2022年湖南省岳阳市中考数学试卷（含答案解析）

2022年湖南省岳阳市中考数学试卷

1. 8的相反数是

A.  B. 8 C.  D.

2. 某个立体图形的侧面展开图如图所示，它的底面是正三角形，那么这个立体图形是

A. 圆柱 B. 圆锥 C. 三棱柱 D. 四棱柱

3. 下列运算结果正确的是

A.  B.  C.  D.

4. 某村通过直播带货对产出的稻虾米进行线上销售，连续7天的销量单位：袋分别为：105，103，105，110，108，105，108，这组数据的众数和中位数分别是

A. 105，108 B. 105，105 C. 108，105 D. 108，108

5. 如图，已知，于点D，若，则的度数是
    

A.
B.
C.
D.
 

6. 下列命题是真命题的是

A. 对顶角相等
B. 平行四边形的对角线互相垂直
C. 三角形的内心是它的三条边的垂直平分线的交点
D. 三角分别相等的两个三角形是全等三角形

7. 我国古代数学著作《孙子算经》中有这样一道题，原文如下：今有百鹿入城，家取一鹿，不尽，又三家共一鹿，适尽，问：城中家几何？大意为：今有100头鹿进城，每家取一头鹿，没有取完，剩下的鹿每3家共取一头，恰好取完，问：城中有多少户人家？在这个问题中，城中人家的户数为

A. 25 B. 75 C. 81 D. 90

8. 已知二次函数为常数，，点是该函数图象上一点，当时，，则m的取值范围是

A. 或 B.
C. 或 D.

9. 要使有意义，则x的取值范围是______.
10. 2022年5月14日，编号为的C919大飞机首飞成功．数据显示，C919大飞机的单价约为653000000元，数据653000000用科学记数法表示为______.
11. 如图，在中，，于点D，若，则______.
    
     

12. 分式方程的解为______.
13. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是______.
14. 聚焦“双减”政策落地，凸显寒假作业特色．某学校评选出的寒假优质特色作业共分为四类：节日文化篇，安全防疫篇，劳动实践篇，冬奥运动篇下面是根据统计结果绘制的两幅不完整的统计图，则B类作业有______份．
     

15. 喜迎二十大，“龙舟故里”赛龙舟．丹丹在汩罗江国际龙舟竞渡中心广场点P处观看200米直道竞速赛．如图所示，赛道AB为东西方向，赛道起点A位于点P的北偏西方向上，终点B位于点P的北偏东方向上，米，则点P到赛道AB的距离约为______米结果保留整数，参考数据：
     

16. 如图，在中，AB为直径，，BD为弦，过点A的切线与BD的延长线交于点C，E为线段BD上一点不与点B重合，且
    若，则的长为______结果保留；
    若，则______.
17. 计算：
18. 已知，求代数式的值．
19. 如图，点E，F分别在▱ABCD的边AB，BC上，，连接DE，请从以下三个条件：①；②；③中，选择一个合适的作为已知条件，使▱ABCD为菱形．
    你添加的条件是______填序号；
    添加了条件后，请证明▱ABCD为菱形．

20. 守护好一江碧水，打造长江最美岸线．江豚，麋鹿，天鹅已成为岳阳“吉祥三宝”的新名片．某校生物兴趣小组设计了3张环保宣传卡片，正面图案如图所示，它们除此之外完全相同．
    将这3张卡片背面朝上，洗匀，从中随机抽取一张，则抽取的卡片正面图案恰好是“麋鹿”的概率为______；
    将这3张卡片背面朝上，洗匀，从中随机抽取一张，不放回，再从剩余的两张卡片中随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法，求抽取的卡片正面图案恰好是“江豚”和“天鹅”的概率．
     

21. 如图，反比例函数与正比例函数的图象交于点和点B，点C是点A关于y轴的对称点，连接AC，
    求该反比例函数的解析式；
    求的面积；
    请结合函数图象，直接写出不等式的解集．

