2022年四川省内江市市中区内江市第六中学中考数学一模试卷(word版含答案)

这是一份2022年四川省内江市市中区内江市第六中学中考数学一模试卷(word版含答案)，共32页。

2022年四川省内江六中中考数学一模试卷
一．选择题（每小题3分，共36分）
1．（3分）﹣的相反数是（　　）
A．﹣5 B．5 C．﹣ D．
2．（3分）我国在2020年10月开展了第七次人口普查，普查数据显示，我国2020年总人口达到14.1亿，将14.1亿用科学记数法表示为（　　）
A．14.1×107 B．14.1×108 C．1.41×109 D．1.41×1010
3．（3分）如图所示的几何体的主视图为（　　）

A． B． C． D．
4．（3分）下列计算正确的是（　　）
A．x2+x2＝x4 B．（x﹣y）2＝x2﹣y2
C．（x2y）3＝x6y D．（﹣x）2•x3＝x5
5．（3分）某校七年级1班50名同学在“森林草原防灭火”知识竞赛中的成绩如表所示：
成绩
60
70
80
90
100
人数
3
9
13
16
9
则这个班学生成绩的众数、中位数分别是（　　）
A．90，80 B．16，85 C．16，24.5 D．90，85
6．（3分）如图，在▱ABCD中，∠B＝60°，⊙C的半径为3，则图中阴影部分的面积是（　　）

A．π B．2π C．3π D．6π
7．（3分）若直角三角形的两边长分别是方程x2﹣7x+12＝0的两根，则该直角三角形的面积是（　　）
A．6 B．12 C．12或 D．6或
8．（3分）已知x＝2是分式方程+＝1的解，那么实数k的值为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
9．（3分）在平面直角坐标系中，将线段AB平移后得到线段A'B'，点A（2，1）的对应点A'的坐标为（﹣2，﹣3），则点B（﹣2，3）的对应点B'的坐标为（　　）
A．（6，1） B．（3，7） C．（﹣6，﹣1） D．（2，﹣1）
10．（3分）如图，已知圆柱底面的周长为4dm，圆柱高为2dm，在圆柱的侧面上，过点A和点C嵌有一圈金属丝，则这圈金属丝的周长最小为（　　）

A．4dm B．2dm C．2dm D．4dm
11．（3分）函数y＝kx+b的图象如图所示，则关于x的一元二次方程x2+bx+k﹣1＝0的根的情况是（　　）

A．没有实数根 B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根 D．无法确定
12．（3分）如图，在▱ABCD中，CD＝2AD，BE⊥AD于点E，F为DC的中点，连接EF、BF，下列结论：①∠ABC＝2∠ABF；②EF＝BF；③S四边形DEBC＝2S△EFB；④∠CFE＝3∠DEF，其中正确结论的个数共有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二．填空题（每小题5分，共20分）
13．（5分）已知＝＝，且a+b﹣2c＝6，则a的值为 　 　．
14．（5分）分解因式：3a3﹣27ab2＝　 　．
15．（5分）已知x1，x2是一元二次方程x2﹣4x﹣7＝0的两个实数根，则x12+4x1x2+x22的值是　 　．
16．（5分）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，有下列结论：①abc＜0；②a+c＞b；③3a+c＜0；④a+b＞m（am+b）（其中m≠1），其中正确的结论有　 　．

三．解答题（共44分）
17．（7分）计算：6sin45°﹣|1﹣|﹣×（π﹣2021）0﹣（）﹣2．
18．（9分）在一次数学课外实践活动中，小明所在的学习小组从综合楼顶部B处测得办公楼底部D处的俯角是53°，从综合楼底部A处测得办公楼顶部C处的仰角恰好是30°，综合楼高24米．请你帮小明求出办公楼的高度．（结果精确到0.1，参考数据tan37°≈0.75，tan53°≈1.33，≈1.73）

19．（9分）如图，在矩形ABCD中，点E、F分别是边AB、CD的中点．求证：DE＝BF．

20．（10分）随着手机的日益普及，学生使用手机给学校管理和学生发展带来诸多不利影响．为了保护学生视力，防止学生沉迷网络和游戏，让学生在学校专心学习，促进学生身心健康发展，教育部办公厅于2021年1月15日颁发了《教育部办公厅关于加强中小学生手机管理工作的通知》．为贯彻《通知》精神，某学校团委组织了“我与手机说再见”为主题的演讲比赛，根据参赛同学的得分情况绘制了如图所示的两幅不完整的统计图（其中A表示“一等奖”，B表示“二等奖”，C表示“三等奖”，D表示“优秀奖”）．

