2022年重庆市中考数学试卷（B卷）（含解析）

2022年重庆市中考数学试卷（B卷）

一、选择题（本大题共12小题，共48.0分）

1. 的相反数是

A.  B.  C.  D.

2. 下列北京冬奥会运动标识图案是轴对称图形的是

A.  B.
C.  D.

3. 如图，直线，直线与，相交，若，则的度数为

A.
B.
C.
D.

4. 如图是小颖到时的心跳速度变化图，在这一时段内心跳速度最快的时刻约为

A. 时 B. 时 C. 时 D. 时

5. 如图，与位似，点是它们的位似中心，且相似比为：，则与的周长之比是

A. ： B. ： C. ： D. ：

6. 把菱形按照如图所示的规律拼图案，其中第个图案中有个菱形，第个图案中有个菱形，第个图案中有个菱形，，按此规律排列下去，则第个图案中菱形的个数为

A.  B.  C.  D.

7. 估计的值在

A. 到之间 B. 到之间 C. 到之间 D. 到之间

8. 学校连续三年组织学生参加义务植树，第一年共植树棵，第三年共植树棵．设该校植树棵数的年平均增长率为，根据题意，下列方程正确的是

A.  B.
C.  D.

9. 如图，在正方形中，对角线、相交于点、分别为、上一点，且，连接，，若，则的度数为

A.
B.
C.
D.

10. 如图，是的直径，为上一点，过点的切线与的延长线交于点，若，则的长为

A.  B.  C.  D.

11. 关于的分式方程的解为正数，且关于的不等式组的解集为，则所有满足条件的整数的值之和是

A.  B.  C.  D.

12. 对多项式任意加括号后仍然只含减法运算并将所得式子化简，称之为“加算操作”，例如：，，，
    给出下列说法：
    至少存在一种“加算操作”，使其结果与原多项式相等；
    不存在任何“加算操作”，使其结果与原多项式之和为；
    所有的“加算操作”共有种不同的结果．
    以上说法中正确的个数为

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共4小题，共16.0分）

13. ______．
14. 在不透明的口袋中装有个红球，个白球，它们除颜色外无其他差别，从口袋中随机摸出一个球后，放回并摇匀，再随机摸出一个球，两次摸出的球都是红球的概率为______．
15. 如图，在矩形中，，，以为圆心，的长为半径画弧，交于点则图中阴影部分的面积为______结果保留

16. 特产专卖店销售桃片、米花糖、麻花三种特产，其中每包桃片的成本是麻花的倍，每包桃片、米花糖、麻花的售价分别比其成本高、、该店五月份销售桃片、米花糖、麻花的数量之比为：：，三种特产的总利润是总成本的，则每包米花糖与每包麻花的成本之比为______．

三、解答题（本大题共9小题，共86.0分）

17. 计算：
    ；
    ．
18. 我们知道，矩形的面积等于这个矩形的长乘宽，小明想用其验证一个底为，高为的三角形的面积公式为想法是：以为边作矩形，点在边上，再过点作的垂线，将其转化为证三角形全等，由全等图形面积相等来得到验证．按以上思路完成下面的作图与填空：
    证明：用直尺和圆规过点作的垂线交于点只保留作图痕迹
    在和中，
    ，
    ．
    ，
    ______．
    ，
    ______．
    又______，
    ≌．
    同理可得：______．
    ．

19. 在“世界读书日”到来之际，学校开展了课外阅读主题周活动，活动结束后，经初步统计，所有学生的课外阅读时长都不低于小时，但不足小时，从七，八年级中各随机抽取了名学生，对他们在活动期间课外阅读时长单位：小时进行整理、描述和分析阅读时长记为，，记为；，记为；，记为；以此类推，下面分别给出了抽取的学生课外阅读时长的部分信息，
    七年级抽取的学生课外阅读时长：
    ，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，
     

