专题强化 平行四边形的判定和性质、三角形中位线的综合问题-2021-2022学年八年级数学下册《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破（北师大版）

这是一份专题强化 平行四边形的判定和性质、三角形中位线的综合问题-2021-2022学年八年级数学下册《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破（北师大版），共39页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（2022·河南许昌·八年级期中）下列性质，平行四边形具有而一般四边形不具有的是（ ）
A．对角相等B．内角和360°C．外角和360°D．不确定性
2．（2022·北京市燕山教研中心八年级期中）如图，□ABCD中，点O是对角线AC的中点，点E是BC的中点，CD＝8，则OE＝（ ）
A．3B．4C．5D．7
3．（2022·北京昌平·八年级期中）若平行四边形ABCD的周长为32，AB=4，则BC的长是（ ）
A．6B．8C．12D．16
4．（2022·甘肃武威·八年级期中）如图，在平行四边形中，平分，，，则（ ）
A．5B．6C．7D．8
5．（2022·北京·日坛中学八年级期中）下列四组条件中，能判定四边形ABCD是平行四边形的有（ ）
①AB=CD，AD=BC ②AB=CD，ABCD
③AB=CD，ADBC ④ABCD，ADBC
A．②③④B．①②④C．①②③D．①③④
6．（2021·全国·八年级专题练习）如图，将▱ABCD沿对角线BD折叠，使点A落在点E处，交BC于点F，若，，则为
A．B．C．D．
7．（2021·山东菏泽·八年级期末）如图，▱ABCD的周长为36，对角线AC、BD相交于点O，点E是CD的中点，BD=12，则△DOE的周长为（ ）
A．15B．18C．21D．24
8．（2021·辽宁沈阳·八年级期末）如图，在△ABC中，D是AB上一点，AD＝AC，AE⊥CD，垂足为点E，F是BC的中点，若BD＝16，则EF的长为（ ）
A．32B．16C．8D．4
9．（2022·山东临沂·八年级期中）如图，P是面积为S的内任意一点，的面积为，的面积为，则（ ）
A．B．
C．D．的大小与P点位置有关
10．（2021·浙江宁波·八年级期中）如图，在四边形中，是边的中点，连接并延长，交的延长线于点，．添加一个条件使四边形是平行四边形，你认为下面四个条件中可选择的是（ ）
A．B．C．D．
11．（2022·河南许昌·八年级期中）如图，EF过平行四边形ABCD的对角线的交点O，交AD于E，交BC于F，若AB=4，BC=5，OE=2.5，那么四边形EFCD的周长是（ ）
A．9B．10.5C．12D．14
12．（2022·江苏·南京外国语学校八年级阶段练习）如图，在▱ABCD中，BF平分∠ABC，交AD于点F，CE平分∠BCD，交AD于点E，若AB＝6，EF＝2，则BC的长为( )
A．8B．10C．12D．14
13．（2022·山东淄博·八年级期末）如图，平行四边形ABCD中，E，F是对角线BD上的两点，如果添加一个条件使△ABE≌△CDF，则添加的条件不能是（ ）
A．AE=CFB．BE=FDC．BF=DED．∠1=∠2
14．（2022·山东泰安·八年级期末）如图，是边延长线上一点，连接，，，交于点．添加以下条件，不能判定四边形为平行四边形的是（ ）
A．B．
C．D．
15．（2021·浙江·八年级专题）四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，给出下列四个条件：
①AD∥BC；②AD=BC；③OA=OC；④OB=OD
从中任选两个条件，能使四边形ABCD为平行四边形的选法有（ ）
A．3种B．4种C．5种D．6种
16．（2021·山东东营·八年级期末）如图，△ABC的周长为19，点D，E在边BC上，∠ABC的平分线垂直于AE，垂足为N，∠ACB的平分线垂直于AD，垂足为M，若BC=7，则MN的长度为（ ）
A．B．2C．D．3
17．（2021·全国·八年级课时练习）如图，在□ABCD中，AD=2AB，F是AD的中点，作CE⊥AB，垂足E在线段AB上（E不与A、B重合），连接EF、CF，则下列结论中一定成立的是 ( )
①∠DCF=∠BCD；②EF=CF；③；④∠DFE=4∠AEF
A．①②③④B．①②③C．①②D．①②④
二、填空题
18．（2021·河北秦皇岛·八年级期末）如图，四边形ABCD的对角线相交于点O，AO=CO，请添加一个条件_________（只添一个即可），使四边形ABCD是平行四边形．
19．（2022·全国·八年级）如图，ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是线段AO，BO的中点，若AC+BD=24厘米，△OAB的周长是18厘米，则EF=___厘米．
20．（2021·河南·武陟中学八年级期末）如图，在中，，分别是和的中点，连接，点是的中点，连接并延长，交的延长线于点，若，则的长为_________．
21．（2019·河南南阳·八年级期中）如图，▱ABCD中，AB＝3cm，BC＝5cm，BE平分∠ABC交AD于E点，CF平分∠BCD交AD于F点，则EF的长为_____ cm．
22．（2021·浙江·嵊州市初级中学八年级期中）如图，点A的坐标为，点在轴上，把沿轴向右平移到，若四边形的面积为9，则点的坐标为_______．
23．（2019·山东·德州市第九中学八年级期中）如图，在平行四边形ABCD中，P是CD边上一点，且AP和BP分别平分∠DAB和∠CBA，若AD=5，AP=8，则△APB的周长是_____．
24．（2020·安徽省宣城市奋飞学校八年级期中）如图，△ABC三边的中线AD，BE，CF的公共点G，若，则图中阴影部分面积是 ____________.
