2021新乡名校高二下学期期末联考数学（理）试题含答案

新乡名校2020—2021学年下期期末联考

高二数学（理）试题

（考试时间：120分钟  试卷满分：150分）

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．设集合，，若，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

2．已知复数（为虚数单位），则（    ）

A． B． C． D．

3．已知等差数列的前项和为，若，，则（    ）

A． B． C． D．

4．党的十九大报告中指出：从2020年到2035年，在全面建成小康社会的基础上，再奋斗15年，基本实现社会主义现代化若到2035年底我国人口数量增长至亿，由2013年到2019年（依次对应的年份代号为到）的统计数据可得国内生产总值（）（单位：万亿元）关于年份代号的回归方程为，且2020年到2035年关于也满足此回归方程，则由该回归方程预测我国在2035年底人均国内生产总值（单位：万元）约为（    ）

A． B． C． D．

5．北斗导航系统由颗卫星组成，于2020年6月23日完成全球组网部署，全面投入使用．北斗七星自古是我国人民辨别方向判断季节的重要依据，北斗七星分别为天枢、天璇、天玑、天权、玉衡、开阳、摇光，其中玉衡最亮，天权最暗．一名天文爱好者从七颗星中随机选两颗进行观测，则玉衡和天权至少一颗被选中的概率为（    ）

A． B． C． D．

6．设函数，则使不等式成立的实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

7．已知，，，若，则向量，夹角的正切值为（    ）

A． B． C． D．

8．已知某个数据的平均数为，方差为，现加入和两个新数据，此时个数据的方差为（    ）

A． B． C． D．

9．设，，，随机变量的分布列是

若，，则（    ）

A．， B．， C．， D．，

10．已知某物种经过年后的种群数量近似满足冈珀茨模型：，当时，的值表示2021年年初的种群数量若年后，该物种的种群数量不超过2021年初种群数量的，则的最小值为（参考值：）

A． B． C． D．

1l．已知椭圆：的右焦点为，过点的直线交椭圆于，两点．若的中点坐标为，则的方程为（    ）

A． B． C． D．

12．若函数与函数的图象在区间上有且仅有一个公共点，则实数的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13．若二项式的展开式中第项与第项的系数相同，则其常数项是______．

14．南宋著名数学家杨辉在1261年所著的《详解九章算法》中首次提出“杨辉三角”，如图所示，这是数学史上的一个伟大的成就在“杨辉三角”中，已知每一行的数字之和构成的数列为等比数列，设该数列前项和为，若数列满足，则______．

15．中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，左、右焦点分别为，，且两曲线在第一象限的交点为，是以为底边的等腰三角形．若椭圆与双曲线的离心率分别为，，且，，则______．

16．如图，正四棱锥的每个顶点都在球的球面上，侧面是等边三角形．若半球的球心为四棱锥的底面中心，且半球与四个侧面均相切，则半球的体积与球的体积的比值为______．

三、解答题（共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．）

17．在中，角，，所对的边分别为，，，且．

（1）求；

（2）若，．

①求的值；

②求的面积．

18．中国探月工程自2004年立项以来，聚焦“自主创新、重点跨越、支撑发展、引领未来”的目标，创造了许多项中国首次．2020年12月17日凌晨，嫦娥五号返回器携带“月壤”着陆地球，又首次实现了我国地外天体无人采样返回．为了解某中学高三学生对此新闻事件的关注程度，从该校高三学生中随机抽取了100名学生进行调查，调查样本中有40名女生．如图是根据样本的调查结果绘制的等高条形图（阴影区域表示关注“嫦娥五号”的部分）．

附：

，其中．

（1）完成上面的列联表，试问是否有的把握认为“对‘嫦娥五号’关注程度与性别有关”；

（2）若将频率视为概率，现从该中学高三的女生中随机抽取人，记被抽取的名女生中对“嫦娥五号”新闻关注的人数为随机变量，求的分布列及数学期望．

19．如图，在三棱柱中，是上一点，是的中点，且平面．

（1）证明：；

（2）若平面，平面平面，，求直线与平面所成角的正弦值．

20．已知是抛物线：的准线上的任意一点，过点作的两条切线，，其中，为切点．

（1）证明：直线过定点，并求出定点坐标；

（2）若直线交椭圆：于，两点，求的最小值．

21．已知函数（，）．

（1）讨论函数的单调性；

（2）当时，若关于的方程有两个实数根，，且，求证：．

【选考题】

请考生在第22、23两题中任选一题作答注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分．

22．【选修4-4：坐标系与参数方程】

在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）．以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为．

（1）求曲线的普通方程与直线的直角坐标方程;