根据以上信息，解答下列问题：
填空：______，______，______．
该校七年级有名学生，估计七年级在主题周活动期间课外阅读时长在小时及以上的学生人数．
根据以上数据，你认为该校七，八年级学生在主题周活动中，哪个年级学生的阅读积极性更高？请说明理由．写出一条理由即可

20. 反比例函数的图象如图所示，一次函数的图象与的图象交于，两点．
    
    求一次函数的表达式，并在所给的平面直角坐标系中画出该函数的图象；
    观察图象，直接写出不等式的解集；
    一次函数的图象与轴交于点，连接，求的面积．
21. 为保障蔬菜基地种植用水，需要修建灌溉水渠．
    计划修建灌溉水渠米，甲施工队施工天后，增加施工人员，每天比原来多修建米，再施工天完成任务，求甲施工队增加人员后每天修建灌溉水渠多少米？
    因基地面积扩大，现还需修建另一条灌溉水渠米，为早日完成任务，决定派乙施工队与甲施工队同时开工合作修建这条水渠，直至完工．甲施工队按中增加人员后的修建速度进行施工．乙施工队修建米后，通过技术更新，每天比原来多修建，灌溉水渠完工时，两施工队修建的长度恰好相同．求乙施工队原来每天修建灌溉水渠多少米？
22. 湖中小岛上码头处一名游客突发疾病，需要救援．位于湖面点处的快艇和湖岸处的救援船接到通知后立刻同时出发前往救援．计划由快艇赶到码头接该游客，再沿方向行驶，与救援船相遇后将该游客转运到救援船上．已知在的北偏东方向上，在的北偏东方向上，且在的正南方向米处．
    求湖岸与码头的距离结果精确到米，参考数据：；
    救援船的平均速度为米分，快艇的平均速度为米分，在接到通知后，快艇能否在分钟内将该游客送上救援船？请说明理由．接送游客上下船的时间忽略不计

23. 对于一个各数位上的数字均不为的三位自然数，若能被它的各数位上的数字之和整除，则称是的“和倍数”．
    例如：，是的“和倍数”．
    又如：，不是“和倍数”．
    判断，是否是“和倍数”？说明理由；
    三位数是的“和倍数”，，，分别是数其中一个数位上的数字，且在，，中任选两个组成两位数，其中最大的两位数记为，最小的两位数记为，若为整数，求出满足条件的所有数．
24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，与轴交于点．
    求抛物线的函数表达式；
    点为直线上方抛物线上一动点，过点作轴于点，交于点，求的最大值及此时点的坐标；
    在的条件下，点与点关于抛物线的对称轴对称．将抛物线向右平移，使新抛物线的对称轴经过点点在新抛物线上，点在上，直接写出所有使得以点、、、为顶点的四边形是平行四边形的点的坐标，并把求其中一个点的坐标的过程写出来．

25. 在中，，，为的中点，，分别为，上任意一点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，．
    如图，点与点重合，且的延长线过点，若点为的中点，连接，求的长；
    如图，的延长线交于点，点在上，且，求证：；
    如图，为线段上一动点，为的中点，连接，为直线上一动点，连接，将沿翻折至所在平面内，得到，连接，直接写出线段的长度的最小值．

答案和解析

1.【答案】

【解析】解：的相反数是：，
故选：．
根据一个数的相反数就是在这个数前面添上“”号，求解即可．
本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“”号：一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，的相反数是不要把相反数的意义与倒数的意义混淆．
 

2.【答案】

【解析】解：不是轴对称图形，故此选项不合题意；
B.不是轴对称图形，故此选项不合题意；
C.是轴对称图形，故此选项符合题意；
D.不是轴对称图形，故此选项不合题意．
故选：．
根据轴对称图形的概念求解．
本题考查了轴对称图形，关键是掌握好轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
 

3.【答案】

【解析】解：，
，
，
，
故选：．
根据平行线的性质，可以得到，然后根据的度数，即可得到的度数．
本题考查平行线的性质，解答本题的关键是明确题意，利用平行线的性质解答．
 

