第7章复数（新文化30题专练）-2021-2022学年高一数学考试满分全攻略（人教A版2019必修）（解析版）

这是一份第7章复数（新文化30题专练）-2021-2022学年高一数学考试满分全攻略（人教A版2019必修）（解析版），共20页。试卷主要包含了单选题，多选题，双空题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
第7章复数（新文化30题专练）一、单选题1．（2020·全国·高一课时练习）欧拉公式（为自然对数的底数，为虚数单位）是瑞士著名数学家欧拉发明的，是英国科学期刊《物理世界》评选出的十大最伟大的公式之一．根据欧拉公式可知，复数虚部为（　　）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据题意代入化简即得复数，再根据虚部概念得结果【详解】根据欧拉公式，可得，∴的虚部为．故选B．【点睛】本题考查复数运算以及概念，考查基本分析求解能力，属基础题.2．（2021·江苏·高一专题练习）瑞士数学家欧拉在年得到复数的三角方程：，根据三角方程，计算的值为A． B． C． D．【答案】B【分析】根据复数的三角方程将复数表示为复数的一般形式，然后利用复数的加法法则可得出结果.【详解】由，则，故选B.【点睛】本题考查复数的加法运算，解题的关键就是理解题中复数三角方程的定义，考查计算能力，属于基础题.3．（2021·山东邹城·高一期中）1545年，意大利数学家卡尔丹在其所著《重要的艺术》一书中提出“将实数10分成两部分，使其积为40”的问题，即“求方程的根”，卡尔丹求得该方程的根分别为和，数系扩充后这两个根分别记为和．若，则复数（       ）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用复数除法运算求得.【详解】由，得．故选：C．4．（2021·江苏吴江·高一期中）欧拉是瑞士著名数学家，他首先发现：（为自然对数的底数，为虚数单位），此结论被称为“欧拉公式”，它将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数和指数函数的关系.根据欧拉公式可知，（       ）A．1 B．0 C．-1 D．【答案】C【分析】利用欧拉公式和诱导公式求解.【详解】因为，所以.故选：C.5．（2021·湖北武汉·高一期中）系数的扩张过程以自然数为基础，德国数学家克罗内克(Kronecker，1823﹣1891)说“上帝创造了整数，其它一切都是人造的”设为虚数单位，复数满足，则的共轭复数是（       ）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用虚数单位的幂的运算规律化简即得,然后利用共轭复数的概念判定.【详解】解：,故选：C.6．（2021·全国·高一课时练习）欧拉公式（为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发现的，他将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数理论中占有非常重要的地位，特别是当时，被称为数学上的优美公式.根据欧拉公式，表示复数，则（       ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据欧拉公式将化简为，再利用复数模的计算公式计算即可.【详解】根据欧拉公式有，所以，.故选：B【点睛】本题主要考查复数模的计算，考查学生的数学运算能力，是一道容易题.7．（2021·全国·高一课时练习）欧拉公式(是虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天桥”.根据欧拉公式可知，表示的复数位于复平面中的（       ）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【答案】A【分析】先由欧拉公式计算可得，然后根据复数的几何意义作出判断即可.【详解】根据题意，故，对应点，在第一象限.故选：A.8．（2021·江苏启东·高一期中）瑞士数学家莱昂哈德·欧拉于1748年提出了著名的公式：，其中是自然对数的底数，是虚数单位，该公式被称为欧拉公式，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，在复变函数论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，根据欧拉公式，（       ）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据欧拉公式可得，根据复数的模的公式结合余弦的二倍角公式可得答案.【详解】根据欧拉公式可得所以故选：C9．