（2）设直线与曲线相交于，两点，点，求的值．

23．【选修4-5：不等式选讲】

已知函数（，）

（1）当时，解不等式；

（2）若函数的最大值为，求的最小值．

新乡名校2020—2021学年下期期未联考

高二数学（理）参考答案

一、选择题

1．【解析】因为，

所以，

所以，

由于，，

所以．故选：．

2．【解析】因为，

所以．故选：．

3．【解析】设等差数列的首项为，公差为，由，，可得

解得，所以，故．故选：．

4．【解析】到2035年底对应的年份代号为，由回归方程得，我国国内生产总值约为（万亿元），又，所以到2035年底我国人均国内生产总值约为方元．故选：．

5．【解析】因为玉衡和天权都没有被选中的概率为，

所以玉衡和天权至少一颗被选中的概率为．故选：．

6．【解析】函数的定义域为，，

所以函数是奇函数，并由解析式可知函数是增函数，

原不等式可化为，

∴，解得，

∴的取值范围是．故选：．

7．【解析】由题意知：，又，

∴，可得，

由，

又，

∴，

则向量，夹角的正切值为．故选：．

8．【解析】设原数据为、、、、、，则，，

加入和两个新数据后，所得个数据的半均数为，

所得个数据的方差为．故选：．

9．【解析】由分布列可知：，，

，即．

联这方程组：，解得：．故选：．

10．【解析】因为当时，的值表示2021年年初的种群数量，

所以有，即2021年年初的种群数量为，

当年后，该物种的种群数量不超过2021年初种群数量的，

所以有，即，

所以，则，

所以，即，得，

所以的最小值为．选：．

11．【解析】设点、，则，

两式作差得：，整理可得．

设线段的中点为，即，

另一方面，，

所以，，所以，，

解得，故椭圆的方程为．故选：．

12．【解析】由题意知方程，即在区间上有且仅有一个解．

令，则在上有且仅有一个零点，

，当时，

，所以，

所以，

故函数在区间上单调递增，

又函数在区间上只有一个零点，

所以结合考点有在性定理可得

解得，即的取值范围是．故选：．

二、填空题

13．    14．    15．    16．

13．【解析】由已知条件可得，所以，，

二项式的展开式通项为，

令，解得，因此，展开式中的常数项为．故答案为：．

14．【解析】因为每一行的数字之和构成的数列为等比数列，且第一行数字和为，第二行数字和为，第三行数字和为，所以该等比数列首项为，公比，所以，所以，所以．故答案为：．

15．【解析】设椭圆与双曲线的标准方程为，

（，，，，），焦距为，

由于是以为底边的等腰三角形，且，

由椭圆的定义可得，由双曲线的定义可得，

，，即，，

故，两边同除以，可得，

又，可得．故答案为：．

16．【解析】设球、球的半径分別为，，，连接，，如图，

因为四棱锥的每个顶点都在球的球面上，侧面是等边三角形，

在中，，，所以，

所以，

因为半球的球心为四棱锥的底面中心，且半球与四个侧面均相切，

所以，解得，

则半球的体积与球的体积的比为．故答案为．

三、解答題

17．【解析】（1）由得，

由余弦定理知，．

又，所以．

（2）①由正弦定理，有，

又，所以，所以，

所以．

②由，即，解得（舍去负根），

所以．

18．【解析】（1）列联表如下：

，

所以有的把握认为“对‘嫦娥五号’关注程度与性別有关”．

（2）因为随机选一个高三的女生，对此事关注的概率为，

由题意知，所以随机变量的分布列为：

故．

19．【解析】（1）证明：连接，，

因为四边形是半行四边形，

所以，，三点共线，且是中点．

因为平面平面，

且平面，平面，

所以，所以是中点，即．

（2）因为平面，所以，．

因为平面平面，

所以是二面角的平面角，

因为面面，

所以，所以，，两两垂直，

以坐标点，以，，为，，轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示，

因为，，

所以．

设，则，,

则，，，，，，，

所以，，．．

设平面的法向量为，

则，即

取，得，设直线与平面所成角为，

则，

所以直线与平面所成角的正弦值为．

20．【解析】（1）由题意，设，，，由，得，

所以切线的程为：，

又，

所以的方程可化为：，

同理，切线的方程为：．

因为直线、直线都过点，把的坐标代入两方程，

得和．

故点，都在直线：上，而直线过定点，

所以直线过定点．

（2）设直线的方程为（总在），，，

由方程组消去可得：，因为，

所以，，

所以，

由方程组消去可得：，

因为，

所以，，

所以，

所以．

所以的最小值为．

21，【解析】（1）因为，

所以，

当时，对任意的成立；

当时，令，得；令，得．

综上，当时，函数在区间上单调递增；

当时，函数在区间上单调减，在区间上单调递增．

（2）证明：当时，方程，即为．

由题意得，

两式相减得：，即，

故，所以，

所以，

令，则，

设，则，

因为，

所以的，

所以在区间上单调递增．

又当时，，

所以当时，，即，

所以当时，即．

22．【解析】（1）由曲线的参数方程：（为参数），

消去参数，可得，所以曲线的普通方程为：．

由直线的极坐标方程为，化简：，

因为，，代入可得直线的直角坐标方程为，

（2）将直线的普通方程化为参数方程为（为参数），

代入曲线：，整理可得，

而．

设，是方程的两个实数根，则，．

所以．

23．【解析】（1）当时，，即，

两边平方得，即，

解得：，故不等式的解集为．

（2）函数，

所以，

当且仅当时等号成立，

即，即时，最大值为，

又因为函数的最大伯为2，

，即，

当且仅当，即，时取等号，

的最小值为．