4.【答案】

【解析】解：由图形可知，在这一时段内心跳速度最快的时刻约为时，
故选：．
直接由图形可得出结果．
本题主要考查了折线统计图的意义，理解横纵轴表示的意义是解题的关键．
 

5.【答案】

【解析】解：与位似，点是它们的位似中心，且相似比为：，
与的周长之比是：，
故选：．
根据两三角形位似，周长比等于相似比即可求解．
本题考查了位似三角形的性质，明确两三角形位似，周长比等于相似比是解题的关键．
 

6.【答案】

【解析】解：由图形知，第个图案中有个菱形，
第个图案中有个菱形，即，
第个图案中有个菱形即，

则第个图案中菱形有个，
第个图案中有个菱形，
故选：．
根据前面三个图案中菱形的个数，得出规律，第个图案中菱形有个，从而得出答案．
本题主要考查了图形的变换规律，归纳出第个图案中菱形的个数为，是解题的关键．，体现了从特殊到一般的数学思想．
 

7.【答案】

【解析】解：，
，
，
故选：．
用夹逼法估算无理数的大小即可得出答案．
本题考查了估算无理数的大小，无理数的估算常用夹逼法，用有理数夹逼无理数是解题的关键．
 

8.【答案】

【解析】解：根据题意得：，
故选：．
第三年的植树量第一年的植树量年平均增长率，把相关数值代入即可．
考查列一元二次方程解决实际问题，读懂题意，找到等量关系列方程是解决本题的关键．
 

9.【答案】

【解析】解：是正方形，
，．
，
为等腰直角三角形，
，
，
，
．
在和中，
，
≌．
，
，
是等腰直角三角形，
，
．
故选：．
利用正方形的对角线互相垂直平分且相等，等腰直角三角形的性质，三角形的内角和定理和全等三角形的判定与性质解答即可．
本题主要考查了正方形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形的内角和定理，熟练掌握正方形的性质是解题的关键．
 

10.【答案】

【解析】解：如图，连结，
是的切线，
，
，
，
，
，
设，
在中，，
，
，
，
，
，
在中，，
，
，
．
故选：．
连结，根据切线的性质得到，根据，得到，根据，得到，在中，根据三角形内角和定理求得，根据含度角的直角三角形的性质得到，在中，根据求出的半径即可得出答案．
本题考查了切线的性质，体现了方程思想，在中，根据三角形内角和定理求得是解题的关键．
 

11.【答案】

【解析】解：解分式方程得：，
且，
且，
且，
解不等式组得：，
不等式组的解集为，
，
，
且，
所有满足条件的整数的值之和，
故选：．
解分式方程得得出，结合题意及分式方程的意义求出且，解不等式组得出，结合题意得出，进而得出且，继而得出所有满足条件的整数的值之和，即可得出答案．
本题考查了分式方程的解，解一元一次不等式组，解一元一次不等式，一元一次不等式的整数解，正确求解分式方程，一元一次不等式组，一元一次不等式是解决问题的关键．
 

12.【答案】

【解析】解：如，，故符合题意；
的相反数为，不论怎么加括号都得不到这个代数式，故符合题意；
第种：结果与原多项式相等；
第种：；
第种：；
第种：；
第种：；
第种：；
第种：；
第种：；故符合题意；
正确的个数为，
故选：．
根据括号前是“”，添括号后，各项的符号都不改变判断；根据相反数判断；通过例举判断．
本题考查了整式的加减，解题的关键是注意可以添加个括号，也可以添加个括号．
 

13.【答案】

【解析】解：原式．
故答案为：．
根据绝对值的性质和零指数幂的性质计算可得答案．
本题考查实数的运算，熟练掌握实数的运算性质是解题关键．
 

14.【答案】

【解析】解：画树状图如下：

共有种等可能的结果，其中两次摸出的球都是红球的结果有种，
两次摸出的球都是红球的概率为，
故答案为：．
画树状图，共有种等可能的结果，其中两次摸出的球都是红球的结果有种，再由概率公式求解即可．
此题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

