2023湖北省联盟高三摸底联考（新高考）数学含答案

高三数学

考生注意：

1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟．

2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚．

3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效．

4．本卷命题范围：高考范围．

一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 若复数满足，则的虚部为（    ）

A.  B.  C.  D.

2. 已知全集，则（    ）

A.  B.  C.  D.

3. 某密码锁的一个密码由3位数字组成，每一位均可取0，1，2，…，9这10个数字中的一个，小明随机设置了一个密码，则恰有两个位置数字相同的概率为（    ）

A. 0.09 B. 0.12 C. 0.18 D. 0.27

4. 若，则（    ）

A.  B.

C  D.

5. 若的展开式中项的系数为160，则正整数n的值为（    ）

A. 4 B. 5 C. 6 D. 7

6. 在平面直角坐标系中，角的大小如图所示，则（    ）

A. 1 B.  C.  D.

7. 在平面直角坐标系中，抛物线的焦点为是上位于第一象限内的一点，若在点处的切线与轴交于点，与轴交于点，则与相等的是（    ）

A.  B.  C.  D.

8. 已知函数，当时，恒成立，则实数的取值范围为（    ）

A.  B.  C.  D.

二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9. 已知函数，则（    ）

A. 是以为周期的周期函数

B. 直线是图象的一条对称轴

C. 的值域为

D. 在上单调递增

10. 折扇是我国古老文化的延续，在我国已有四千年左右的历史，“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善良”“善行”．它常以字画的形式体现我国的传统文化，也是运筹帷幄､决胜千里､大智大勇的象征（如图1）．图2是一个圆台的侧面展开图（扇形的一部分），若两个圆弧所在圆的半径分别是3和9，且，则该圆台的（    ）

A. 高为 B. 体积为

C. 表面积为 D. 上底面积､下底面积和侧面积之比为

11. 已知是数列的前项和，且，则（    ）

A. 数列为等比数列

B. 数列为等比数列

C.

D.

12. 已知双曲线的右焦点为，左､右顶点分别为，则（    ）

A. 过点与只有一个公共点的直线有2条

B. 若的离心率为，则点关于的渐近线的对称点在上

C. 过的直线与右支交于两点，则线段的长度有最小值

D. 若为等轴双曲线，点是上异于顶点的一点，且，则

三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13. 已知是边长为1的等边三角形，设向量满足，则__________．

14. 若函数是偶函数，则的最小值为__________．

15. 利用分层随机抽样的方法，调研某校高二年级学生某次数学测验的成绩（满分分），获得样本数据的特征量如下表：

则总样本的平均分为__________，方差为__________．

参考公式：个数平均数为，方差为

参考数据：．

16. 在直三棱柱中，，平面经过点，且满足直线与平面所成的角为，过点作平面的垂线，垂足为，则长度的取值范围为__________．

四､解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤．

17. 在①成等比数列，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并完成解答．

问题：在公差不为0的等差数列中，其前项和为，__________，是否存在正整数，使得？若存在，求出所有的正整数；若不存在，请说明理由．

18. 在平面四边形中，对角线与交于点，．

（1）求AC的长；

（2）求的值．

19. 某省为调査北部城镇2021年国民生产总值，抽取了20个城镇进行分析，得到样本数据，），其中和分别表示第个城镇人口（单位：万人）和该城镇2021年国民生产总值（单位：亿元），计算得．

（1）请用相关系数判断该组数据中与之间线性相关关系的强弱（若，相关性较强；若，相关性一般；若，相关性较弱）；

（2）求关于的线性回归方程；

（3）若该省北部某城镇2021年的人口约为5万人，根据（2）中的线性回归方程估计该城镇2021年的国民生产总值．

参考公式：相关系数，对于一组具有线性相关关系的数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，

20. 如图，直三棱柱中，，点分别在棱和棱上，且．

（1）设为中点，求证：平面；

（2）求直线与平面所成角的正弦值．

21. 已知椭圆的焦点为，且过点．

（1）求的方程；

（2）设为椭圆的右顶点，直线与椭圆交于两点，且均不是的左､右顶点，为的中点．若，试探究直线是否过定点？若过定点，求出该定点坐标；若不过定点，请说明理由．

22. 已知，函数．

（1）讨论函数的单调性；

（2）如果我们用表示区间长度，试证明：对任意实数，关于的不等式的解集的区间长度小于．