请你根据统计图中所提供的信息解答下列问题：
（1）获奖总人数为　 　人，m＝　 　；
（2）请将条形统计图补充完整；
（3）学校将从获得一等奖的4名同学（其中有一名男生，三名女生）中随机抽取两名参加全市的比赛，请利用树状图或列表法求抽取同学中恰有一名男生和一名女生的概率．
21．（9分）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝x+b的图象经过点A（﹣2，0），与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于B（a，4）．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）设M是直线AB上一点，过M作MN∥x轴，交反比例函数y＝（x＞0）的图象于点N，若A，O，M，N为顶点的四边形为平行四边形，求点M的坐标．

四、填空题（每小题6分，共24分）
22．（6分）已知a＝﹣1，则2a3+7a2﹣2a﹣12的值等于 　 　．
23．（6分）如图，我们把一个半圆与抛物线的一部分围成的封闭图形称为“果圆”．已知点A、B、C、D分别是“果圆”与坐标轴的交点，抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3，AB为半圆的直径，则这个“果圆”被y轴截得的弦CD的长为　 　．

24．（6分）已知4（x﹣1008）2+（2021﹣2x）2＝8，求（x﹣1008）（2021﹣2x）的值为 　 　．
25．（6分）如图，在菱形ABCD中，tanA＝，M，N分别在边AD，BC上，将四边形AMNB沿MN翻折，使AB的对应线段EF经过顶点D，当EF⊥AD时，的值为　 　．

五、解答题（每小题12分，共36分）
26．（12分）在四边形ABCD中，∠B+∠D＝180°，对角线AC平分∠BAD．
（1）如图1，若∠DAB＝120°，且∠B＝90°，求证：AD+AB＝AC；
（2）如图2，若将（1）中的条件“∠B＝90°”去掉，（1）中的结论是否成立？如果成立，请证明这个结论．
（3）如图3，若∠DAB＝90°，请直接写出AD、AB与对角线AC的数量关系．

27．（12分）如图，在⊙O中，直径AB经过弦CD的中点E，点M在OD上，AM的延长线交⊙O于点G，交过D的直线于F，∠1＝∠2，连接BD与CG交于点N．
（1）求证：DF是⊙O的切线；
（2）若点M是OD的中点，⊙O的半径为3，tan∠BOD＝2，求BN的长．

28．（12分）如图，在直角坐标系中，O是坐标原点，点A在y轴正半轴上，二次函数y＝ax2+x+c的图象F交x轴于B、C两点，交y轴于M点，其中B（﹣3，0），M（0，﹣1）．已知AM＝BC．
（1）求二次函数的解析式；
（2）证明：在抛物线F上存在点D，使A、B、C、D四点连接而成的四边形恰好是平行四边形，并请求出直线BD的解析式；
（3）在（2）的条件下，设直线l过D且l⊥BD，分别交直线BA、BC于不同的P、Q两点，AC、BD相交于N，求+的值；


2022年四川省内江六中中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（每小题3分，共36分）
1．（3分）﹣的相反数是（　　）
A．﹣5 B．5 C．﹣ D．
【分析】只有符号不同的两个数叫做互为相反数．
【解答】解：﹣的相反数是．
故选：D．
【点评】本题主要考查的是相反数的定义，熟练掌握相反数的定义是解题的关键．
2．（3分）我国在2020年10月开展了第七次人口普查，普查数据显示，我国2020年总人口达到14.1亿，将14.1亿用科学记数法表示为（　　）
A．14.1×107 B．14.1×108 C．1.41×109 D．1.41×1010
【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，且n比原来的整数位数少1，据此判断即可．
【解答】解：14.1亿＝1410000000＝1.41×109．
故选：C．
【点评】此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，确定a与n的值是解题的关键．
3．（3分）如图所示的几何体的主视图为（　　）