（2021·浙江衢州·高一期中）欧拉公式（为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉提出的，它将指数函数的定义域扩大到复数集，则复数在复平面内对应的点位于（       ）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【答案】D【分析】利用复数的三角表示以及复数的除法化简复数，利用复数的几何意义可得出结论.【详解】因为，故，因此，复数在复平面内对应的点位于第四象限.故选：D.10．（2021·广东潮州·高一期末）18世纪末期，挪威测量学家威塞尔首次利用坐标平面上的点来表示复数，使复数及其运算具有了几何意义，例如，，也即复数的模的几何意义为对应的点到原点的距离.在复平面内，复数（是虚数单位，）是纯虚数，其对应的点为，满足条件的点与之间的最大距离为（       ）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】由复数的运算化简，由为纯虚数可求得的值，从而可求得，，设且，，由两点间的距离公式即可求解点与之间的最大距离.【详解】由，因为复数（是虚数单位，）是纯虚数，所以，解得，所以，则，由于，故设且，，所以，故点与之间的最大距离为3.故选：C.11．（2021·江苏·高一专题练习）欧拉公式eix=cosx+isinx(i为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它被誉为“数学中的天桥”.根据欧拉公式可知，e2i表示的复数在复平面中位于（       ）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】B【分析】利用已知条件通过x=2代入，判断三角函数的符号，推出e3i表示的复数在复平面中所对应的点所在象限.【详解】eix=cosx+isinx(其中i为虚数单位，i2=﹣1)，根据这个公式可知，e2i=cos2+isin2，2弧度的角终边在第二象限.故选：B12．（2020·全国·高一专题练习）欧拉公式eix＝cos x＋isin x(i为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天桥”．根据欧拉公式可知，e2i表示的复数在复平面中对应的点位于(　　)A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】B【分析】由题意得，得到复数在复平面内对应的点，即可作出解答.【详解】由题意得，e2i＝cos 2＋isin 2，∴复数在复平面内对应的点为(cos 2，sin 2)．∵2∈，∴cos 2∈(－1，0)，sin 2∈(0，1)，∴e2i表示的复数在复平面中对应的点位于第二象限，故选B.【点睛】本题主要考查了复数坐标的表示，属于基础题.13．（2020·全国·高一课时练习）欧拉公式（i为虚数单位）是由著名数学家欧拉发明的，他将指数函数定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，根据欧拉公式，若将表示的复数记为z，则的值为（       ）A． B． C． D．【答案】A【解析】根据欧拉公式求出，再计算的值.【详解】∵，∴.故选：A.【点睛】此题考查复数的基本运算，关键在于根据题意求出z.14．（2021·江苏如皋·高一阶段练习）1748年，瑞士数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系，并写出以下公式（e是自然对数的底，i是虚数单位），这个公式在复变论中占有非常重要的地位，被普为“数学中的天桥”.下列说法正确的是（       ）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据题设中的公式和复数运算法则，逐项计算后可得正确的选项.【详解】对于A，当时，因为，所以，故不一定成立，选项A错误；对于B，，所以B错误；对于C，由，，所以,得出,选项C正确；对于D，由C选项的分析得，得出，选项D错误.故选：C.二、多选题15．（2021·江苏·南京市第二十九中学高一期末）欧拉公式（其中是虚数单位，）是由瑞典著名数学家欧拉创立的，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位，被誉为数学中的天骄，依据欧拉公式，下列选项正确的是（       ）A．复数对应的点位于第一象限 B．复数的模长等于C．为纯虚数 D．【答案】BD【分析】根据欧拉公式的定义，有、、、，结合对应三角函数值及复数三角形式的除法运算即可知各选项的正误.【详解】A：，而，则、，故位于第二象限，错误；B：，则其模长为，正确；C：，则为实数，错误；D：，正确；故选：BD16．