25．（2021·陕西·陇县教学研究室八年级期末）如图，的顶点C在等边的边上，点E在的延长线上，G为的中点，连接．若，，则的长为_______．
26．（2020·浙江·义乌市荷叶塘初级中学八年级阶段练习）如图，平行四边形ABCD中，AE平分∠BAD，交BC于点E，且AB＝AE，延长AB与DE的延长线交于点F．下列结论中：①△ABC≌△EAD；②△ABE是等边三角形；③AD＝AF；④S△ABE＝S△CDE；⑤S△ABE＝S△CEF．其中正确的是_____．
三、解答题
27．（2020·陕西·铜川市耀州区教育体育局教学研究室八年级期末）如图，M是△ABC的边BC的中点，AN平分∠BAC，BN⊥AN于点N，延长BN交AC于点D，已知AB=10，BC=15，MN=3
（1）求证：BN=DN；
（2）求△ABC的周长．
28．（2021·山东青岛·八年级期末）如图，ABCD是平行四边形，P是CD上一点，且AP和BP分别平分∠DAB和∠CBA．
(1)求∠APB的度数；
(2)如果AD＝5cm，AP＝8cm，求△APB的周长．
29．（2021·全国·八年级）如图，平行四边形中，，，、分别是、上的点，且，连接交于．
（1）求证：；
（2）若，延长交的延长线于，当，求的长．
30．（2021·陕西宝鸡·八年级期末）如图，在▱ABCD中，E是BC的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F．
（1）求证：AB=CF；
（2）连接DE，若AD=2AB，求证：DE⊥AF．
31．（2022·全国·八年级）如图，点B、E、C、F在一条直线上，AB=DF，AC=DE，BE=FC．
（1）求证：△ABC≌△DFE；
（2）连接AF、BD，求证：四边形ABDF是平行四边形．
32．（2021·山东菏泽·八年级期末）在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠BAC＝30°，将△ABC绕点A顺时针旋转一定的角度得到△AED，点B、C的对应点分别是E、D.
(1)如图1，当点E恰好在AC上时，求∠CDE的度数；
(2)如图2，若=60°时，点F是边AC中点，求证：四边形BFDE是平行四边形.

33．（2022·湖南·明德华兴中学八年级期中）如图，四边形ABCD为平行四边形，∠BAD的角平分线AE交CD于点F，交BC的延长线于点E，
（1）求证：BE=CD；
（2）连接BF，若BF⊥AE，∠BEA=60°，AB=4，求平行四边形ABCD的面积．
34．（2020·河南信阳·八年级期末）已知：如图，点A．F，E．C在同一直线上，AB∥DC，AB=CD，∠B=∠D,
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）若点E，G分别为线段FC，FD的中点，连接EG，且EG=5，求AB的长．
35．（2021·浙江·八年级期末）如图：在平行四边形ABCD的边AB，CD上截取AF，CE，使得AF=CE，连接EF，点M，N是线段EF上两点，且EM=FN，连接AN，CM．
（1）求证：△AFN≌△CEM；
（2）若∠CMF=107°，∠CEM=72°，求∠NAF的度数．
36．（2021·江苏无锡·八年级期末）如图，在△ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，AH是边BC上的高．
（1）求证：四边形ADEF是平行四边形；
（2）求证：∠DHF=∠DEF．
37．（2020·全国·八年级课时练习）如图，点E在▱ABCD内部，AF∥BE，DF∥CE，
（1）求证：△BCE≌△ADF；
（2）设▱ABCD的面积为S，四边形AEDF的面积为T，求的值
38．（2022·全国·八年级）如图，在口ABCD中，分别以边BC，CD作等腰△BCF，△CDE，使BC=BF，CD=DE，∠CBF＝∠CDE，连接AF，AE.