A． B． C． D．
【分析】利用主视图的定义，即从几何体的正面观察得出视图即可．
【解答】解：从几何体的正面看，是一个矩形，矩形的中间有一条纵向的实线．
故选：D．
【点评】此题主要考查了简单几何体的三视图，正确把握观察角度是解题关键．
4．（3分）下列计算正确的是（　　）
A．x2+x2＝x4 B．（x﹣y）2＝x2﹣y2
C．（x2y）3＝x6y D．（﹣x）2•x3＝x5
【分析】根据合并同类项法则、完全平方公式、积的乘方法则、同底数幂的乘法法则计算，判断即可．
【解答】解：x2+x2＝2x2，A错误；
（x﹣y）2＝x2﹣2xy+y2，B错误；
（x2y）3＝x6y3，C错误；
（﹣x）2•x3＝x2•x3＝x5，D正确；
故选：D．
【点评】本题考查的是合并同类项、完全平方公式、积的乘方、同底数幂的乘法，掌握它们的运算法则是解题的关键．
5．（3分）某校七年级1班50名同学在“森林草原防灭火”知识竞赛中的成绩如表所示：
成绩
60
70
80
90
100
人数
3
9
13
16
9
则这个班学生成绩的众数、中位数分别是（　　）
A．90，80 B．16，85 C．16，24.5 D．90，85
【分析】众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个；中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数．
【解答】解：90出现的次数最多，众数为90．
这组数据一共有50个，已经按大小顺序排列，第25和第26个数分别是80、90，所以中位数为（80+90）÷2＝85．
故选：D．
【点评】本题属于基础题，考查了确定一组数据的中位数和众数的能力，要明确定义，一些学生往往对这个概念掌握不清楚，计算方法不明确而误选其它选项，注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数个和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求，如果是偶数个则找中间两个数的平均数．
6．（3分）如图，在▱ABCD中，∠B＝60°，⊙C的半径为3，则图中阴影部分的面积是（　　）

A．π B．2π C．3π D．6π
【分析】根据平行四边形的性质可以求得∠C的度数，然后根据扇形面积公式即可求得阴影部分的面积．
【解答】解：∵在▱ABCD中，∠B＝60°，⊙C的半径为3，
∴∠C＝120°，
∴图中阴影部分的面积是：＝3π，
故选：C．
【点评】本题考查扇形面积的计算、平行四边形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用扇形面积的计算公式解答．
7．（3分）若直角三角形的两边长分别是方程x2﹣7x+12＝0的两根，则该直角三角形的面积是（　　）
A．6 B．12 C．12或 D．6或
【分析】先解出方程x2﹣7x+12＝0的两个根为3和4，再分长是4的边是直角边和斜边两种情况进行讨论，然后根据直角三角形的面积公式即可求解．
【解答】解：∵x2﹣7x+12＝0，
∴x＝3或x＝4．
①当长是4的边是直角边时，该直角三角形的面积是×3×4＝6；
②当长是4的边是斜边时，第三边是＝，该直角三角形的面积是×3×＝．
故选：D．
【点评】本题考查了一元二次方程的解法，三角形的面积，正确求解方程的两根，能够分两种情况进行讨论是解题的关键．
8．（3分）已知x＝2是分式方程+＝1的解，那么实数k的值为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
【分析】把x＝2代入分式方程计算即可求出k的值．
【解答】解：把x＝2代入分式方程得：﹣1＝1，
解得：k＝4．
故选：B．
【点评】此题考查了分式方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．
9．（3分）在平面直角坐标系中，将线段AB平移后得到线段A'B'，点A（2，1）的对应点A'的坐标为（﹣2，﹣3），则点B（﹣2，3）的对应点B'的坐标为（　　）
A．（6，1） B．（3，7） C．（﹣6，﹣1） D．（2，﹣1）
【分析】根据点A到A′确定出平移规律，再根据平移规律列式计算即可得到点B′的坐标．
【解答】解：∵A（2，1）平移后得到点A′的坐标为（﹣2，﹣3），
∴向下平移了4个单位，向左平移了4个单位，
∴B（﹣2，3）的对应点B'的坐标为（﹣2﹣4，3﹣4），
即（﹣6，﹣1）．
故选：C．
【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣平移，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减，先确定出平移规律是解题的关键．
10．（3分）如图，已知圆柱底面的周长为4dm，圆柱高为2dm，在圆柱的侧面上，过点A和点C嵌有一圈金属丝，则这圈金属丝的周长最小为（　　）

A．4dm B．2dm C．2dm D．4dm
【分析】要求丝线的长，需将圆柱的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果，在求线段长时，根据勾股定理计算即可．
【解答】解：如图，把圆柱的侧面展开，得到矩形，则这圈金属丝的周长最小为2AC的长度．
∵圆柱底面的周长为4dm，圆柱高为2dm，
∴AB＝2dm，BC＝BC′＝2dm，
∴AC2＝22+22＝4+4＝8，
∴AC＝2dm，
∴这圈金属丝的周长最小为2AC＝4dm．
故选：A．

【点评】本题考查了平面展开﹣最短路径问题，圆柱的侧面展开图是一个矩形，此矩形的长等于圆柱底面周长，高等于圆柱的高，本题就是把圆柱的侧面展开成矩形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决．
11．（3分）函数y＝kx+b的图象如图所示，则关于x的一元二次方程x2+bx+k﹣1＝0的根的情况是（　　）