22. 为迎接湖南省第十四届运动会在岳阳举行，某班组织学生参加全民健身线上跳绳活动，需购买A，B两种跳绳若干．若购买3根A种跳绳和1根B种跳绳共需140元；若购买5根A种跳绳和3根B种跳绳共需300元．
    求A，B两种跳绳的单价各是多少元？
    若该班准备购买A，B两种跳绳共46根，总费用不超过1780元，那么至多可以购买B种跳绳多少根？
23. 如图，和的顶点B重合，，，，
    特例发现：如图1，当点D，E分别在AB，BC上时，可以得出结论：______，直线AD与直线CE的位置关系是______；
    探究证明：如图2，将图1中的绕点B顺时针旋转，使点D恰好落在线段AC上，连接EC，中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；
    拓展运用：如图3，将图1中的绕点B顺时针旋转，连接AD、EC，它们的延长线交于点F，当时，求的值．
     

24. 如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线：经过点和点
    求抛物线的解析式；
    如图2，作抛物线，使它与抛物线关于原点O成中心对称，请直接写出抛物线的解析式；
    如图3，将中抛物线向上平移2个单位，得到抛物线，抛物线与抛物线相交于C，D两点点C在点D的左侧
    ①求点C和点D的坐标；
    ②若点M，N分别为抛物线和抛物线上C，D之间的动点点M，N与点C，D不重合，试求四边形CMDN面积的最大值．
     

答案和解析

1.【答案】D

【解析】解：8的相反数是，
故选：
根据相反数的意义求解即可．
本题考查了相反数的意义．注意掌握只有符号不同的数为相反数，0的相反数是
 

2.【答案】C

【解析】解：A选项，圆柱的底面是圆，故该选项不符合题意；
B选项，圆锥的底面是圆，故该选项不符合题意；
C选项，三棱柱的底面是三角形，侧面是三个长方形，故该选项符合题意；
D选项，四棱柱的底面是四边形，故该选项不符合题意；
故选：
根据常见立体图形的底面和侧面即可得出答案．
本题考查了几何体的展开图，掌握n棱柱的底面是n边形是解题的关键．
 

3.【答案】A

【解析】解：A选项，原式，故该选项符合题意；
B选项，原式，故该选项不符合题意；
C选项，原式，故该选项不符合题意；
D选项，原式，故该选项不符合题意；
故选：
根据合并同类项判断A选项；根据同底数幂的除法判断B选项；根据同底数幂的乘法判断C选项；根据幂的乘方判断D选项．
本题考查了合并同类项，同底数幂的乘除法，幂的乘方与积的乘方，掌握是解题的关键．
 

4.【答案】B

【解析】解：将这组数据重新排列为103，105，105，105，108，108，110，
这组数据出现次数最多的是105，
所以众数为105，
最中间的数据是105，
所以中位数是105，
故选：
根据众数和中位数的定义求解即可．
本题主要考查众数和中位数，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；将一组数据按照从小到大或从大到小的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
 

5.【答案】C

【解析】解：在中，，，
则，
，
，
故选：
根据直角三角形的性质求出，再根据平行线的性质解答即可．
本题考查的是直角三角形的性质、平行线的性质，掌握直角三角形的两锐角互余是解题的关键．
 

6.【答案】A

【解析】解：对顶角相等是一个正确的命题，是真命题，故选项A符合题意；
B.菱形的对角线互相垂直，非菱形的平行四边形的对角线不垂直，所以平行四边形的对角线互相垂直是一个假命题，故选项B不符合题意；
C.三角形的内心是三角形内角平分线的交点，不一定是三边的垂直平分线的交点，则三角形的内心是它的三条边的垂直平分线的交点是一个假命题，故选项C不符合题意；
D.三角分别相等的两个三角形不一定全等，故选项D不符合题意；
故选：
根据对顶角性质判断A，根据平行四边形的性质判断B，根据三角形的内心定义判断C，根据全等三角形的判定定理判断
本题考查了真命题与假命题的判断，对顶角的性质，平行四边形的性质，三角形的内心定义，全等三角形的判定，熟练掌握这些性质、定义、定理是解决问题的关键．
 