（1）求证：△ABF≌△EDA；
（2）延长AB与CF相交于G，若AF⊥AE，求证BF⊥BC．
39．（2021·全国·八年级课时练习）如图1，在▱ABCD中，∠D=45°，E为BC上一点，连接AC，AE，
（1）若AB=2，AE=4，求BE的长；
（2）如图2，过C作CM⊥AD于M，F为AE上一点，CA=CF，且∠ACF=∠BAE，求证：AF+AB=AM．
40．（2019·上海市张江集团中学八年级阶段练习）如图，在平行四边形中，点是对角线的中点，点是上一点，且，连接并延长交于点，过点作的垂线，垂足为，交于点.
（1）若，，求的面积；
（2）若，求证：.
41．（2022·江苏·无锡市侨谊实验中学八年级期中）如图，在四边形中，．动点P从点B出发，沿射线的方向以每秒的速度运动到C点返回，动点Q从点A出发，在线段上以每秒的速度向点D运动，点P，Q分别从点B，A同时出发，当点Q运动到点D时，点P随之停止运动，设运动时间为t（秒）．
（1）当时，若四边形是平行四边形，求出满足要求的t的值；
（2）当时，若以C，D，Q，P为顶点的四边形面积为，求相应的t的值；
（3）当时，若以C，D，Q，P为顶点的四边形面积为，求相应的t的值．
参考答案：
1．A
【详解】
A.对角相等一般四边形不具有，平行四边形才具有，故A正确；
B.任意四边形的内角和等于360°，不仅仅是平行四边形具有，故B错误
C.任意四边形的外角和等于360°，不仅仅是平行四边形具有，故C错误；
D.任意四边形都具有不确定性，不仅仅是平行四边形具有，故D错误．
故选：A．
2．B
【详解】
由题意可知：，
，分别为，的中点，
．
故选：B．
3．C
【详解】
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AD=BC，
∵平行四边形ABCD的周长为32，
∴，
∵AB=4，
∴．
故选：C
4．A
【详解】
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AD＝BC＝8，AD∥BC，
∴∠ADE＝∠DEC，
∵DE平分∠ADC，
∴∠ADE＝∠CDE，
∴∠CDE＝∠DEC，
∴CE＝DC，
∵BC＝8，BE＝3，
∴CD＝CE＝8−3＝5，
故选：A．
5．B
【详解】
解：①根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形可判断四边形ABCD为平行四边形；
②根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可判断四边形ABCD为平行四边形；
③不能判定四边形ABCD为平行四边形；
④根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可判断四边形ABCD为平行四边形；
∴①②④正确，
故选：B．
6．B
【详解】
，
，
由折叠可得，
，
又，
，
又，
中，，
，
故选B
7．A
【详解】
解：∵▱ABCD的周长为36，
∴2（BC+CD）=36，则BC+CD=18．
∵四边形ABCD是平行四边形，对角线AC，BD相交于点O，BD=12，
∴OD=OB=BD=6．
又∵点E是CD的中点，DE=CD，
∴OE是△BCD的中位线，∴OE=BC，
∴△DOE的周长=OD+OE+DE=BD+（BC+CD）=6+9=15，
即△DOE的周长为15．
故选A
8．C
【详解】
∵AD＝AC，
∴是等腰三角形，
∵AE⊥CD，
∴，
∴E是CD的中点，
∵F是BC的中点，
∴EF是△BCD的中位线，
∴，
故答案为：C．
9．C
【详解】
解：如图，过点P作AD的垂线PF，交AD于F，再延长FP交BC于点E，
根据平行四边形的性质可知PE⊥BC，AD=BC，
∴S1=AD×PF，S2=BC×PE，
∴S1+ S2
=AD×PF+BC×PE
=AD×（PE+PE）
=AD×EF
=S，
故选C．
10．D
【详解】
添加A、，无法得到ADBC或CD=BA，故错误；
添加B、，无法得到CDBA或，故错误；
添加C、，无法得到，故错误；
添加D、
∵，，，
∴， ，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形．
故选D．
11．D
【详解】
解：根据平行四边形的性质，得
AO=OC，∠EAO=∠FCO，又∠AOE=∠COF，
∴△AOE≌△COF，
∴OF=OE=2.5，CF=AE，
根据平行四边形的对边相等，得
CD=AB=4，AD=BC=5，
故四边形EFCD的周长=EF+FC+ED+CD
=OE+OF+AE+ED+CD
=2.5+2.5+5+4=14．
故选：D．
12．B
【详解】
试题分析：根据平行四边形的性质可知AB=CD，AD∥BC，AD=BC，然后根据平行线的性质和角平分线的性质可知AB=AF，DE=CD，因此可知AF+DE=AD+EF=2AB=12，解得AD=BC=12-2=10.
故选B.