A．没有实数根 B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根 D．无法确定
【分析】先利用一次函数的性质得k＜0，b＜0，再计算判别式的值得到Δ＝b2﹣4（k﹣1），于是可判断Δ＞0，然后根据判别式的意义判断方程根的情况．
【解答】解：根据图象可得k＜0，b＜0，
所以b2＞0，﹣4k＞0，
因为Δ＝b2﹣4（k﹣1）＝b2﹣4k+4＞0，
所以Δ＞0，
所以方程有两个不相等的实数根．
故选：C．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．也考查了一次函数图象．
12．（3分）如图，在▱ABCD中，CD＝2AD，BE⊥AD于点E，F为DC的中点，连接EF、BF，下列结论：①∠ABC＝2∠ABF；②EF＝BF；③S四边形DEBC＝2S△EFB；④∠CFE＝3∠DEF，其中正确结论的个数共有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】如图延长EF交BC的延长线于G，取AB的中点H连接FH．想办法证明EF＝FG，BE⊥BG，四边形BCFH是菱形即可解决问题；
【解答】解：如图延长EF交BC的延长线于G，取AB的中点H连接FH．

∵CD＝2AD，DF＝FC，
∴CF＝CB，
∴∠CFB＝∠CBF，
∵CD∥AB，
∴∠CFB＝∠FBH，
∴∠CBF＝∠FBH，
∴∠ABC＝2∠ABF．故①正确，
∵DE∥CG，
∴∠D＝∠FCG，
∵DF＝FC，∠DFE＝∠CFG，
∴△DFE≌△CFG（ASA），
∴FE＝FG，
∵BE⊥AD，
∴∠AEB＝90°，
∵AD∥BC，
∴∠AEB＝∠EBG＝90°，
∴BF＝EF＝FG，故②正确，
∵S△DFE＝S△CFG，
∴S四边形DEBC＝S△EBG＝2S△BEF，故③正确，
∵AH＝HB，DF＝CF，AB＝CD，
∴CF＝BH，∵CF∥BH，
∴四边形BCFH是平行四边形，
∵CF＝BC，
∴四边形BCFH是菱形，
∴∠BFC＝∠BFH，
∵FE＝FB，FH∥AD，BE⊥AD，
∴FH⊥BE，
∴∠BFH＝∠EFH＝∠DEF，
∴∠EFC＝3∠DEF，故④正确，
故选：D．
【点评】本题考查平行四边形的性质和判定、菱形的判定和性质、直角三角形斜边中线的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题．
二．填空题（每小题5分，共20分）
13．（5分）已知＝＝，且a+b﹣2c＝6，则a的值为 　12　．
【分析】直接利用已知比例式假设出a，b，c的值，进而利用a+b﹣2c＝6，得出答案．
【解答】解：∵＝＝，
∴设a＝6x，b＝5x，c＝4x，
∵a+b﹣2c＝6，
∴6x+5x﹣8x＝6，
解得：x＝2，
故a＝12．
故答案为：12．
【点评】此题主要考查了比例的性质，正确表示出各数是解题关键．
14．（5分）分解因式：3a3﹣27ab2＝　3a（a+3b）（a﹣3b）　．
【分析】先提取公因式，再根据平方差公式因式分解即可．
【解答】解：原式＝3a（a2﹣9b2）
＝3a（a+3b）（a﹣3b），
故答案为：3a（a+3b）（a﹣3b）．
【点评】本题考查了提公因式法和平方差公式，掌握a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）是解题的关键．
15．（5分）已知x1，x2是一元二次方程x2﹣4x﹣7＝0的两个实数根，则x12+4x1x2+x22的值是　2　．
【分析】根据根与系数的关系求解．
【解答】解：根据题意得x1+x2＝4，x1x2＝﹣7
所以，x12+4x1x2+x22＝（x1+x2）2+2x1x2＝16﹣14＝2
故答案为2．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与系数的关系：若方程两个为x1，x2，则x1+x2＝﹣，x1•x2＝．
16．（5分）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，有下列结论：①abc＜0；②a+c＞b；③3a+c＜0；④a+b＞m（am+b）（其中m≠1），其中正确的结论有　①③④　．

