06立体几何（解答题）（文科专用）-三年（2020-2022）高考数学真题分项汇编（全国通用）

三年专题06 立体几何（解答题）

（文科专用）

1．【2022年全国甲卷】小明同学参加综合实践活动，设计了一个封闭的包装盒，包装盒如图所示：底面是边长为8（单位：）的正方形，均为正三角形，且它们所在的平面都与平面垂直．

(1)证明：平面；

(2)求该包装盒的容积（不计包装盒材料的厚度）．

【答案】(1)证明见解析；

(2)．

【解析】

【分析】

（1）分别取的中点，连接，由平面知识可知，，依题从而可证平面，平面，根据线面垂直的性质定理可知，即可知四边形为平行四边形，于是，最后根据线面平行的判定定理即可证出；

（2）再分别取中点，由（1）知，该几何体的体积等于长方体的体积加上四棱锥体积的倍，即可解出．

(1)

如图所示：，

分别取的中点，连接，因为为全等的正三角形，所以，，又平面平面，平面平面，平面，所以平面，同理可得平面，根据线面垂直的性质定理可知，而，所以四边形为平行四边形，所以，又平面，平面，所以平面．

(2)

如图所示：，

分别取中点，由（1）知，且，同理有，，，，由平面知识可知，，，，所以该几何体的体积等于长方体的体积加上四棱锥体积的倍．

因为，，点到平面的距离即为点到直线的距离，，所以该几何体的体积．

2．【2022年全国乙卷】如图，四面体中，，E为AC的中点．

(1)证明：平面平面ACD；

(2)设，点F在BD上，当的面积最小时，求三棱锥的体积．

【答案】(1)证明详见解析

(2)

【解析】

【分析】

（1）通过证明平面来证得平面平面.

（2）首先判断出三角形的面积最小时点的位置，然后求得到平面的距离，从而求得三棱锥的体积.

(1)

由于，是的中点，所以.

由于，所以，

所以，故，

由于，平面，

所以平面，

由于平面，所以平面平面.

(2)

依题意，，三角形是等边三角形，

所以，

由于，所以三角形是等腰直角三角形，所以.

，所以，

由于，平面，所以平面.

由于，所以，

由于，所以，

所以，所以，

由于，所以当最短时，三角形的面积最小值.

过作，垂足为，

在中，，解得，

所以，

所以.

过作，垂足为，则，所以平面，且，

所以,

所以.

3．【2021年甲卷文科】已知直三棱柱中，侧面为正方形，，E，F分别为和的中点，.

（1）求三棱锥的体积；

（2）已知D为棱上的点，证明：.

【答案】(1)；(2)证明见解析.

【解析】

【分析】

（1）先证明为等腰直角三角形，然后利用体积公式可得三棱锥的体积；

（2）将所给的几何体进行补形，从而把线线垂直的问题转化为证明线面垂直，然后再由线面垂直可得题中的结论.

【详解】

（1）由于，，所以，

又AB⊥BB1，，故平面，

则，为等腰直角三角形，

，.

（2）由（1）的结论可将几何体补形为一个棱长为2的正方体，如图所示，取棱的中点，连结，

正方形中，为中点，则，

又，

故平面，而平面，

从而.

【点睛】

求三棱锥的体积时要注意三棱锥的每个面都可以作为底面，例如三棱锥的三条侧棱两两垂直，我们就选择其中的一个侧面作为底面，另一条侧棱作为高来求体积．对于空间中垂直关系（线线、线面、面面）的证明经常进行等价转化.

4．【2021年乙卷文科】如图，四棱锥的底面是矩形，底面，M为的中点，且．

（1）证明：平面平面；

（2）若，求四棱锥的体积．

【答案】（1）证明见解析；（2）．

【解析】

【分析】

（1）由底面可得，又，由线面垂直的判定定理可得平面，再根据面面垂直的判定定理即可证出平面平面；

（2）由（1）可知，，由平面知识可知，，由相似比可求出，再根据四棱锥的体积公式即可求出．

【详解】

（1）因为底面，平面，

所以，

又，，

所以平面，

而平面，

所以平面平面．

（2）[方法一]：相似三角形法

 由（1）可知．

于是，故．

因为，所以，即．

故四棱锥的体积．

[方法二]：平面直角坐标系垂直垂直法

     由（2）知,所以．

建立如图所示的平面直角坐标系，设．

因为，所以，，，．

从而．

所以，即．下同方法一.