13．A
【详解】
解：A、若添加条件：AE=CF，因为∠ABD=∠CDB，不是两边的夹角，所以不能证明△ABE≌△CDF，所以错误，符合题意，
B、若添加条件：BE=FD，可以利用SAS证明△ABE≌△CDF，所以正确，不符合题意；
C、若添加条件：BF=DE，可以得到BE=FD，可以利用SAS证明△ABE≌△CDF，所以正确，不符合题意；
D、若添加条件：∠1=∠2，可以利用ASA证明△ABE≌△CDF，所以正确，不符合题意；
故选：A．
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定，解题的关键是掌握三角形的判定定理．
14．C
【详解】
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴四边形为平行四边形，故A不符合题意；
∵，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∵，
∴四边形为平行四边形，故B不符合题意；
∵，
∴，
∵，
∴,
∴，
同理，，
∴不能判定四边形为平行四边形；故C符合题意；
∵，
∴，
∵，
∴，
∴四边形为平行四边形，故D不符合题意，
故选：C．
15．B
【详解】
①②组合可根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判定出四边形ABCD为平行四边形；
①③可证明△ADO≌△CBO，进而得到AD=CB，可利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判定出四边形ABCD为平行四边形；
①④可证明△ADO≌△CBO，进而得到AD=CB，可利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判定出四边形ABCD为平行四边形；
③④组合可根据对角线互相平分的四边形是平行四边形判定出四边形ABCD为平行四边形.
故选B.
16．C
【详解】
解：∵BN平分∠ABC，BN⊥AE，
∴∠NBA=∠NBE，∠BNA=∠BNE，
在△BNA和△BNE中，
，
∴△BNA≌△BNE，
∴BA=BE，
∴△BAE是等腰三角形，
同理△CAD是等腰三角形，
∴点N是AE中点，点M是AD中点（三线合一），
∴MN是△ADE的中位线，
∵BE+CD=AB+AC=19-BC=19-7=12，
∴DE=BE+CD-BC=5，
∴MN=DE=．
故选C．
17．B
【详解】
解：①∵F是AD的中点，
∴AF=FD．
∵在平行四边形ABCD中，AD=2AB，
∴AF=FD=CD，
∴∠DFC=∠DCF．
∵AD∥BC，
∴∠DFC=∠FCB，
∴∠DCF=∠BCF，
∴∠DCF=∠BCD，故①正确；
延长EF，交CD延长线于M．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠A=∠MDF．
∵F为AD中点，
∴AF=FD．
在△AEF和△DFM中，，
∴△AEF≌△DMF（ASA），
∴FE=MF，∠AEF=∠M．
∵CE⊥AB，
∴∠AEC=90°，
∴∠AEC=∠ECD=90°．
∵FM=EF，
∴EF=CF，故②正确；
∵EF=FM，
∴S△EFC=S△CFM．
∵MC＞BE，
∴S△BEC＜2S△EFC
故③正确；
设∠FEC=x，则∠FCE=x，
∴∠DCF=∠DFC=90°﹣x，
∴∠EFC=180°﹣2x，
∴∠EFD=90°﹣x+180°﹣2x=270°﹣3x．
∵∠AEF=90°﹣x，
∴∠DFE=3∠AEF，故④错误．
故选：B．

【点睛】
本题主要考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质等知识，得出△AEF≌△DMF是解题的关键．
18．BO=DO
【解析】
【详解】
解：∵AO=CO，BO=DO，∴四边形ABCD是平行四边形．
故答案为：BO=DO．
19．3
【解析】
【详解】
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD．
又∵AC+BD=24厘米，
∴OA+OB=12厘米．
∵△OAB的周长是18厘米，
∴AB=6厘米．
∵点E，F分别是线段AO，BO的中点，
∴EF是△OAB的中位线．
∴EF=AB=3厘米．
故答案为：3
20．2
【解析】
【分析】
依据三角形中位线定理，即可得到MN=BC=2，MNBC，依据△MNE≌△DCE（AAS），即可得到CD=MN=2．
【详解】
解：∵M，N分别是AB和AC的中点，
∴MN是△ABC的中位线，
∴MN=BC=2，MN∥BC，
∴∠NME=∠D，∠MNE=∠DCE，
∵点E是CN的中点，
∴NE=CE，
∴△MNE≌△DCE（AAS），
∴CD=MN=2．
故答案为：2．
【点睛】
本题主要考查了三角形中位线定理以及全等三角形的判定与性质，全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
21．1
【解析】
【分析】
根据角平分线的概念、平行线的性质及等腰三角形的性质，可分别推出AE=AB，DF=DC，进而推出EF=AE+DF-AD．
【详解】
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠AEB＝∠EBC，AD＝BC＝5cm，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠EBC，
则∠ABE＝∠AEB，
∴AB＝AE＝3cm，
同理可证：DF＝DC＝AB＝3cm，
则EF＝AE+FD﹣AD＝3+3﹣5＝1cm．
故答案为：1．
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质，关键是运用角平分线的概念和平行线的性质，由等角推出等边．
22．(4，3)
【解析】
【分析】
过点A作AH⊥x轴于点H，得到AH=3，根据平移的性质证明四边形ABDC是平行四边形，得到AC=BD，根据平行四边形的面积是9得到，求出BD即可得到答案.
