2022届四川省成都市石室中学高三专家联测卷（五）数学（文）试题含解析

2022届四川省成都市石室中学高三专家联测卷（五）数学（文）试题

一、单选题

1．已知全集，则＝（       ）

A．{1，2} B．{1，5} C．{2，5） D．{1，2，5}

【答案】D

【分析】求集合的交并补，只要按照交并补的定义就可以了.

【详解】;

，

故选：D.

2．已知复数z满足z(1－i)＝2i，则复数z的共轭复数在复平面内对应的点在(     )

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】C

【分析】根据复数的计算规则，求出z和即可.

【详解】，

故对应的点为，在第三象限.

故选：C.

3．已知命题p：“的否定是：”；命题q：“的一个充分不必要条件是”，则下面命题为真命题的是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】全称命题的否定是特称命题，故命题p为真命题，而“的一个必要不充分条件是”，命题q为假命题，进而判断出答案.

【详解】由题意得：命题p为真命题，其中“的一个必要不充分条件是”，所以命题q为假命题，故为假命题，为假命题，为真命题，为假命题.

故选：C

4．已知函数的最小正周期为，则函数在区间上的最大值和最小值分别是（       ）

A．2和－2 B．2和0

C．2和－1 D．和

【答案】C

【分析】由最小正周期可求出的值，即可得函数的解析式，再利用已知条件中的取值范围，求出的最大值和最小值.

【详解】由题知，得，即函数,

又∵，∴,即，

，

故函数的最大值为2，最小值为－1.

故选：.

5．设变量，满足约束条件，则目标函数的最大值为（       ）

A． B．0 C．6 D．8

【答案】C

【分析】画出可行域，利用几何意义求出目标函数的最大值.

【详解】画出图形，如图所示：阴影部分即为可行域，当目标函数经过点时，目标函数取得最大值.

故选：C

6．的值为（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据诱导公式以及倍角公式求解即可.

【详解】原式.

故选：A

7．如果一个矩形的长与宽的比值为，那么称该矩形为黄金矩形.如图，已知是黄金矩形，，分别在边，上，且也是黄金矩形.若在矩形内任取一点，则该点取自黄金矩形内的概率为（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由几何概型的面积型，只需求小矩形的面积和大矩形面积之比.

【详解】由题意，不妨设，则，又也是黄金矩形，则，又，解得，于是大矩形面积为：，小矩形的面积为，由几何概型的面积型，概率为若在矩形内任取一点，则该点取自黄金矩形内的概率为：.

故选：B.

8．函数的最大值是（       ）

A．7 B． C．9 D．

【答案】B

【分析】函数化简得，然后利用基本不等式求解即可

【详解】由题意可得函数的定义域为，则，

所以，

当且仅当，即时，取等号，

所以函数的最大值是，

故选：B

9．已知定义域为的函数满足：，且，当 时，，则 等于（       ）

A． B． C．2 D．4

【答案】A

【分析】根据函数的周期性以及奇偶性，结合已知函数解析式，代值计算即可.

【详解】因为函数满足：，且，

故是上周期为的偶函数，故，

又当 时，，则，

故.

故选：A.

10．如图，棱长为1的正方体中，为线段的中点，，分别为体对角线和棱上任意一点，则的最小值为（       ）

A． B． C．2 D．

【答案】C

【分析】转化，利用三点共线来求得的最小值.

【详解】设是的中点，

，所以，

所以.

对任一点，的最小值是到直线的距离，

过作，交于，

过作，交于，连接，

由于，所以平面，所以，

由于，所以平面，所以，

则，所以.

，

，

所以，

当三点共线，也即是的中点，是与的交点时，

取得最小值为，所以的最小值为.

故选：C

11．已知椭圆的左、右焦点分别为，，直线与C交M，N两点（其中M在笫一象限），若M，，N，四点共圆，则C的离心率e的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】设椭圆的半焦距为，由椭圆的中心对称性和圆的性质得到以为直径的圆与椭圆有公共点，得到和的关系，再根据的关系即可得出答案.

