2021洮南第一高中高二下学期期末考试数学（文）试题含答案

洮南市第一高中2020-2021学年高二下学期期末考试

数学试卷（文科）

  （满分：150分，时间：120分钟） 

第I卷（选择题 共60分）

一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.）

1．下列命题中正确的是（    ）

A．任何复数都不能比较大小      B．复数与相等的充要条件是且

C．若则          D．若，则或

2．关于“自然数都是非负数，因为0是自然数，所以0是非负数”的说法正确的是（    ）

A．推理正确 B．推理形式错误 C．大前提错误 D．小前提错误

3．在某中学高一年级的160名学生中开展一项社会调查，先将学生随机编号为1,2,3，…，159,160，采用系统抽样的方法, 已知抽取的学生中最小的两个编号为6,22，那么抽取的学生中，最大的编号应该是（    ）

A．141              B．142 C．149         D．150

4．用反证法证明命题“已知为实数，若，则不都大于2”时，应假设（    ）

A．都不大于2    B．都不小于2   C．都大于2 D．不都小于2

5．观察下列数的特点，1，1，2，3，5，8，，21，34，55，…中，其中的值为（    ）

A．12 B．13 C．14 D．15

6．下表提供了某厂节能降耗技术改造后在生产A产品过程中记录的产量（吨）与相应的生产能耗（吨）的几组对应数据.根据下表提供的数据，求出y关于x的线性回归方程为

，那么表中t的值为（    ）

A．4.5                   B．3.5          

C．3.15                  D．3

7．集合，从中各任取一个数，则这两数和为偶数的概率是（    ）

A． B． C． D．

8．已知直线l：与圆C：（θ为参数）的位置关系是（    ）

A．相切                                      B．相离       

C．相交但直线不过圆心       D．直线过圆心

9．甲乙两名学生，六次数学测验成绩如图所示．

①甲同学成绩的中位数大于乙同学成绩的中位数；

②甲同学的平均分比乙同学高；

③甲同学成绩的极差是18；

④甲同学成绩方差小于乙同学成绩的方差．上面说法正确的是（    ）

A．③④ B．①④        C．②④           D．②③

10．若,则下列各式中值最大的一个是（    ）

A．                        B．  

C．                        D．

11．以极坐标系中的点为圆心，1为半径的圆的方程是（    ）

A．                 B．

C．     D．

12．已知关于的不等式的解集不是空集,则的最小值是(   )

A．-9                                   B．-8              

C．-7                   D．-6

            第Ⅱ卷（非选择题　共90分）

二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）

13．执行如右图所示的程序框图，若输入的，分别是1，2048，则输出的__．

14．极坐标方程化为直角坐标方程，得          .

15．一只蜜蜂在一个半径为3的球体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与球的表面的距离均大于1，称其为“安全飞行”，则蜜蜂“安全飞行”的概率为__________．

16．设x,y,z＞0且x+3y+4z=6,则的最大值是____________.

三、解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）

17．(本小题满分10分) 实数x取什么值时，复数（i为虚数单位）  （1）是实数？       （2）对应的点位于复平面的第二象限？

18．(本小题满分12分)为了完成对某城市的工薪阶层是否赞成调整个人所得税税率的调查，随机抽取了60人，作出了他们的月收入频率分布直方图（如图），同时得到了他们月收入情况与赞成人数统计表（如下表）：

（1）试根据频率分布直方图估计这60人的平均月收入；

（2）若从月收入在[65，75）的被调查者中随机选2人进行追踪调查，求2人都不赞成的概率.

19．(本小题满分12分) 微信已成为人们常用的社交软件，“微信运动”是微信里由腾讯开发的一个类似计步数据库的公众账号.手机用户可以通过关注“微信运动”公众号查看自己每天行走的步数，同时也可以和好友进行运动量的或点赞.现从小明的微信朋友圈内随机选取了40人（男、女各20人），记录了他们某一天的走路步数，并将数据整理如下表：

若某人一天的走路步数超过8000步被系统评定为“积极型”，否则被系统评定为“懈怠型”.

（1）利用样本估计总体的思想，试估计小明的所有微信好友中每日走路步数超过10000步的概率；

（2）根据题意完成下面的列联表，并据此判断能否有90%的把握认为“评定类型”与“性别”有关？

        附：

20．(本小题满分12分) 已知直线的方程为y=x+4，圆C的参数方程为（θ为参数），以原点为极点，x轴正半轴为极轴．建立极坐标系．

（1）求直线与圆C的交点的极坐标；

（2）若P为圆C上的动点, 求P到直线的距离d的最大值．

21. (本小题满分12分) （1）已知函数，其中，求函数的图象恰好经过第一、二、三象限的概率；

（2）某校早上8:10开始上课，假设该校学生小张与小王在早上7:30～8:00之间到校，且每人到该时间段内到校时刻是等可能的，求两人到校时刻相差10分钟以上的概率.