【详解】
过点A作AH⊥x轴于点H，
∵A（1,3），
∴AH=3，
由平移得AB∥CD，AB=CD，
∴四边形ABDC是平行四边形，
∴AC=BD，
∵，
∴BD=3，
∴AC=3，
∴C(4，3)，
故答案为：(4，3).
【点睛】
此题考查平移的性质，平行四边形的判定及性质，直角坐标系中点到坐标轴的距离与点坐标的关系.
23．24.
【解析】
【详解】
解： ∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥CB，AB∥CD，
∴∠DAB+∠CBA=180°，
又∵AP和BP分别平分∠DAB和∠CBA，
∴∠PAB=∠DAB，∠PBA=∠ABC，
∴∠PAB+∠PBA=（∠DAB+∠CBA）=90°，
∴∠APB=180°﹣（∠PAB+∠PBA）=90°；
∵AB∥CD，
∴∠PAB=∠DPA，
∴∠DAP=∠DPA，
∴AD=DP=5，
同理：PC=CB=5，
即AB=DC=DP+PC=10，
在Rt△APB中，AB=10，AP=8，
∴BP==6，
∴△APB的周长=6+8+10=24．
故答案为：24．
24．4
【解析】
【详解】
试题分析：由中线性质，可得AG=2GD，则，∴阴影部分的面积为4；其实图中各个单独小三角形面积都相等本题虽然超纲，但学生容易蒙对的.
考点：中线的性质.
25．
【解析】
【分析】
延长DC交EF于点M（图见详解），根据平行四边形与等边三角形的性质，可证△CFM是等边三角形，BF=BE=EF=BC+CF=5，可求出CF=CM=MF=2，可得C、G是DM和DE的中点，根据中位线的性质，可得出CG=，代入数值即可得出答案．
【详解】
解：如下图所示，延长DC交EF于点M，，，
平行四边形的顶点C在等边的边上，
，
是等边三角形，
．
在平行四边形中，，，
又是等边三角形，
，
．
G为的中点，，
是的中点，且是的中位线，
．
故答案为：．
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质、等边三角形的性质、中位线等知识点，延长DC交EF于点M，利用平行四边形、等边三角形性质求出相应的线段长，证出是的中位线是解题的关键．
26．①②⑤
【解析】
【分析】
由平行四边形的性质得出AD∥BC，AD=BC，由AE平分∠BAD，可得∠BAE=∠DAE，可得∠BAE=∠BEA，得AB=BE，由AB=AE，得到△ABE是等边三角形，②正确；则∠ABE=∠EAD=60°，由SAS证明△ABC≌△EAD，①正确；由△FCD与△ABD等底（AB=CD）等高（AB与CD间的距离相等），得出S△FCD=S△ABD，由△AEC与△DEC同底等高，所以S△AEC=S△DEC，得出S△ABE=S△CEF．⑤正确．
【详解】
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∴∠EAD=∠AEB，
又∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE=∠DAE，
∴∠BAE=∠BEA，
∴AB=BE，
∵AB=AE，
∴△ABE是等边三角形；
②正确；
∴∠ABE=∠EAD=60°，
∵AB=AE，BC=AD，
∴△ABC≌△EAD（SAS）；
①正确；
∵△FCD与△ABC等底（AB=CD）等高（AB与CD间的距离相等），
∴S△FCD=S△ABC，
又∵△AEC与△DEC同底等高，
∴S△AEC=S△DEC，
∴S△ABE=S△CEF；
⑤正确．
若AD与AF相等，即∠AFD=∠ADF=∠DEC，
即EC=CD=BE，
即BC=2CD，
题中未限定这一条件，
∴③不一定正确；
故答案为①②⑤．
【点睛】
此题考查了平行四边形的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质．此题比较复杂，注意将每个问题仔细分析．
27．（1）见解析，（2）41
【解析】
【分析】
（1）证明△ABN≌△ADN，即可得出结论．
（2）先判断MN是△BDC的中位线，从而得出CD，由（1）可得AD=AB=10，从而计算周长即可．
【详解】
（1）证明：∵BN⊥AN于点N，
∴，
在△ABN和△ADN中，
∵，
∴△ABN≌△ADN（ASA）．
∴BN=DN．
（2）∵△ABN≌△ADN，
∴AD=AB=10，DN=NB．
又∵点M是BC中点，
∴MN是△BDC的中位线．
∴CD=2MN=6．
∴△ABC的周长=AB+BC+CD+AD=10+15+6+10=41．
28．(1)∠APB＝90°； (2)△APB的周长是24cm．
【解析】
【分析】