【详解】解：设椭圆的半焦距为，由椭圆的中心对称性和，，，四点共圆，

则四边形为矩形，

所以以为直径的圆与椭圆有公共点，

则，即，

所以，

故.

故选：A.

12．设函数的图象为曲线C，为C上任意一点，过点R的直线PQ与C相切，且与x轴交于点P，与y轴交于点Q，当三角形POQ的面积取得最小值时，的值为（       ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】表达出切线方程，三角形POQ的面积，利用导函数求出极值，最小值及的值.

【详解】，切线PQ的方程为，化简，得，所以，，三角形POQ的面积为，令，，令，则，得：或-1（舍去），当时，单调递减，当时，单调递增，由于，解得：，当且仅当时，三角形POQ的面积取得最小值．

故选：C

二、填空题

13．已知向量，，且，则______．

【答案】

【分析】根据平面向量平行的坐标表达公式求得，再根据坐标求即可.

【详解】因为向量，，且

故可得，则，即

故．

故答案为：.

14．已知双曲线C：的一个焦点坐标为，则其渐近线方程为__________．

【答案】

【分析】根据双曲线的定义由焦点坐标求出，即可得到双曲线方程，从而得到其渐近线方程；

【详解】解：因为双曲线C：的一个焦点坐标为，即，，又，所以，所以双曲线方程为，所以双曲线的渐近线为；

故答案为：

15．托勒密定理是数学奥赛中的常用定理，该定理指出：圆的内接四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积.如图，已知四边形的四个顶点在同一个圆的圆周上，，，，则四边形的面积为___________.

【答案】12

【分析】设，由余弦定理可得，然后可得，然后可算出面积.

【详解】设，因为，

由余弦定理得，即.

由托勒密定理得，

所以.

.

故答案为：12

16．刍甍，中国古代算数中的一种几何形体，《九章算术》中记载：“刍甍者，下有袤有广，而上有袤无广.刍，草也.甍，屋盖也.”翻译为“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条棱.刍甍字面意思为茅草屋顶.”如图为一个刍甍的三视图，其中正视图为等腰梯形，侧视图为等腰三角形，则该茅草屋顶的面积为___________.

【答案】32

【解析】由三视图可知该刍甍是一个组合体，它由成一个直三棱柱和两个全等的四棱锥组成，根据三视图中的数据可得其体积.

【详解】如图：E，F在平面ABCD内的垂足分别为Q，G，则QG=FG=4，

H为AB的中点，则GH=2，于是FH=，

FA=.

点G在DA边上的垂足为P，

则AP=2.

FP=，

∴S△ABF=AB·FH=×4×2=4，

S梯形ADEF= (AD+EF)·FP=(8+4)×2=12，

所以茅草屋顶的面积为2×(4+12)=32.

故答案为：32

【点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响，对简单组合体三视图问题，先看俯视图确定底面的形状，根据正视图和侧视图，确定组合体的形状.

三、解答题

17．已知数列是递增的等差数列，，且是与的等比中项．

(1)求数列的通项公式；

(2)从下面两个条件中任选一个作答，多答按第一个给分．

①若，设数列的前项和为，求的取值范围；

②若，设数列的前项和为，求证．

【答案】(1)

(2)答案见解析

【分析】（1）由等差数列的通项公式和等比数列的性质列方程组求得和公差后可得通项公式；

（2）选①，用裂项相消法求得和，结合单调性可得范围；

选②，由错位相减法求得和后可得证不等式成立．

【详解】(1)∵是递增的等差数列，∴数列的公差，

由题意得：，解得：，，

∴．

(2)选①时，

∴

∵，∴

又∵单调递增，∴

∴

选②时，，

，

，

两式作差得：

∴

∵，∴，∴．

18．2022年北京冬奥会即第24届冬季奥林匹克运动会将在2022年2月4日至2月20日在北京和张家口举行．某研究机构为了解大学生对冰壶运动是否有兴趣，从某大学随机抽取了600人进行调查，经统计男生与女生的人数之比是11∶13，对冰壶运动有兴趣的人数占总数的，女生中有75人对冰壶运动没有兴趣．