7.【答案】B

【解析】解：设城中有x户人家，
依题意得：，
解得：，
城中有75户人家．
故选：
设城中有x户人家，利用鹿的数量=城中人均户数城中人均户数，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．
本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
 

8.【答案】A

【解析】解：二次函数，
对称轴为，抛物线与y轴的交点为，
点是该函数图象上一点，当时，，
①当时，对称轴，
此时，当时，，即，
解得；
②当时，对称轴，
当时，y随x增大而减小，
则当时，恒成立；
综上，m的取值范围是：或
故选：
先求出抛物线的对称轴及抛物线与y轴的交点坐标，再分两种情况：或，根据二次函数的性质求得m的不同取值范围便可．
本题考查了二次函数的性质，关键是分情况讨论．
 

9.【答案】

【解析】解：由题意得：，
解得：，
故答案为：
根据二次根式的被开方数是非负数列出不等式，解不等式得到答案．
本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．
 

10.【答案】

【解析】解：
故答案为：
利用科学记数法的定义解决．
考查科学记数法的定义，关键是理解运用科学记数法．
 

11.【答案】3

【解析】解：，，
，
，
，
故答案为：
根据等腰三角形的性质可知D是BC的中点，即可求出CD的长．
本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形三线合一是解题的关键．
 

12.【答案】2

【解析】解：，
，
，
经检验是方程的解，
故答案为：
去分母，移项、合并同类项，再求所求的根进行检验即可求解．
本题考查解分式方程，熟练掌握分式方程的解法，注意对所求的根进行检验是解题的关键．
 

13.【答案】

【解析】解：根据题意得，
解得，
所以实数m的取值范围是
故答案为：
根据判别式的意义得到，然后解不等式求出m的取值即可．
本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
 

14.【答案】20

【解析】解：类作业有30份，且C类作业份数占总份数的，
总份数为：份，
，D类作业分别有25份，25份，
类作业的份数为：份，
故答案为：
由条形统计图可得A，C，D类作业分别有25份，30份，25份，由扇形统计图可得C类作业份数占总份数的，可得总份数为100份，减去A，C，D类作业的份数即可求解．
本题考查条形统计图，扇形统计图，解题的关键是能够根据统计图提取所需信息．
 

15.【答案】87

【解析】解：过点P作，垂足为P，

设米，
在中，，
米，
在中，，
米，
米，
，
，
，
米，
点P到赛道AB的距离约为87米，
故答案为：
过点P作，垂足为P，设米，然后分别在和中，利用锐角三角函数的定义求出AC，BC的长，再根据米，列出关于x的方程，进行计算即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：，
的长，
故答案为：

连接

是切线，AB是直径，
，
，
是直径，
，
，
，
，
，
，，
，
∽，
，
，
，
，

故答案为：
利用弧长公式求解；
解直角三角形求出BC，AD，BD，再利用相似三角形的性质求出DE，BE，可得结论．
本题考查相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型．
 

17.【答案】解：


 

【解析】先化简各式，然后再进行计算即可解答．
本题考查了特殊角的三角函数值，零指数幂，实数的运算，有理数的乘方，绝对值，准确熟练地化简各式是解题的关键．
 

18.【答案】解：


，
，
，
原式

【解析】先化简所求的式子，再结合已知求解即可．
本题考查代数式的运算，熟练掌握单项式乘多项式，平方差公式是解题的关键．
 

19.【答案】①

【解析】解：添加的条件是，
故答案为：①；
证明：四边形ABCD是平行四边形，
，
在和中，
，
≌，
，
▱ABCD为菱形．
添加合适的条件即可；
证≌，得，再由菱形的判定即可得出结论．
本题考查了菱形的判定、平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握菱形的判定，证明三角形全等是解题的关键．
 