22. (本小题满分12分)已知.

（1）当，时，解不等式；  

（2）若的最小值为2，求的最小值.

参考答案

1．C

【解析】

【分析】

A．未注明．
B．实数是复数，实数能比较大小．
C．利用共轭复数的性质即可判断出；
D．与的模相等，符合条件的有无数多个，如单位圆上的点对应的复数的模都是1.

【详解】

对于A选项，两复数相等的充要条件为实部，虚部分别对应相等，但题目中未标注这个条件，故A错误；

对于B选项，当复数的虚部为时，复数就是实数，就能够进行大小比较，故B错误；

对于C选项，根据共轭复数的定义可知，共轭复数相等，则共轭复数的共轭复数也相等，即原复数相等，故C正确；

对于D选项，因为复数的模，即模长由实部和虚部共同决定，所以模长相等时，复数不一定相等，故D错误；

综上所述，本题的正确选项为C.

故选：C.

【点睛】

本题考查共轭复数，复数的模，相等复数的性质，注意仔细领悟复数的概念中所需的条件，属于基础题.

2．A

【分析】

要分析一个演绎推理是否正确，主要观察所给的大前提、小前提和结论是否都正确，根据三个方面都正确即可判断.

【详解】

大前提：“自然数都是非负数”正确，小前提：“0是自然数”正确，

结论：“0是非负数”正确，所以这个推理是正确的.

故选：A

【点睛】

本题考查简单的演绎推理，属于基础题.

3．D

【详解】

试题分析：两个最小的编号差16，以此可确定间距为16，所以这160名学生共分了10组，所以抽取的学生中编号最大的为，故选D.

考点：系统抽样.

4．C

【分析】

利用反证法定义求解即可

【详解】

利用反证法定义，应假设都大于2

故选：C

5．B

【分析】

根据规律，可得后一个数为前两个数之和，计算可得；

【详解】

解：观察下列数的特点，1，1，2，3，5，8，，21，34，55，，

可知：，，，．

得到．

故选：．

6．D

【分析】

；的线性回归方程

必过样本中心点，，解得：t=

【小题1】故选D

7．B

【分析】

先列举，再由古典概型概率公式可得.

【详解】

从中任意取一个数，共有6种情形，两数和为偶数的情形有三种，．

故选：B.

8. C

【分析】

把圆的参数方程改写成普通方程，利用圆心到直线的距离与半径的大小来判断它们的位置关系.

【详解】

由圆C：（θ为参数）得圆的方程为：，其中圆心为，半径为2，

故圆心到直线的距离，，

所以直线与圆相交，又，故直线不过圆心，

故选：C.

【点睛】

本题主要考查直线与圆的位置关系，将圆的参数方程改写成普通方程是解题的关键，属于基础题. 9．A

【分析】

由茎叶图数据，求出甲同学的极差，甲、乙同学成绩的中位数，平均数，估计方差，从而解决问题．

【详解】

解：根据茎叶图数据知，

①甲同学成绩的中位数是81，乙同学成绩的中位数是87.5，

甲的中位数小于乙的中位数；

②甲同学的平均分是，

乙同学的平均分是，

乙的平均分高；

③甲同学的极差为；

④甲同学成绩数据比较集中，方差小，乙同学成绩数据比较分散，方差大．

正确的说法是③④．

故选：A．

10. D

11．C

【分析】

设圆上任意一点的极坐标为，直接利用极径的长为1得到关于极角与极径的关系，化简即得圆的极坐标方程.

【详解】

解：设圆上任意一点的极坐标为，则由半径为1得，

，

化简得，所求方程是.

故选：C.

【点睛】

本题考查点的极坐标方程的求法，能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别.

 12．A

【解析】

【分析】

由题意结合绝对值不等式的性质求解的最小值即可.

【详解】

,

由关于的不等式的解集不是空集

故,解得,即的最小值是-9.

本题选择A选项.

【点睛】

本题主要考查绝对值不等式的解法，绝对值三角不等式的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

13．6

【分析】

根据程序框图计算即可得到答案.