15.【答案】

【解析】解：以为圆心，的长为半径画弧，交于点，
，
在矩形中，，，，
，
，
，
，
阴影部分的面积：，
故答案为：
先根据锐角三角函数求出，再根据扇形面积公式求出阴影部分的面积．
本题考查有关扇形面积的相关计算、矩形的性质，掌握扇形面积公式和矩形的性质的应用，其中根据锐角三角函数求出角的度数是解题关键．
 

16.【答案】：

【解析】解：设该店五月份销售桃片、米花糖、麻花的数量分别为，，，每包麻花的成本为元，每包米花糖的成本为元，则每包桃片的成本是元，
由题意得：，
，
，
则每包米花糖与每包麻花的成本之比为：．
故答案为：：．
先根据比例设该店五月份销售桃片、米花糖、麻花的数量分别为，，，每包麻花的成本为元，每包米花糖的成本为元，则每包桃片的成本是元，由三种特产的总利润是总成本的列方程可得，从而解答此题．
本题考查三元高次方程的应用，解本题要理解题意，通过找出等量关系即可求解．
 

17.【答案】解：

；
原式

．

【解析】根据平方差公式、单项式乘多项式可以解答本题；
根据分式的加法和除法可以解答本题．
本题考查分式的混合运算、平方差公式和单项式乘多项式，解答本题的关键是明确它们各自的计算方法．
 

18.【答案】      ≌

【解析】证明：

，
．
，
，
，
，
，
在与中
，
≌．
同理可得：≌，
．
故答案为：，，，≌．
根据矩形的性质、垂直的定义得出，再根据，推出，进而证明≌，同理可得：≌，最后得出三角形的面积公式为．
本题主要考查了基本作图、全等三角形、矩形的判定与性质，掌握种基本作图，全等三角形、矩形的判定与性质的应用，其中全等的证明是解题关键．
 

19.【答案】   

【解析】解：七年级学生的课外阅读时长出现次数最多的是小时，因此七年级学生的课外阅读时长的众数是小时，即；
将八年级学生的课外阅读时长从小到大排列，处在中间位置的两个数的平均数为，因此中位数是小时，即；
，
故答案为：，，；
人，
答：七年级在主题周活动期间课外阅读时长在小时及以上的大约有人；
八年级参与的积极性更高，理由：八年级学生课外阅读时长的中位数，众数均比七年级的高．
根据众数的定义可求出七年级学生的课外阅读时长的众数，即的值；根据中位数的定义可求出八年级学生的课外阅读时长的中位数，即的值，根据频率可求出八年级学生的课外阅读时长在小时及以上所占百分比，即的值；
求出样本中七年级学生课外阅读时长在小时及以上的学生所占的百分比，即可估计总体中所占的百分比，进而求出相应人数；
由中位数、众数的比较得出结论．
本题考查中位数、众数、平均数以及样本估计总体，理解中位数、众数的定义是正确解答的前提．
 

20.【答案】解：，在反比例函数的图象上，
，
解得，，
，，
把，代入中得，
解得，
一次函数解析式为．
画出函数图象如图；

由图象可得当或时，直线在反比例函数图象下方，
的解集为或．
把代入得，
解得，
点坐标为，
．

【解析】将，两坐标先代入反比例函数求出，，然后由待定系数法求函数解析式．
根据直线在曲线下方时的取值范围求解．
由直线解析式求得点的坐标，然后根据三角形面积公式即可求解．
本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解题关键是掌握函数与方程及不等式的关系．
 

21.【答案】解：设甲施工队增加人员后每天修建灌溉水渠米，则原计划每天施工米，
由题意可得：，
解得，
答：甲施工队增加人员后每天修建灌溉水渠米；
设乙施工队原来每天修建灌溉水渠米，则技术更新后每天修建水渠米，
由题意可得：，
解得，
经检验，是原分式方程的解，
答：乙施工队原来每天修建灌溉水渠米．