 [方法三]【最优解】：空间直角坐标系法

   建立如图所示的空间直角坐标系，

设，所以，，，，．

所以，，．

所以．

所以，即．下同方法一.

 [方法四]：空间向量法

     由，得．

所以．

即．

又底面，在平面内，

因此，所以．

所以，

由于四边形是矩形，根据数量积的几何意义，

得，即．

所以，即．下同方法一.

【整体点评】

(2)方法一利用相似三角形求出求出矩形的另一个边长，从而求得该四棱锥的体积；

方法二构建平面直角坐标系，利用直线垂直的条件得到矩形的另一个边长，从而求得该四棱锥的体积；

方法三直接利用空间直角坐标系和空间向量的垂直的坐标运算求得矩形的另一个边长,为最常用的通性通法，为最优解；

方法四利用空间向量转化求得矩形的另一边长.

5．【2020年新课标1卷文科】如图，为圆锥的顶点，是圆锥底面的圆心，是底面的内接正三角形，为上一点，∠APC=90°．

（1）证明：平面PAB⊥平面PAC；

（2）设DO=，圆锥的侧面积为，求三棱锥P−ABC的体积.

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】

【分析】

（1）根据已知可得，进而有≌，可得

，即，从而证得平面，即可证得结论；

（2）将已知条件转化为母线和底面半径的关系，进而求出底面半径，由正弦定理，求出正三角形边长，在等腰直角三角形中求出，在中，求出，即可求出结论.

【详解】

（1）连接，为圆锥顶点，为底面圆心，平面，

在上，，

是圆内接正三角形，，≌，

，即，

平面平面，平面平面；

（2）设圆锥的母线为，底面半径为，圆锥的侧面积为，

，解得，，

在等腰直角三角形中，，

在中，，

三棱锥的体积为.

【点睛】

本题考查空间线、面位置关系，证明平面与平面垂直，求锥体的体积，注意空间垂直间的相互转化，考查逻辑推理、直观想象、数学计算能力，属于中档题.

6．【2020年新课标2卷文科】如图，已知三棱柱ABC–A1B1C1的底面是正三角形，侧面BB1C1C是矩形，M，N分别为BC，B1C1的中点，P为AM上一点．过B1C1和P的平面交AB于E，交AC于F．

（1）证明：AA1//MN，且平面A1AMN⊥平面EB1C1F；

（2）设O为△A1B1C1的中心，若AO=AB=6，AO//平面EB1C1F，且∠MPN=，求四棱锥B–EB1C1F的体积．

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】

【分析】

（1）由分别为，的中点，，根据条件可得，可证，要证平面平面，只需证明平面即可；

（2）根据已知条件求得和到的距离，根据椎体体积公式，即可求得.

【详解】

（1）分别为，的中点，

又

在等边中，为中点，则

又侧面为矩形，

由，平面

平面

又，且平面，平面，

平面

又平面，且平面平面

又平面

平面

平面

平面平面

（2）过作垂线，交点为，

画出图形，如图

平面

平面，平面平面

又

为的中心.

故：，则，

平面平面，平面平面，

平面

平面

又在等边中

即

由（1）知，四边形为梯形

四边形的面积为：

，

为到的距离，

.

【点睛】

本题主要考查了证明线线平行和面面垂直，及其求四棱锥的体积，解题关键是掌握面面垂直转为求证线面垂直的证法和棱锥的体积公式，考查了分析能力和空间想象能力，属于中档题.

7．【2020年新课标3卷文科】如图，在长方体中，点，分别在棱，上，且，．证明：

（1）当时，；

（2）点在平面内．

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.

【解析】

【分析】

（1）根据正方形性质得，根据长方体性质得,进而可证平面,即得结果；

（2）只需证明即可，在上取点使得,再通过平行四边形性质进行证明即可.

【详解】

（1）因为长方体,所以平面,

因为长方体,所以四边形为正方形

因为平面,因此平面,

因为平面,所以；

（2）在上取点使得,连,

因为,所以

所以四边形为平行四边形，

因为所以四点共面，所以四边形为平行四边形， ，所以四点共面，

因此在平面内

【点睛】

本题考查线面垂直判定定理、线线平行判定，考查基本分析论证能力，属中档题.