【详解】

第一次运算，，，，；

第二次运算，，，，；

第三次运算，，，，，停止运算．

所以输出．

故答案为：6

14．

【分析】

把变成，变成，可得到直线的直角坐标方程。

【详解】

【点睛】

本题主要考查了直线的极坐标方程转化为直角坐标方程。

15．

【解析】

试题分析：由题意，得蜜蜂“安全飞行”的空间是半径为2的同心球，则有几何概型的概率公式，得蜜蜂“安全飞行”的概率为；故填．

考点：1.球的体积公式;2.几何概型．

16.1

17．（1）或；（2）

【分析】

（1）由实数定义可知虚部为零，解方程求得结果；

（2）由复数对应点的坐标的特点可构造出不等式组，解不等式组求得结果.

【详解】

（1）若为实数，则，解得：或

（2）若对应的点位于第二象限，则，解得：

【点睛】

本题考查根据复数类型求解参数值、根据复数对应点所在象限求解参数范围的问题，属于基础题.

18．（1）这60人的平均月收入约为43.5百元.（2）

【解析】

试题分析：（1）由频率分布直方图中每组中横轴数据的中间值与纵轴数据乘积的和来估计所有数据的平均值；（2）由频率分布直方图和表格可知[65，75）共有人，其中人赞成，人不赞成，可写出任取人的所有情况，找出其中人都不赞成的情况，利用古典概型可得结果．

试题解析：（1）由直方图知：

这60人的平均月收入约为43.5百元.      

（2）根据频率分布直方图和统计图表可知

[65，75）的人数为0.01×10×60＝6人，其中2人赞成，4人不赞成

记赞成的人为x，y，不赞成的人为a，b，c，d

任取2人的情况分别是：xy，xa，xb，xc，xd，ya，yb，yc，yd，ab，ac，ad，bc，bd，cd共15种情况

其中2人都不赞成的是：ab，ac，ad，bc，bd，cd共6种情况

∴2人都不赞成的概率是：P＝.

19．（1）概率    （2）没有90%的把握认为“评定类型”与“性别”有关

【解析】

试题分析：（1）利用样本估计总体的思想，可得所求概率；（2）根据题意求得列联表，再根据二联表的数据可得，从而可知没有90%的把握认为“评定类型”与“性别”有关.

试题解析：（1）根据表中数据可知，40位好友中走路步数超过10000步的有8人，

∴利用样本估计总体的思想，估计小明的所有微信好友中每日走路步数超过10000步

的概率.

（2）根据题意完成下面的列联表如下：

∴，

∴没有90%的把握认为“评定类型”与“性别”有关.

20．（Ⅰ），．（Ⅱ）+2．

【解析】

试题分析：（I）由圆C的参数方程为（θ为参数），利用cos2θ+sin2θ=1化为普通方程，与直线方程联立解得交点坐标，利用可得极坐标．

（II）圆心（0，2）到直线l的距离为d1，可得P到直线l的距离d的最大值为d1+r．

解：（I）由圆C的参数方程为（θ为参数），利用cos2θ+sin2θ=1化为：x2+（y﹣2）2=4，联立，解得或．

可得极坐标分别为：，．

（II）圆心（0，2）到直线l的距离=，

∴P到直线l的距离d的最大值为+r=+2．

考点：参数方程化成普通方程．

21. （1）（2）

【分析】

(1)先求出函数的系数构成的数对的个数，再求出满足题意的数对的个数，由古典概型的概率公式即可求出结果;

(2)先设小张和小王到校时刻分别为，依题意确定的关系，作出对于图像，由几何概型的计算公式，即可求解.

【详解】

（1）设函数的系数构成的数对为，则由题意知数对可能为：，，共16种情况.

要使得函数的图象经过第一，二，三象限，则需，即

符合条件的数对为，共3对.

模型符合古典概型的定义，所以所求事件的概率为.

（2）设小张和小王到校时刻分别为，且.

两人到校时刻相差10分钟等价于，且.

模型符合几何概型的定义，由图可知：

所以所求事件的概率为.

【点睛】

本题主考查古典概型和几何概型，需要学生熟记列举法求古典概型概率的方法，以及几何概型的概率计算公式，属于基础题型.

22．（1）；（2）.

【分析】

（1）当，时，， 分类讨论即可得解；

（2）由绝对值三角不等式可得，

若的最小值为2，则，所以，再利用基本不等式即可求最小值.

【详解】

（1）当，时，

，

所以或或，

解得：或，

故解集为；

（2）由，

所以，

若的最小值为2，则，所以，

，

所以的最小值为.

【点睛】

本题考查了解绝对值不等式，考查了绝对值三角不等式以及基本不等式的应用，考查了分类讨论思想，属于基础题.