【分析】由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【解答】解：①由图象可知：a＜0，c＞0，
∵﹣＝1，
∴b＝﹣2a＞0，
∴abc＜0，故此选项正确；
②当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜0，故a+c＜b，错误；
③当x＝3时，y＝9a+3b+c＜0，∴9a﹣6a+c＜0，得3a+c＜0，故此选项正确；
④当x＝1时，y的值最大．此时，y＝a+b+c，
而当x＝m时，y＝am2+bm+c，
所以a+b+c＞am2+bm+c，
故a+b＞am2+bm，即a+b＞m（am+b），故此选项正确．
故①③④正确．
故答案为：①③④．
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象为一条抛物线，当a＜0，抛物线的开口向下，当x＝﹣时，函数值最大；抛物线与y轴的交点坐标为（0，c）．
三．解答题（共44分）
17．（7分）计算：6sin45°﹣|1﹣|﹣×（π﹣2021）0﹣（）﹣2．
【分析】先分别化简绝对值，二次根式，负整数指数幂，零指数幂，代入特殊角三角函数，然后再计算．
【解答】解：原式＝6×﹣（﹣1）﹣2×1﹣4
＝3﹣+1﹣2﹣4
＝﹣3．
【点评】本题考查实数的混合运算，理解a0＝1（a≠0），a﹣p＝（a≠0），熟记特殊角三角函数值是解题关键．
18．（9分）在一次数学课外实践活动中，小明所在的学习小组从综合楼顶部B处测得办公楼底部D处的俯角是53°，从综合楼底部A处测得办公楼顶部C处的仰角恰好是30°，综合楼高24米．请你帮小明求出办公楼的高度．（结果精确到0.1，参考数据tan37°≈0.75，tan53°≈1.33，≈1.73）

【分析】由题意可知AB＝24米，∠BDA＝53°，因为tan∠BDA＝，可求出AD，又由tan30°＝，可求出CD，即得到答案．
【解答】解：由题意可知AB＝24米，∠BDA＝53°，
∴tan∠BDA＝＝≈1.33，
∴AD＝≈18.05（米）．
∵tan∠CAD＝tan30°＝＝＝，
∴CD＝18.05×≈10.4（米）．
故办公楼的高度约为10.4米．
【点评】本题考查的是解直角三角形的实际应用—仰角俯角问题，掌握仰角和俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是本题的解题关键．
19．（9分）如图，在矩形ABCD中，点E、F分别是边AB、CD的中点．求证：DE＝BF．

【分析】根据矩形的性质和已知证明DF＝BE，AB∥CD，得到四边形DEBF是平行四边形，根据平行四边形的性质得到答案．
【解答】证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，AB＝CD，又E、F分别是边AB、CD的中点，
∴DF＝BE，又AB∥CD，
∴四边形DEBF是平行四边形，
∴DE＝BF．
【点评】本题考查的是矩形的性质、平行四边形的判定和性质，掌握相关的判定定理和性质定理是解题的关键．
20．（10分）随着手机的日益普及，学生使用手机给学校管理和学生发展带来诸多不利影响．为了保护学生视力，防止学生沉迷网络和游戏，让学生在学校专心学习，促进学生身心健康发展，教育部办公厅于2021年1月15日颁发了《教育部办公厅关于加强中小学生手机管理工作的通知》．为贯彻《通知》精神，某学校团委组织了“我与手机说再见”为主题的演讲比赛，根据参赛同学的得分情况绘制了如图所示的两幅不完整的统计图（其中A表示“一等奖”，B表示“二等奖”，C表示“三等奖”，D表示“优秀奖”）．

请你根据统计图中所提供的信息解答下列问题：
（1）获奖总人数为　40　人，m＝　30　；
（2）请将条形统计图补充完整；
（3）学校将从获得一等奖的4名同学（其中有一名男生，三名女生）中随机抽取两名参加全市的比赛，请利用树状图或列表法求抽取同学中恰有一名男生和一名女生的概率．
【分析】（1）用“二等奖”人数除以它所占的百分比得到获奖总人数，然后计算“三等奖”人数所占的百分比得到m的值；
（2）利用“三等奖”人数为12补全条形统计图；
（3）画树状图展示所有12种等可能的结果，找出抽取同学中恰有一名男生和一名女生的结果数，然后根据概率公式求解。
【解答】解：（1）获奖总人数为8÷20%＝40（人），
m%＝×100%＝30%，
即m＝30；
故答案为40；30；
（2）“三等奖”人数为40﹣4﹣8﹣16＝12（人），
条形统计图补充为：

（3）画树状图为：

共有12种等可能的结果，抽取同学中恰有一名男生和一名女生的结果数为6，
所以抽取同学中恰有一名男生和一名女生的概率＝＝。
【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率。也考查了统计图。
21．（9分）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝x+b的图象经过点A（﹣2，0），与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于B（a，4）．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）设M是直线AB上一点，过M作MN∥x轴，交反比例函数y＝（x＞0）的图象于点N，若A，O，M，N为顶点的四边形为平行四边形，求点M的坐标．