20.【答案】

【解析】解：将这3张卡片背面朝上，洗匀，从中随机抽取一张，
则抽取的卡片正面图案恰好是“麋鹿”的概率为，
故答案为：；
将江豚，麋鹿，天鹅三张卡片分别记作①、②、③，
列表如下：

由表知，共有6种等可能结果，其中抽取的卡片正面图案恰好是“江豚”和“天鹅”的有2种结果，
所以抽取的卡片正面图案恰好是“江豚”和“天鹅”的概率为
直接利用概率公式求解即可；
将江豚，麋鹿，天鹅三张卡片分别记作①、②、③，列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
 

21.【答案】解：把点代入得：，
，
反比例函数的解析式为；

反比例函数与正比例函数的图象交于点和点B，
，
点C是点A关于y轴的对称点，
，
，


根据图象得：不等式的解集为或

【解析】把点代入可得k的值，求得反比例函数的解析式；
根据对称性求得B、C的坐标然后利用三角形面积公式可求解．
根据图象得出不等式的解集即可．
本题是反比例函数和一次函数的交点问题，考查了待定系数法求函数解析式，反比例函数的性质，三角形的面积，数形结合是解题的关键．
 

22.【答案】解：设A种跳绳的单价为x元，B种跳绳的单价为y元．
根据题意得：，
解得：，
答：A种跳绳的单价为30元，B种跳绳的单价为50元．
设购买B种跳绳a根，则购买A种跳绳根，
由题意得：，
解得：，
答：至多可以购买B种跳绳20根．

【解析】设A种跳绳的单价为x元，B种跳绳的单价为y元．由题意：若购买3根A种跳绳和1根B种跳绳共需140元；若购买5根A种跳绳和3根B种跳绳共需300元．列出二元一次方程组，解方程组即可；
设购买B种跳绳a根，则购买A种跳绳根，由题意：总费用不超过1780元，列出一元一次不等式，解不等式即可．
本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；找出数量关系，正确列出一元一次不等式．
 

23.【答案】  垂直

【解析】解：在中，，，，
，
在中，，，
，
，，
，此时，
故答案为：，垂直；

结论成立．
理由：，
，
，，
，
∽，
，，
，
，
，
，
，
；

如图3中，过点B作于点J，设BD交AK于点K，过点K作于点

，，
，

，
，，
当时，四边形BEFD是矩形，
，，
设，则，，
，
，
，
，
，
，
，
，

解直角三角形求出EC，AD，可得结论；
结论不变，证明∽，推出，，可得结论；
如图3中，过点B作于点J，设BD交AK于点K，过点K作于点求出BJ，JK，可得结论．
本题属于三角形综合题，考查了解直角三角形，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考压轴题．
 

24.【答案】解：将点和点代入，
，
解得，
；
，
抛物线的顶点，
顶点关于原点的对称点为，
抛物线的解析式为，
；
由题意可得，抛物线的解析式为，
①联立方程组，
解得或，
或；
②设直线CD的解析式为，
，
解得，
，
过点M作轴交CD于点F，过点N作轴交于点E，
设，，
则，，
，
，
，，
当时，MF有最大值4，
当时，NE有最大值2，
，
当最大时，四边形CMDN面积的最大值为

【解析】将点和点代入，即可求解；
利用对称性求出函数顶点关于原点的对称点为，即可求函数的解析式；
①通过联立方程组，求出C点和D点坐标即可；
②求出直线CD的解析式，过点M作轴交CD于点F，过点N作轴交于点E，设，，则，，可求，，由，分别求出MF的最大值4，NE的最大值2，即可求解．
本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，图象平移和对称的性质是解题的关键．