（1）根据平行四边形性质得出ADCB，ABCD，推出∠DAB+∠CBA=180°，求出∠PAB+∠PBA=90°，在△APB中求出∠APB即可；
（2）求出AD=DP=5，BC=PC=5，求出DC=10=AB，即可求出答案．
【详解】
（1）∵四边形是平行四边形，
∴ ，，，
∴ ，
又∵和分别平分和，
∴ ，
∴；
（2） ∵平分， ，
∴，
∴，同理：，
∴，
在中，，
∴，
∴△的周长．
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定与性质等，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
29．（1）详见解析；（2）3
【解析】
【分析】
（1）由平行四边形的性质和AAS证明△OBE≌△ODF，得出对应边相等即可；
（2）证出AE＝GE，再证明DG＝DO，得出OF＝FG＝1，即可得出结果．
【详解】
解：（1）证明：∵四边形是平行四边形
∴
∴
在与中，
∵
∴
∴
（2）∵
∴
∵
∴
∴
∵
∴
∴
∴
∴
由（1）可知，
∴
∴．
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解决问题（1）的关键．
30．（1）见解析；（2）见解析．
【解析】
【分析】
（1）要证明AB=CF可通过△AEB≌△FEC证得，利用平行四边形ABCD的性质不难证明；
（2）由平行四边形ABCD的性质可得AB=CD，由△AEB≌△FEC可得AB=CF，所以DF=2CF=2AB，所以AD=DF，由等腰三角形三线合一的性质可证得ED⊥AF ．
【详解】
（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DF，
∴∠BAE=∠F，
∵E是BC的中点，
∴BE=CE，
在△AEB和△FEC中，
，
∴△AEB≌△FEC（AAS），
∴AB=CF；
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，
∵AB=CF，DF=DC+CF ，
∴DF=2CF，
∴DF=2AB，
∵AD=2AB，
∴AD=DF，
∵△AEB≌△FEC，
∴AE=EF，
∴ED⊥AF ．
【点睛】
本题考查了全等三角形的性质及判定、平行四边形的性质、等腰三角形三线合一的性质，熟练掌握性质是解答本题的关键．
31．（1）证明见解析；（2）证明见解析．
【解析】
【分析】
（1）由SSS证明△ABC≌△DFE即可；
（2）连接AF、BD，由全等三角形的性质得出∠ABC=∠DFE，证出AB∥DF，即可得出结论．
【详解】
详解：证明：（1），
，
在和中，
，
≌；
（2）解：如图所示：
由（1）知≌，
，
，
，
四边形ABDF是平行四边形．
【点睛】
本题考查了平行四边形的判定、全等三角形的判定与性质、平行线的判定；熟练掌握平行四边形的判定方法，证明三角形全等是解决问题的关键．
32．（1）15°；（2）证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）如图1，利用旋转的性质得CA＝DA，∠CAD＝∠BAC＝30°，∠DEA＝∠ABC＝90°，再根据等腰三角形的性质求出∠ADC，从而计算出∠CDE的度数；
（2）如图2，利用直角三角形斜边上的中线性质得到BF＝AC，利用含30度的直角三角形三边的关系得到BC＝AC，则BF＝BC，再根据旋转的性质得到∠BAE＝∠CAD＝60°，AB＝AE，AC＝AD ，DE＝BC，从而得到DE＝BF，△ACD和△BAE为等边三角形，接着由△AFD≌△CBA得到DF＝BA，然后根据平行四边形的判定方法得到结论．
【详解】
解：（1）如图1，∵△ABC绕点A顺时针旋转α得到△AED，点E恰好在AC上，
∴∠CAD＝∠BAC＝30°，∠DEA＝∠ABC＝90°，
∵CA＝DA，
∴∠ACD＝∠ADC＝（180°−30°）＝75°，∠ADE=90°-30°=60°，
∴∠CDE＝75°−60°＝15°；
（2）证明：如图2，
∵点F是边AC中点，
∴BF＝AC，
∵∠BAC＝30°，
∴BC＝AC，
∴BF＝BC，
∵△ABC绕点A顺时针旋转60°得到△AED，
∴∠BAE＝∠CAD＝60°，AB＝AE，AC＝AD，DE＝BC，
∴DE＝BF，△ACD和△BAE为等边三角形，
∴BE＝AB，
∵点F为△ACD的边AC的中点，
∴DF⊥AC，
易证得△AFD≌△CBA，
∴DF＝BA，
∴DF＝BE，
而BF＝DE，
∴四边形BEDF是平行四边形．
【点睛】
本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了平行四边形的判定．
33．（1）详见解析；（2）.