【分析】（1）根据一次函数y＝x+b的图象经过点A（﹣2，0），可以求得b的值，从而可以解答本题；
（2）根据平行四边形的性质和题意，可以求得点M的坐标，注意点M的横坐标大于0．
【解答】解：（1）∵一次函数y＝x+b的图象经过点A（﹣2，0），
∴0＝﹣2+b，得b＝2，
∴一次函数的解析式为y＝x+2，
∵一次函数的解析式为y＝x+2与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于B（a，4），
∴4＝a+2，得a＝2，
∴4＝，得k＝8，
即反比例函数解析式为：y＝（x＞0）；
（2）∵点A（﹣2，0），
∴OA＝2，
设点M（m﹣2，m），点N（，m），
当MN∥AO且MN＝AO时，四边形AOMN是平行四边形，
||＝2，
解得，m＝2或m＝+2，
∴点M的坐标为（﹣2，）或（，2+2）．
【点评】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
四、填空题（每小题6分，共24分）
22．（6分）已知a＝﹣1，则2a3+7a2﹣2a﹣12的值等于 　0　．
【分析】将a＝﹣1转化为（a+1）2＝5，再进一步转化a2+2a＝4
将2a3+7a2﹣2a﹣12转化为2a3+4a2+2a+3a2﹣4a﹣12，对前三项提取公因式2a，运用完全平方公式变为2a（a+1）2+3a2﹣4a﹣12
此时将（a+1）2＝5代入上式，变为3a2+6a﹣12，再对前两项提取公因数2，变为3（a2+2a）﹣12
此时将a2+2a＝4代入上式．最终问题得以解决．
【解答】解：由已知得（a+1）2＝5，所以a2+2a＝4
则原式＝2a3+4a2+2a+3a2﹣4a﹣12
＝2a（a2+2a+1）+3a2﹣4a﹣12
＝2a（a+1）2+3a2﹣4a﹣12
＝2a×5+3a2﹣4a﹣12
＝3a2+6a﹣12
＝3（a2+2a）﹣12
＝3×4﹣12
＝0
故答案0
【点评】注意解题中的整体代入思想，以及完全平方公式、提取公因式（公因数）的灵活运用．
23．（6分）如图，我们把一个半圆与抛物线的一部分围成的封闭图形称为“果圆”．已知点A、B、C、D分别是“果圆”与坐标轴的交点，抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3，AB为半圆的直径，则这个“果圆”被y轴截得的弦CD的长为　3+　．

【分析】连接AC，BC，有抛物线的解析式可求出A，B，D的坐标，进而求出AO，BO，DO的长，在直角三角形ACB中，利用射影定理可求出CO的长，进而可求出CD的长．
【解答】解：连接AC，BC，
∵抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3，
∴点D的坐标为（0，﹣3），
∴OD的长为3，
设y＝0，则0＝x2﹣2x﹣3，
解得：x＝﹣1或3，
∴A（﹣1，0），B（3，0）
∴AO＝1，BO＝3，
∵AB为半圆的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵CO⊥AB，
∴CO2＝AO•BO＝3，
∴CO＝，
∴CD＝CO+OD＝3+，
故答案为：3+．

【点评】本题是二次函数综合题型，主要考查了抛物线与坐标轴的交点问题、解一元二次方程、圆周角定理、射影定理，读懂题目信息，理解“果圆”的定义是解题的关键．
24．（6分）已知4（x﹣1008）2+（2021﹣2x）2＝8，求（x﹣1008）（2021﹣2x）的值为 　　．
【分析】设2（x﹣1008）＝a，2021﹣2x＝b，计算a+b＝5，根据完全平方公式可得（a+b）2＝25，将a和b换成关于x的多项式并结合已知可得结论．
【解答】解：设2（x﹣1008）＝a，2021﹣2x＝b，
∴a+b＝2x﹣2016+2021﹣2x＝5，
∴（a+b）2＝25，
即4（x﹣1008）2+2•2（x﹣1008）（2021﹣2x）+（2021﹣2x）2＝25，
∵4（x﹣1008）2+（2021﹣2x）2＝8，
∴8+4（x﹣1008）（2021﹣2x）＝25，
∴（x﹣1008）（2021﹣2x）＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了多项式乘多项式和完全平方公式，关键是熟练掌握计算法则正确进行计算．
25．（6分）如图，在菱形ABCD中，tanA＝，M，N分别在边AD，BC上，将四边形AMNB沿MN翻折，使AB的对应线段EF经过顶点D，当EF⊥AD时，的值为　　．