（2021·全国·高一课时练习）欧拉在1748年发现了三角函数与复指数函数可以巧妙地关联起来：（把称为复数的三角形式，其中从轴的正半轴到向量的角叫做复数的辐角，把向量的长度叫做复数的模），之后法国数学家棣莫弗发现了棣莫弗定理：若复数，，则我们可以简化复数乘法：.根据以上信息，下列说法正确的是（       ）A．若，则有B．若，，则C．若，则D．设，则在复平面上对应的点在第一象限【答案】AC【分析】根据题干所给出的新定义判断各个选项即可．【详解】解：对于，，故正确；对于，由棣莫弗定理可知，两个复数，相乘，所得到的复数的辐角是复数，的辐角之和，模是复数，的模之积，所以的辐角是复数的辐角的倍，模是，故正确；对于，，所以，故错误；对于，设，故，故复数 在复平面上所对应的点为，不在第一象限，故错误．故选：．17．（2021·安徽省蚌埠第三中学高一阶段练习）欧拉公式其中为虚数单位，是由瑞士著名数学家欧拉创立的，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位．依据欧拉公式，下列选项正确的是（       ）A． B．为纯虚数C．复数的模长等于1 D．的共轭复数为【答案】BCD【分析】由，将所求复数化为的形式，进而逐项判断可得其正误．【详解】对A，因为（其中为虚数单位，），所以，故A错；对B，为纯虚数，故B正确；对C，复数的模长等于，故C正确；对D，其共轭复数为，故D正确．故选：BCD．18．（2021·广东·徐闻县第一中学高一期中）早在古巴比伦时期，人们就会解一元二次方程.16世纪上半叶，数学家得到了一元三次、一元四次方程的解法．此后数学家发现一元次方程有个复数根（重根按重数计）．下列选项中属于方程的根的是（       ）A． B． C． D．1【答案】BCD【解析】逐项代入验证是否满足即可.【详解】解：对A，当时， ，故，A错误；对B，当时， ，故，B正确；对C，当时， 故，C正确；对D，显然时，满足，故D正确.故选：BCD.19．（2021·江苏仪征·高一期中）瑞士数学家欧拉是史上最伟大的数学家之一，他发现了被人们称为“世界上最完美的公式”——欧拉公式：（其中是虚数单位，是自然对数的底数），它也满足实数范围内指数的运算性质，下列结论正确的是（       ）A．B．C．若复数的虚部为，，则的实部为D．已知，，复数，在复平面内对应的点分别为，，则三角形面积的最大值为【答案】AB【分析】根据欧拉公式及复数得模即可判断A；，整理即可判断B；根据欧拉公式及复数的虚部为，，结合三角恒等变换，求出，即可求出的实部，从而判断C；根据题意可得，点得轨迹时以原点为圆心，1为半径的圆，根据三角形的面积公式即可求得三角形面积的最大值，从而判断D.【详解】解：对于A，，故A正确；对于B，，故B正确；对于C，，因为复数的虚部为，所以，又，所以，故，所以，所以，，，即的实部为，故C错误；对于D，由题意，，则点得轨迹时以原点为圆心，1为半径的圆，又，，当，即时，取最大值，所以三角形面积的最大值为，故D错误.故选：AB.20．（2021·全国·高一课时练习）棣莫佛（，1667~1754）出生于法国香槟，十八岁去了英国伦敦，他在概率论和三角学方面，发表了许多重要论文，英国著名诗人波普（A.Pope，1688~1744）在《人类小品》中写道：“是谁教那蜘蛛/不用直线或直尺帮忙/画起平行线来/和棣莫佛一样稳稳当当”.1707年棣莫佛提出了公式：，其中，.根据这个公式可得（       ）A．B．C．D．存在8个不同的复数，使【答案】AD【分析】利用复数的三角形式的性质和三角函数恒等变换公式逐个分析判断即可【详解】解：根据题意，在，令可得.对于A，设，则有，变形可得，则，A正确；对于B，设，则有，变形可得，则，B错误；对于C，，C错误；对于D，设，若，即，则有，，则，在区间上，有8个解，即存在8个不同的复数，使，D正确；故选：AD.21．（2021·全国·高一课时练习）欧拉公式（其中为虚数单位，）是由瑞士著名数学家欧拉创立的，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里占有非常重要的地位.被誉为数学中的“天桥”.依据欧拉公式，下列选项正确的是（       ）A．B．为纯虚数C．的共轭复数为D．已知复数，，则复数，在复平面内的对应点关于虚轴对称【答案】ABC【分析】利用欧拉公式，逐一化简各个选项，分析判断选项的正误即可．【详解】解：A选项：，故A正确；B选项：， 为纯虚数，故B正确；C选项：， 的共轭复数为，故C正确．D 选项：，，所以 与 实部相等，虚部互为相反数，故复数， 在复平面内的对应点关于实部对称，故D 错误．故选：ABC．22．（2021·全国·高一课时练习）任何一个复数（其中、，为虚数单位）都可以表示成：的形式，通常称之为复数的三角形式.法国数学家棣莫弗发现：，我们称这个结论为棣莫弗定理.根据以上信息，下列说法正确的是（       ）A．B．当，时，C．