【解析】
【分析】
（1）由平行四边形的性质和角平分线易证∠BAE=∠BEA，根据等腰三角形的性质可得AB=BE；
（2）易证△ABE是等边三角形，根据等边三角形的性质可得AE=AB=4，AF=EF=2，由勾股定理求出BF，再由AAS证明△ADF≌△ECF，即△ADF的面积=△ECF的面积，因此平行四边形ABCD的面积=△ABE的面积=AE•BF，即可得出结果．
【详解】
（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，AB=CD，
∴∠B+∠C=180°，∠AEB=∠DAE，
∵AE是∠BAD的平分线，
∴∠BAE=∠DAE，
∴∠BAE=∠AEB，
∴AB=BE，∴BE=CD；
（2）解：∵AB=BE，∠BEA=60°，
∴△ABE是等边三角形，
∴AE=AB=4，
∵BF⊥AE，
∴AF=EF=2，
∴BF=，
∵AD∥BC，
∴∠D=∠ECF，∠DAF=∠E，
在△ADF和△ECF中，
，
∴△ADF≌△ECF（AAS），
∴△ADF的面积=△ECF的面积，
∴平行四边形ABCD的面积=△ABE的面积=AE•BF=×4×2=4．
【点睛】
本题考查全等三角形的判定与性质和平行四边形的性质．
34．（1）证明见解析；（2）AB=10．
【解析】
【分析】
（1）根据平行线的性质得出∠A=∠C，进而利用全等三角形的判定证明即可；
（2）利用全等三角形的性质和中点的性质解答即可．
【详解】
解：（1）证明：∵AB∥DC，
∴∠A=∠C，
在△ABE与△CDF中
，
∴△ABE≌△CDF（ASA）；
（2）∵点E，G分别为线段FC，FD的中点，
∴ED=CD，
∵EG=5，
∴CD=10，
∵△ABE≌△CDF，
∴AB=CD=10．
【点睛】
此题考查全等三角形的判定和性质，关键是根据平行线的性质得出∠A=∠C．
35．（1）证明见解析；（2）∠NAF=35°．
【解析】
【分析】
（1）利用平行线的性质，根据SAS即可证明；
（2）利用全等三角形的性质可知∠NAF=∠ECM，求出∠ECM即可.
【详解】
（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD∥AB，
∴∠AFN=∠CEM，
∵FN=EM，AF=CE，
∴△AFN≌△CEM（SAS）．
（2）解：∵△AFN≌△CEM，
∴∠NAF=∠ECM，
∵∠CMF=∠CEM+∠ECM，
∴107°=72°+∠ECM，
∴∠ECM=35°，
∴∠NAF=35°．
【点睛】
本题考查平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
36．（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【解析】
【详解】
试题分析：（1）根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得EF∥AB，DE∥AC，再根据平行四边形的定义证明即可.
（2）根据平行四边形的对角线相等可得∠DEF=∠BAC，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得DH=AD，FH=AF，再根据等边对等角可得∠DAH=∠DHA，∠FAH=∠FHA，然后求出∠DHF=∠BAC，等量代换即可得到∠DHF=∠DEF．
试题解析：证明：（1）∵点D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，∴DE、EF都是△ABC的中位线.
∴EF∥AB，DE∥AC，∴四边形ADEF是平行四边形.
（2）∵四边形ADEF是平行四边形，∴∠DEF=∠BAC.
∵D，F分别是AB，CA的中点，AH是边BC上的高，∴DH=AD，FH=AF.
∴∠DAH=∠DHA，∠FAH=∠FHA.
∵∠DAH+∠FAH=∠BAC，∠DHA+∠FHA=∠DHF，
∴∠DHF=∠BAC.∴∠DHF=∠DEF．
考点：1.三角形中位线定理；2.直角三角形斜边上的中线性质；3.平行四边形的判定．
37．（1）证明略；（2）=2
【解析】
【分析】
（1）已知AD=BC，可以通过证明，来证明（ASA）；
（2）连接EF，易证四边形ABEF，四边形CDFE为平行四边形，则，即可得=2.
【详解】
（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴，
，
又，
，
，
，
同理可得：，
在和中，
（2）解：连接EF，
，
，
又，
∴四边形ABEF，四边形CDFE为平行四边形，
∴，
∴，
设点E到AB的距离为h1，到CD的距离为h2，线段AB到CD的距离为h，
则h= h1+ h2,
∴，
即=2.
【点睛】
本题考查了三角形全等的判定和性质、平行四边形的判定和性质以及相关面积计算，熟练掌握所学性质定理并能灵活运用进行推理计算是解题的关键.
38．（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【解析】
【详解】
分析：（1）证明AB=DE，FB=AD，∠ABF=∠ADE即可解决问题；
（2）只要证明FB⊥AD即可解决问题.