【分析】首先延长NF与DC交于点H，进而利用翻折变换的性质得出NH⊥DC，再利用边角关系得出BN，CN的长进而得出答案．
【解答】解：延长NF与DC交于点H，
∵∠ADF＝90°，
∴∠A+∠FDH＝90°，
∵∠DFN+∠DFH＝180°，∠A+∠B＝180°，∠B＝∠DFN，
∴∠A＝∠DFH，
∴∠FDH+∠DFH＝90°，
∴NH⊥DC，
设DM＝4k，DE＝3k，EM＝5k，
∴AD＝9k＝DC，DF＝6k，
∵tanA＝tan∠DFH＝，
则sin∠DFH＝，
∴DH＝DF＝k，
∴CH＝9k﹣k＝k，
∵cosC＝cosA＝＝，
∴CN＝CH＝7k，
∴BN＝2k，
∴＝．

【点评】此题主要考查了翻折变换的性质以及解直角三角形，正确表示出CN的长是解题关键．
五、解答题（每小题12分，共36分）
26．（12分）在四边形ABCD中，∠B+∠D＝180°，对角线AC平分∠BAD．
（1）如图1，若∠DAB＝120°，且∠B＝90°，求证：AD+AB＝AC；
（2）如图2，若将（1）中的条件“∠B＝90°”去掉，（1）中的结论是否成立？如果成立，请证明这个结论．
（3）如图3，若∠DAB＝90°，请直接写出AD、AB与对角线AC的数量关系．

【分析】（1）由直角三角形的性质得出AD＝AC，AB＝AC即可解决问题；
（2）以C为顶点，AC为一边作∠ACE＝60°，∠ACE的另一边交AB延长线于点E，只要证明△CDA≌△CBE即可解决问题；
（3）过点C作CE⊥AC交AB的延长线于点E，只要证明△ACE是等腰直角三角形，△CDA≌△CBE即可解决问题．
【解答】（1）证明：在四边形ABCD中，∠D+∠B＝180°，∠B＝90°，
∴∠D＝90°，
∵∠DAB＝120°，AC平分∠DAB，
∴∠DAC＝∠BAC＝60°，
∵∠B＝90°，
∴∠ACB＝30°，
∴AB＝AC，
同理AD＝AC．
∴AD+AB＝AC；
（2）解：（1）中的结论成立，理由如下：
以C为顶点，AC为一边作∠ACE＝60°，∠ACE的另一边交AB延长线于点E，
∵∠BAC＝60°，
∴△AEC为等边三角形，
∴AC＝AE＝CE，
∵∠D+∠ABC＝180°，∠DAB＝120°，
∴∠DCB＝60°，
∴∠DCA＝∠BCE，
∵∠D+∠ABC＝180°，∠ABC+∠EBC＝180°，
∴∠D＝∠CBE，
在△CDA和△CBE中，，
∴△CDA≌△CEB（AAS），
∴AD＝BE，
∴AD+AB＝AC；
（3）解：结论：AD+AB＝AC．理由如下：
过点C作CE⊥AC交AB的延长线于点E，
∵∠D+∠ABC＝180°，∠DAB＝90°，
∴∠DCB＝90°，
∵∠ACE＝90°，
∴∠DCA＝∠BCE，
又∵AC平分∠DAB，
∴∠CAB＝45°，
∴∠E＝45°．
∴AC＝CE．
又∵∠D+∠ABC＝180°，∠CBE+∠ABC＝180°，
∴∠D＝∠CBE，
在△CDA和△CBE中，，
∴△CDA≌△CBE（AAS），
∴AD＝BE，
∴AD+AB＝AE．
在Rt△ACE中，∠CAB＝45°，
∴△ACE是等腰直角三角形，
∴AE＝AC，
∴AD+AB＝AC．


【点评】本题考查四边形综合题、等边三角形的性质、等腰直角三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
27．（12分）如图，在⊙O中，直径AB经过弦CD的中点E，点M在OD上，AM的延长线交⊙O于点G，交过D的直线于F，∠1＝∠2，连接BD与CG交于点N．
（1）求证：DF是⊙O的切线；
（2）若点M是OD的中点，⊙O的半径为3，tan∠BOD＝2，求BN的长．

