AG=12+22=12+2

10.在三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BAC=90°,其正视图和侧视图都是边长为1的正方形,俯视图是直角边的长为1的等腰直角三角形,设点M,N,P分别是棱AB,BC,B1C1的中点,则三棱锥P-A1MN的体积是　　　　　. 

答案:

解析:由题意,可得直三棱柱ABC-A1B1C1,如图所示.

其中AB=AC=AA1=BB1=CC1=A1B1=A1C1=1.

∵M,N,P分别是棱AB,BC,B1C1的中点,∴MN=,NP=1.

∴S△MNP=1=

∵点A1到平面MNP的距离为AM=,

11.学生到工厂劳动实践,利用3D打印技术制作模型.如图,该模型为长方体ABCD-A1B1C1D1挖去四棱锥O-EFGH后所得的几何体,其中O为长方体的中心,E,F,G,H分别为所在棱的中点,AB=BC=6 cm,AA1=4 cm.3D打印所用原料密度为0.9 g/cm3.不考虑打印损耗,制作该模型所需原料的质量为　　　　　g. 

答案:118.8

解析:由题意得,四棱锥O-EFGH的底面积为4×6-42×3=12(cm2),点O到平面BB1C1C的距离为3cm,则此四棱锥的体积为V1=12×3=12(cm3).

又长方体ABCD-A1B1C1D1的体积为V2=4×6×6=144(cm3),

则该模型的体积为V=V2-V1=144-12=132(cm3).故其质量为0.9×132=118.8(g).

12.一个几何体的三视图如图所示.已知正视图是底边长为1的平行四边形,侧视图是一个长为、宽为1的矩形,俯视图为两个边长为1的正方形拼成的矩形.

(1)求该几何体的体积V;

(2)求该几何体的表面积S.

解:(1)由三视图可知,该几何体是一个平行六面体(如图),

其底面是边长为1的正方形,高为,所以V=1×1

(2)由三视图可知,在该平行六面体中,A1D⊥平面ABCD,CD⊥平面BCC1B1,所以AA1=2,侧面ABB1A1,CDD1C1均为矩形.

S=2×(1×1+1+1×2)=6+2

能力提升

13.某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的体积为(　　)(单位:cm3)

A.16π+8 B.32+4 C.16π+ D.32+

答案:C

解析:根据几何体的三视图可知该几何体是一简单组合体,由一个底面半径为2、高为4的圆柱体和一个底面边长为2、高为的正四棱锥体组成,其直观图如图所示.

所以该几何体的体积V=π×22×4+22=16π+故选C.

14.设A,B,C,D是同一个半径为4的球的球面上四点,△ABC为等边三角形且其面积为9,则三棱锥D-ABC体积的最大值为(　　)

A.12 B.18 C.24 D.54

答案:B

解析:由△ABC为等边三角形且面积为9,设△ABC边长为a,则S=aa=9

∴a=6,则△ABC的外接圆半径r=a=2<4.

设球的半径为R,如图.OO1==2.

当D在O的正上方时,VD-ABC=S△ABC·(R+|OO1|)=96=18,最大.故选B.

15.已知四棱锥的底面是边长为的正方形,侧棱长均为若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点,另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心,则该圆柱的体积为　　　　. 

答案:

解析:由ABCD为正方形,且边长为,可得OC=1.

设M为VC的中点,

则O1M=OC=,O1O=VO,VO==2,

∴O1O=1.

V圆柱=π·O1M2·O1O=π×2×1=

16.(2020浙江金华模拟)某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的体积为　　　　　cm3,若线段AB全部在该几何体内部(含表面),则AB长度的最大值为　　　　　cm. 

答案:9+　3

解析:由三视图还原该几何体如图,

该几何体为简单组合体,下面部分为长方体,其底面是边长为3的正方形,高为1;

上面部分为一个四分之一圆锥,该四分之一圆锥的底面半径为3,高为2.

则该几何体的体积V=3×3×1+π×32×2=9+(cm3),

由已知可得四分之一圆锥的母线长为

连接图中PM,可得PM==3,设PM交长方体上底面于点N,

由相似三角形对应边成比例可得PN=2,

则当点A,B分别与点P,M重合时,满足线段AB全部在该几何体内部,且此时AB长度取得最大值为3cm.

17.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=16,BC=10,AA1=8,点E,F分别在A1B1,D1C1上,A1E=D1F=4,过点E,F的平面α与此长方体的面相交,交线围成一个正方形.

(1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由);

(2)求平面α把该长方体分成的两部分体积的比值.

解:(1)交线围成的正方形EHGF如图.

(2)作EM⊥AB,垂足为M,则AM=A1E=4,EB1=12,EM=AA1=8.

因为EHGF为正方形,所以EH=EF=BC=10.

于是MH==6,AH=10,HB=6.

因为长方体被平面α分成两个高为10的直棱柱,所以其体积的比值为两棱柱底面积之比,即

高考预测

18.已知球的直径SC=4,A,B是该球球面上的两点,AB=,∠ASC=∠BSC=30°,则棱锥S-ABC的体积为(　　)

A.3 B.2 C D.1

答案:C

解析:如图,过A作AD垂直SC于D,连接BD.

因为SC是球的直径,所以∠SAC=∠SBC=90°.

又∠ASC=∠BSC=30°,

又SC为公共边,所以△SAC≌△SBC.

因为AD⊥SC,易证BD⊥SC.

又AD∩BD=D,由此得SC⊥平面ABD.

所以VS-ABC=VS-ABD+VC-ABD=S△ABD·SC.

因为在Rt△SAC中,∠ASC=30°,SC=4,所以AC=2,SA=2

由于AD=

同理在Rt△BSC中也有BD=

又AB=,所以△ABD为正三角形.

所以VS-ABC=S△ABD·SC=()2·sin60°×4=,故选C.