(1)完成下面列联表，并判断是否有99.9％的把握认为对冰壶运动是否有兴趣与性别有关？

(2)按性别用分层抽样的方法从对冰壶运动有兴趣的学生中抽取8人，若从这8人中随机选出2人作为冰壶运动的宣传员，求选出的2人中至少有一个是女生的概率．

附：

【答案】(1)表格见解析，有

(2)

【分析】（1）根据题意，分别求得男生、女生有兴趣和无兴趣的人数，得到的列联表，利用公式求得观测值，结合附表，即可求解；

（2）根据题意分别求得抽到的男生人数、女生的人数，结合古典概型的概率计算公式，即可求解.

【详解】(1)解：由题意，从某大学随机抽取了600人进行调查，经统计男生与女生的人数之比是，

可得男生有人，女生有人，

又由冰壶运动有兴趣的人数占总数的，所以有人，没有兴趣的有人，

因为女生中有75人对冰壶运动没有兴趣，所以男生有兴趣的有人，无兴趣的有人，

女生有兴趣的有人，

可得如下列联表：

所以，

所以有99.9％的把握认为对冰壶运动是否有兴趣与性别有关．

(2)解：对冰壶运动有兴趣的一共有400人，

从中抽取8人，抽到的男生人数、女生人数分别为：（人），（人），

记3名男生分别是a，b，c，5名女生分别是A，B，C，D，E．

则从中选出2人的基本事件是：ab，ac，aA，aB，aC，aD，aE，bc，bA，bB，bC，bD，bE，cA，cB，cC，cD，cE，AB，AC，AD，AE，BC，BD，BE，CD，CE，DE，共28个，

选出的2人至少有一位是女生的事件有25个，

所以选出的2人至少有一位是女生的概率．

19．如图①，在菱形ABCD中，，，E为AD的中点，将折起至使，如图②所示.

(1)求证：平面平面；

(2)若P为上一点，且平面BPD.求三棱锥的体积.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）由条件可证明平面，再由面面垂直的判定定理求证即可；

（2）由线面平行的性质可得，再由平行线分线段成比例得出，根据三棱锥的体积公式求解即可.

【详解】(1)，，

，

又，，

，，，

，即，又

平面，又平面，

∴平面平面.

(2)连接CE，得平面平面，如图，

又平面BPD，

，

由知，

即，

，

，

即.

20．已知函数．

(1)若函数在上单调递增，求的取值范围；

(2)若，证明：当时，．

参考数据：，．

【答案】(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）求得导数，由题意转化为在上恒成立，设，利用导数求得函数的单调性与最小值，即可求解.

（2）由（1）知函数在递减，在递增，得到存在，使得，得出函数单调性和最小值，结合和二次函数的性质，即可求解.

【详解】(1)解：由题意，函数，可得，

因为函数在递增，所以恒成立，

即在上恒成立，

设，可得，

令，即，解得，

当时，；当时，，

故函数在递减，在递增，

故时，取得最小值，所以故，

故的范围是；

(2)证明：若，则，得，

由（1）知函数在递减，在递增，

又由，，，

则存在，使得，即，

当时，，当时，，

则函数在递减，在递增，

则当时，函数取最小值，

故当时，，

由，得，

则，

因为，

则，

故时，．

21．把抛物线沿轴向下平移得到抛物线.

(1)当时，过抛物线上一点作切线，交抛物线于，两点，求证：；

(2)抛物线上任意一点向抛物线作两条切线，从左至右切点分别为，.直线交从左至右分别为，两点.求证：与的面积相等.

【答案】(1)见解析

(2)见解析

【分析】（1）根据给定条件求出抛物线在点处切线方程，再将此切线与抛物线的方程联立，计算线段AB中点坐标即可得解.