【解析】根据题意可知：甲原来工作天的工作量后来天的工作量，可以列出相应的方程，然后求解即可；
根据题意可知：甲、乙施工的长度都是米，再根据题意可知，两个工程队施工天数相同，即可列出相应的分式方程，然后求解即可，注意分式方程要检验．
本题考查一元一次方程的应用、分式方程的应用，解答本题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的分式方程和一元一次方程．
 

22.【答案】解：如图，延长到，则于点，

根据题意可知：，米，，
，
米，
，
米，
米，
米
答：湖岸与码头的距离约为米；
设快艇在分钟内将该游客送上救援船，
救援船的平均速度为米分，快艇的平均速度为米分，
，
，
答：快艇能在分钟内将该游客送上救援船．

【解析】延长到，则于点，根据题意可得，米，，所以，然后根据含度角的直角三角形即可解决问题；
设快艇在分钟内将该游客送上救援船，根据救援船的平均速度为米分，快艇的平均速度为米分，列出方程，进而可以解决问题．
本题考查了解直角三角形的应用方向角问题，解决本题的关键是掌握方向角定义．
 

23.【答案】解：，
不是“和倍数”；
，
是的“和倍数”；
设，
由题意得：，，
，
，为整数，
，
，
，，，，
，，，，
当，时，舍，，
则或；
当，时，，
则或；
当，时，此种情况没有符合的值；
当，时，此种情况没有符合的值；
综上，满足条件的所有数为：或或或．

【解析】根据“和倍数”的定义依次判断即可；
设，根据“和倍数”的定义表示和，代入中，根据为整数可解答．
本题考查了新定义问题，根据新定义问题进行计算是解题关键．
 

24.【答案】解：抛物线与轴交于点，与轴交于点．
，
．
抛物线的函数表达式为；
，，
，，
由勾股定理得，，
，
，
∽，
：：：：，
，，
，
，，
：，
设，，，
，
，
开口向下，，
当时，的最大值为，此时；
由知，对称轴，
，
直线：，
抛物线向右平移个单位，
平移后抛物线解析式为，
设，，
与为对角线时，
，
，
，
与为对角线时，
，
，
，
与为对角线时，
，
，
，
综上：或或

【解析】将点、坐标分别代入抛物线解析式，解方程即可；
利用∽，得：：：：，则，设，，，用含的代数式表示出，利用二次函数的性质可得答案；
根据原来抛物线和新抛物线的对称轴知，抛物线向右平移个单位，则平移后抛物线解析式为，设，，分与为对角线或与为对角线或与为对角线，分别利用中点坐标公式可得方程，从而解决问题．
本题是二次函数综合题，主要考查了二次函数的图象与性质，待定系数法求函数解析式，相似三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质等知识，根据平行四边形的顶点坐标，利用中点坐标公式列方程是解题的关键，同时注意分类讨论．
 

25.【答案】解：如图，连接，
由旋转知，，，
为等腰直角三角形，
点是的中点，
，
点是的中点，
，
在中，，
，
；

证明：如图，
过点作交的延长线于，
，
由旋转知，，，
，
，
，点是的中点，
，
，
，
≌，
，，
，
，
，
，
，
，
≌，
，
，
，
，
，
≌，
，
，
，
；

解：点是的中点，
，
根据勾股定理得，，
由折叠直，，
点是以点为圆心，为半径的圆上，
由旋转知，，
点是以点为圆心，为半径的圆上，
的最小值为，
要最小，则最大，即最大，
点在上，
点在点或点时，最大，最大值为，
线段的长度的最小值．

【解析】连接，判断出为等腰直角三角形，进而判断出，进而得出，再求出，即可求出答案；
过点作交的延长线于，先判断出≌，得出，，进而判断出≌，即可得出结论；
先求出，再判断出点是以点为圆心，为半径的圆上，再判断出点是以点为圆心，为半径的圆上，进而得出最大时，最小，即可求出答案．
此题是几何变换综合题，主要考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质，作出辅助线构造出全等三角形是解本题的关键．