详（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AD=BC，∠ABC=∠ADC，
∵BC=BF，CD=DE，
∴BF=AD，AB=DE，
∵∠ADE+∠ADC+∠EDC=360°，∠ABF+∠ABC+∠CBF=360°，∠EDC=∠CBF，
∴∠ADE=∠ABF，
在△ABF与△EDA中，
∵AB＝DE，∠ABF＝∠ADE，BF=AD
∴△ABF≌△EDA．
（2）证明：延长FB交AD于H．
∵AE⊥AF，
∴∠EAF=90°，
∵△ABF≌△EDA，
∴∠EAD=∠AFB，
∵∠EAD+∠FAH=90°，
∴∠FAH+∠AFB=90°，
∴∠AHF=90°，即FB⊥AD，
∵AD∥BC，
∴FB⊥BC．
点睛：本题考查平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质、平行线的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形全等的条件，学会添加常用辅助线，属于中考常考题型．
39．（1）2-2；（2）见解析
【解析】
【分析】
（1）如图（1），过A作AH⊥BC于H，解直角三角形即可得到结论；
（2）如图（2），在AM上截取MN=MC，在△ACF内以AF为底边作等腰直角三角形AFP，连接CP，根据平行线的性质函数三角形的内角和得到∠CAN=∠PAC，求得∠APC=∠FPC==135°=∠ANC，根据全等三角形的性质得到AP=AN，于是得到结论．
【详解】
解：（1）如图（1），过A作AH⊥BC于H，
在▱ABCD中，∠D=∠B=45°，AB=2，
∴AH=BH=2，
∵AE=4，
∴EH==2，
∴BE=BH-EH=2-2；
（2）如图（2），在AM上截取MN=MC，在△ACF内以AF为底边作等腰直角三角形AFP，连接CP，
∵∠AFC+∠FAC+∠ACF=180°，∠B+∠FAC+∠BAF+∠CAN=180°，
∴∠AFC=∠B+∠CAN=45°+∠CAN，
∵∠FAC=∠FAP+∠PAC=45°+∠PAC，∴∠FAC=∠AFC，
∴∠CAN=∠PAC，
∵∠APC=∠FPC==135°=∠ANC，
∴△APC≌△ANC（AAS），
∴AP=AN，
∵AM=AN+MN，
∴AM=AN+MN=AF+CD=AF+AB，
即AF+AB=AM．
【点睛】
考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，正确的作出辅助线解题的关键．
40．（1）；（2）证明见解析
【解析】
【分析】
（1）由AH=3，HE=1可求得AB的长，根据勾股定理可求得BH的长，然后根据三角形的面积公式进行求解即可；
（2）过点A作AM⊥BC于点M，交BG于点K，过点G作GN⊥BC于点N，结合图形根据已知条件可以得到，继而可得到，通过证明，可得，根据等腰三角形的性质可求得，再根据平行四边形的性质可以证明，从而得，继而可得.
【详解】
（1） ，
，
又在中，，
；
（2）过点A作AM⊥BC于点M，交BG于点K，过点G作GN⊥BC于点N，
=90°，
=45°，
=45°
，
，
，
=90°，
，
=180°，
=180°，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
.
【点睛】
本题考查了勾股定理、平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质等，综合性较强，正确添加辅助线、应用数形结合思想进行解题是关键.
41．（1）t=5；（2）t=9；（3）t=15
【解析】
【分析】
（1）由平行四边形的性质得出DQ=CP，当0＜t＜10.5时，P、Q分别沿AD、BC运动，由题意得出方程，解方程即可；
（2）当0＜t＜10.5时，P、Q分别沿AD、BC运动，由梯形面积公式得出方程，解方程即可；
（3）当10.5≤t＜16时，点P到达C点返回，由梯形面积公式得出方程，解方程即可．
【详解】
解：（1）∵四边形PQDC是平行四边形，
∴DQ=CP，
当0＜t＜10.5时，P、Q分别沿AD、BC运动，如图1所示：
∵DQ=AD-AQ=16-t，
CP=21-2t
∴16-t=21-2t
解得：t=5；
即当t=5秒时，四边形PQDC是平行四边形；
（2）当0＜t＜10.5时，P、Q分别沿AD、BC运动，如图1所示：
CP=21-2t，DQ=16-t，
若以C，D，Q，P为顶点的四边形面积为60cm2，
则（DQ+CP）×AB=60，
即（16-t+21-2t）×12=60，
解得：t=9；
即当0＜t＜10.5时，若以C，D，Q，P为顶点的四边形面积为60cm2，t的值为9秒；
（3）当10.5≤t＜16时，如图2所示，点P到达C点返回，CP=2t-21，DQ=16-t，
则同（2）得：（DQ+CP）×AB=60，
即（16-t+2t-21）×12=60，
解得：t=15．
即当10.5≤t＜16时，若以C，D，Q，P为顶点的四边形面积为60cm2，t的值为15秒．