（2）设出过点M的抛物线的切线方程，与抛物线的方程联立，借助韦达定理求出点C，D坐标，进而

求出直线CD方程，把直线CD与抛物线的方程联立，计算线段CD与EF的中点坐标推理作答.

【详解】(1)当时，，显然抛物线在点处切线斜率存在，设切线AB方程为，

由消去y并整理得：，则，解得，

于是得切线AB的方程为：，抛物线，，

由消去y并整理得：，显然，

设，则，线段的中点坐标为与切点P重合，即点P是线段AB中点，所以.

(2)显然过点M的抛物线的切线斜率存在，设此切线方程为：，且，

由消去y并整理得：，

，关于的方程，

于是得切线的斜率是方程的两个不等实根，分别令为，有，

切点C的横坐标是方程的等根，则点，

同理可得切点，则直线斜率为，

直线：，由消去y并整理得：

，即，

，

设直线CD与抛物线的交点，则，即线段中点横坐标为，

又线段的中点横坐标为，因此，线段与有相同中点，

由题意知，即，因此的底边与的底边相等，高都是点M到直线CD的距离，

所以与的面积相等，即.

【点睛】结论点睛：抛物线在点处的切线斜率；抛物线在点处的切线斜率.

22．在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为(γ为参数)，曲线的参数方程为(s为参数)．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知点A的极坐标为，直线l：()与交于点B，其中．

（1）求曲线的极坐标方程以及曲线的普通方程；

（2）过点A的直线m与交于M，N两点，若，且，求α的值．

【答案】（1）；()（2）.

【解析】（1）消去参数即可得曲线、的直角坐标方程，由极坐标方程与直角坐标方程转化公式即可得曲线的极坐标方程；

（2）设直线l的参数方程，进而可得直线m的参数方程，分别与、联立，可得M，N，B对应的参数，，的关系，代入计算即可得解.

【详解】（1）曲线的参数方程为，(γ为参数)，

曲线的普通方程为，即．

由，得曲线的极坐标方程为，

即曲线的极坐标方程为．

由曲线的参数方程，(s为参数),可得，

又，

故曲线的普通方程为()．

（2）A的极坐标为，故A的直角坐标为，

设l：(p为参数)，，

则直线m：(t为参数)，，

联立m：与的方程，

得,，

联立l：与的方程()，

得．

设M，N，B对应的参数分别为，，，

则，，

由可得，

，化简得即，

.

【点睛】本题考查了参数方程、直角坐标方程及极坐标方程之间的转化以及直线参数方程的应用，考查了逻辑推理能力与运算求解能力，属于中档题.

23．已知函数，函数，实数.

(1)当时，解不等式；

(2)令函数，对于给定的正实数a，方程有三个不同的实根､､，且，有恒成立，求实数的取值范围.

【答案】(1)

(2)当时，；当时，；当时，

【分析】（1）根据题意，去绝对值讨论，即可求解；

（2）根据题意，去绝对值转化为分段函数，结合图象交点，即可求解.

【详解】(1)根据题意，由，得.

当时，，即，解得；

当时，，即，解得.

综上所述，不等式的解集为.

(2)根据题意，得.

（i）当时，函数，

易知函数在上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增.

当时，直线与函数的图象有三个交点，

，，，

当时，，可知，

又，即恒成立；

①当时，即当时，令，解得或（舍），此时，，即；

②当时，即当时，令，可得（舍）或，此时，，即；

（ii）当时，函数，

函数在上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增.

当时，直线与函数的图象有三个交点，

，，，

由（1）可知，可知，又，即恒成立；

令，解得（舍）或，

此时，，即；

（iii）当时，函数，

函数在上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增.

当时，直线与函数的图象有三个交点，

，，，

同理可知，可知，又，即恒成立；

①当时，即当时，令，解得或，此时，；

②当时，即当时，令，可得或（舍），此时，.

综上所述，当时，；当时，；当时，.