当，时，D．当，时，若为偶数，则复数为纯虚数【答案】AC【分析】利用复数的三角形式与模长公式可判断A选项的正误；利用复数的棣莫弗定理可判断B选项的正误；计算出复数，可判断C选项的正误；计算出，可判断D选项的正误.【详解】对于A选项，，则，可得，，A选项正确；对于B选项，当，时，，B选项错误；对于C选项，当，时，，则，C选项正确；对于D选项，，取，则为偶数，则不是纯虚数，D选项错误.故选：AC.【点睛】本题考查复数的乘方运算，考查了复数的模长、共轭复数的运算，考查计算能力，属于中等题.三、双空题23．（2020·全国·高一专题练习）瑞士数学家欧拉于1777年在《微分公式》一书中，第一次用来表示-1的平方根，首创了用符号作为虚数的单位．若复数（为虚数单位），则复数的虚部为________；_____．【答案】          【分析】利用复数的除法可计算，从而可求其虚部和模.【详解】，故的虚部为，模为，故分别填.【点睛】本题考查复数的概念、复数的除法，属于基础题.24．（2022·全国·高三专题练习）在复平面内，复数对应向量（为坐标原点），设，以射线为始边，为终边旋转的角为，则，法国数学家棣莫弗发现了棣莫弗定理：，，则，由棣莫弗定理可以推导出复数乘方公式：，已知，则______；若复数满足，则称复数为n次单位根，若复数是6次单位根，且，请写出一个满足条件的______．【答案】     16     【分析】由已知可得，则，再由求解，由题意知，设，即可取一个符合题意的，即可得解．【详解】解：，，则．由题意知，设，则，所以，又，所以，故可取，则故答案为：，（答案不唯一）．25．（2020·湖南·长郡中学高一阶段练习）年，瑞士数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系，并写出以下公式，这个公式在复变论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”.根据此公式，则________；________.【答案】          【分析】根据复指数函数和三角函数的关系可计算得出的值，由已知条件得出，利用指数的运算性质以及复指数函数和三角函数的关系可求得的值.【详解】，，因此，.故答案为：；.四、填空题26．（2021·上海·高一课时练习）欧拉公式（为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，根据欧拉公式可知，表示的复数在复平面中位于__________象限.【答案】第二【分析】根据欧拉公式将化简，根据实部与虚部的值确定象限位置.【详解】因为，所以对应点在第二象限.故答案为：第二象限.27．（2021·全国·高一课时练习）一般的，复数都可以表示为的形式，这也叫做复数的三角表示，17世纪的法国数学家棣莫弗结合复数的三角表示发现并证明了这样一个关系：如果，，那么，这也称为棣莫弗定理.结合以上定理计算：______.（结果表示为，的形式）【答案】【分析】根据棣莫弗定理计算即可．【详解】．故答案为：．【点睛】本题考查新定义，理解新定义是解题关键．28．（2020·全国·高一课时练习）欧拉公式（为自然对数的底数，为虚数单位）是瑞士著名数学家欧拉提出的，根据欧拉公式可知复数的虚部为______________.【答案】【解析】先理解欧拉公式，再结合复数虚部的概念求解即可.【详解】解：由已知有，所以复数的虚部为.，故答案为：.【点睛】本题考查了阅读理解能力，重点考查了复数虚部的概念，属基础题.29．（2022·全国·高三专题练习（理））欧拉公式将自然对数的底数e，虚数单位i，三角函数和联系在一起，充分体现了数学的和谐美，被誉为“数学的天桥”.若复数z满足，则___________.【答案】【分析】利用欧拉公式可得：．代入，化简可得，再利用模的运算性质即可得出．【详解】．，，，则．故答案为：．五、解答题30．（2021·广东·中山市华侨中学高二阶段练习）欧拉（1707﹣1783），他是数学史上最多产的数学家之一，他发现并证明了欧拉公式eiθ＝cosθ+isinθ，从而建立了三角函数和指数函数的关系，若将其中的θ取作π就得到了欧拉恒等式eπi+1＝0，它是令人着迷的一个公式，它将数学里最重要的几个量联系起来，两个超越数——自然对数的底数e，圆周率π，两个单位——虚数单位i和自然数单位1，以及被称为人类伟大发现之一的0，数学家评价它是“上帝创造的公式”，请你根据欧拉公式：eiθ＝cosθ+isinθ，解决以下问题：（1）将复数写成a+bi（a，b∈R，i为虚数单位）的形式；（2）求（θ∈R）的最大值.【答案】（1）；（2）2.【分析】（1）利用欧拉公式将化为三角形式，进而根据特殊角的函数值写出其代数形式即可；（2）由欧拉公式及复数模的求法，可得，进而可求其最大值.【详解】（1）；（2）＝，∴当cosθ＝1，即θ＝2kπ，k∈Z时，（θ∈R）的最大值为2.