2022汉中高三上学期第一次校际联考文科数学试题含答案

汉中市2022届高三第一次校际联考

数学（文科）试题

注意事项：

1.本试题共4页，满分150分，时间120分钟；

2.答卷前，务必将答题卡上密封线内的各项目填写清楚；

3.第Ⅰ卷选择题必须使用2B铅笔填涂，第Ⅱ卷非选择题必须使用0.5毫米黑色墨水签字笔书写，涂写要工整、清晰；

4.考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回.

第Ⅰ卷（选择题  共60分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.设集合，，则等于（    ）

A. B. C. D.

2.下列函数中是偶函数的为（    ）

A. B. C. D.

3.已知i为虚数单位，若复数是纯虚数，则实数a的值为（    ）

A. B. C.－2 D.2

4.已知，，，则与的夹角为（    ）

A.30° B.45° C.60° D.120°

5.已知全集为R，集合，，则（    ）

A. B. C. D.

6.人口普查是世界各国广泛采取的一种调查方法，根据人口普查的基本情况，可以科学的研究制定社会、经济、科教等各项发展政策，是国家科学决策的重要基础工作.截止目前，我国共进行了七次人口普查，如图是这七次人口普查的城乡人数和增幅情况，下列说法错误的是（    ）

A.城镇人口数逐次增加 

B.历次人口普查中第七次普查城镇人口最多

C.城镇人口比重逐次增加

D.乡村人口数逐次增加

7.甲、乙两名大学生报名参加第十四届全运会志愿者，若随机将甲、乙两人分配到延安、西安、汉中这3个赛区，则甲、乙都被分到汉中赛区的概率为（    ）

A. B. C. D.

8.《孙子算经》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五等诸侯，共分橘子六十颗，人别加三颗.问：五人各得几何？”其大意为：有5个人分60个橘子，他们分得的橘子数成公差为3的等差数列，问5人各得多少个橘子？这个问题中，得到橘子最少的人所得的橘子个数是（    ）

A.3 B.6 C.9 D.12

9.若，且，则的最小值为（    ）

A.2 B. C.4 D.

10.设复数，满足，，则（    ）

A.1 B. C. D.

11.如图为函数的部分图象，将其向左平移个单位长度后与函数的图象重合，则可以表示为（    ）

A. B. C. D.

12.已知函数的定义域为，值域为，则的最小值是（    ）

A. B. C. D.

第Ⅱ卷（非选择题  共90分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13.在等差数列中，，，则______.

14.设是各项为正数的等比数列，且，则______.

15.若x，y满足约束条件，则的最大值为______.

16.已知是边长为2的等边三角形，D为的中点，点P在线段（包括端点）上运动，则的取值范围是______.

三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.

（一）必考题：共60分.

17.（本小题满分12分）

设是公比不为1的等比数列，为，的等差中项.

（Ⅰ）求的公比；

（Ⅱ）若，求数列的前n项和.

18.（本小题满分12分）

在中，，，，求：

（Ⅰ）a的值；

（Ⅱ）和的面积.

19.（本小题满分12分）

如图，在三棱锥中，平面平面，，，O，M分别为，的中点.

（Ⅰ）证明：平面；

（Ⅱ）求四棱锥的体积.

20.（本小题满分12分）

已知函数，.

（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；

（Ⅱ）求函数的单调区间和极值.

21.（本小题满分12分）

已知椭圆的上端点为，离心率为.

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）设经过点且不经过点M的直线l与椭圆C相交于A，B两点.若，分别为直线，的斜率，求的值.

（二）选考题：共10分，考生从22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.

22.（本小题满分10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】

已知直线l的参数方程为（t为参数）.在以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为.

（Ⅰ）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；

（Ⅱ）设直线l与曲线C交于A，B两点，求.

23.（本小题满分10分）【选修4-5：不等式选讲】

已知函数的定义域为R.

（Ⅰ）当时，求不等式的解集；

（Ⅱ）若关于x的不等式恒成立，求实数a的取值范围.

2022届高三第一次校际联考

数学（文科）试题参考答案及评分标准

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.C  2.C  3.D  4.A  5.B  6.D  7.A  8.B  9.A  10.D  11.B  12.C

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13.6 14.1 15.7 16.

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.

（一）必考题：共60分

17.解：（Ⅰ）设等比数列的公比为q，由题设得，

∴.

∴，解得（舍去）或.

故的公比为－2.

（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，

∴

18.解：（Ⅰ）在中，由余弦定理，得，

解得.

（Ⅱ）∵，，

∴.

在中，由正弦定理，得.

∵，，∴，

∴.

19.解：（Ⅰ）证明：∵，O为的中点，

∴，且.

又∵平面平面，平面平面，平面，

∴平面.

（Ⅱ）∵，，

∴.

∴.

∴.

∵O，M分别为，的中点，

∴是的中位线.

∴.

∴.

20.解：（Ⅰ）函数的定义域为R，.

∵，∴切点为.

又∵，

∴曲线在点处的切线方程为.

（Ⅱ）令，即，解得，.

当x变化时，，的变化情况如下表：

∴的单调递增区间为，，单调递减区间为.

∴的极小值为，极大值为.

21.解：（Ⅰ）由题意知，，

又∵，

∴，.

故椭圆C的方程为.

（Ⅱ）易知直线l的斜率存在，可设直线l的方程为，即，

将代入得，

由题设可知，

设，，

则，，

，

∴.

（二）选考题：共10分.考生从22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.

22.解：（Ⅰ）由，消去参数t得，即.

∴直线l的普通方程为.

∵曲线，，，，

∴曲线C的直角坐标方程为，即.

（Ⅱ）由，易得直线l的极坐标方程为.

代入曲线C的极坐标方程得，

∴.

（注：学生用其他方法作答，只要解答正确，可参照给分）

23.解：（Ⅰ）当时，.

当时，由，得，解得；

当时，由，得，此时不等式无解；

当时，由，得，解得.

综上，当时，不等式的解集为.

（Ⅱ）∵，

∴不等式恒成立，等价于.

∴或（经检验符合题意）.

∴实数a的取值范围为.