【分析】（1）根据切线的判定定理得出∠1+∠BDO＝90°，即可得出答案；
（2）利用已知得出∠3＝∠2，∠4＝∠C，再利用相似三角形的判定方法得出即可；根据已知得出OE的长，进而利用勾股定理得出ED，AD，BD的长，即可得出CD，利用相似三角形的性质得出NB的长即可．
【解答】（1）证明：∵直径AB经过弦CD的中点E，
∴AB⊥CD，＝，
∴∠BOD＝2∠2．
∵∠1＝∠2，∠BOD+∠ODE＝90°，
∴∠ODE+∠1+∠2＝90°，
∴∠ODF＝90°，
∴DF是⊙O的切线；
（2）解：∵AB是⊙O直径，
∴∠ADB＝∠FDO＝90°，
∴∠ADB﹣∠BDO＝∠FDO﹣∠BDO，
即∠3＝∠1，
∴∠3＝∠2，
∵∠4＝∠C，
∴△ADM∽△CDN；
∵⊙O的半径为3，即AO＝DO＝BO＝3，
在Rt△DOE中，tan∠BOD＝2，cos∠BOD＝，
∴OE＝DO•cos∠BOD＝3×＝1，
由此可得：BE＝2，AE＝4，由勾股定理可得：
DE＝＝2，
AD＝＝2，
BD＝＝2，
∵AB是⊙O直径，AB⊥CD，
∴由垂径定理得：CD＝2DE＝4，
∵△ADM∽△CDN，
∴＝，
∵点M是DO的中点，DM＝AO＝×3＝，
∴DN＝＝＝，
∴BN＝BD﹣DN＝2﹣＝．

【点评】此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及切线的判定和勾股定理的应用等知识，根据已知得出△ADM∽△CDN是解题关键．
28．（12分）如图，在直角坐标系中，O是坐标原点，点A在y轴正半轴上，二次函数y＝ax2+x+c的图象F交x轴于B、C两点，交y轴于M点，其中B（﹣3，0），M（0，﹣1）．已知AM＝BC．
（1）求二次函数的解析式；
（2）证明：在抛物线F上存在点D，使A、B、C、D四点连接而成的四边形恰好是平行四边形，并请求出直线BD的解析式；
（3）在（2）的条件下，设直线l过D且l⊥BD，分别交直线BA、BC于不同的P、Q两点，AC、BD相交于N，求+的值；

【分析】（1）利用待定系数法求出二次函数的解析式；
（2）首先求出D点的坐标，可得AD＝BC且AD∥BC，所以四边形ABCD是平行四边形；再根据B、D点的坐标，利用待定系数法求出直线BD的解析式；
（3）先判断出AC∥直线l，从而根据平行线间的比例线段关系，求出BP、CQ的长度，计算出＝．
【解答】解：（1）∵二次函数y＝ax2+x+c的图象经过点B（﹣3，0），M（0，﹣1），
∴，
解得a＝，c＝﹣1．
∴二次函数的解析式为：y＝x2+x﹣1．

（2）由二次函数的解析式为：y＝x2+x﹣1，
令y＝0，得x2+x﹣1＝0，
解得x1＝﹣3，x2＝2，
∴C（2，0），
∴BC＝5；
令x＝0，得y＝﹣1，
∴M（0，﹣1），
∴OM＝1．
又AM＝BC，
∴OA＝AM﹣OM＝4，
∴A（0，4）．
设AD∥x轴，交抛物线于点D，
则yD＝x2+x﹣1＝OA＝4，
解得x1＝5，x2＝﹣6（位于第二象限，舍去），
∴D点坐标为（5，4）．
∴AD＝BC＝5，
又∵AD∥BC，
∴四边形ABCD为平行四边形．
即在抛物线F上存在点D，使A、B、C、D四点连接而成的四边形恰好是平行四边形．
设直线BD解析式为：y＝kx+b，
∵B（﹣3，0），D（5，4），
∴，
解得：k＝，b＝，
∴直线BD解析式为：y＝x+．

（3）在Rt△AOB中，AB＝＝5，
又AD＝BC＝5，
∴▱ABCD是菱形．
∴AC⊥BD，
∵直线l⊥BD，
∴AC∥直线l，
∴，
∵BA＝BC＝5，
∴BP＝BQ＝10，
∴＝＝．
【点评】本题考查了二次函数压轴题，正确解答本题需要熟练掌握函数的图象与性质（二次函数与一次函数）、平面图形的性质与应用（平行四边形、菱形、相似三角形、平行线等）．本题涉及考点较多，虽有一点的难度，但相信不少考生均可顺利解答．第（3）问中，需要注意平行四边形ABCD是菱形，这样后续的计算均可迎刃而解．