2022潍坊四中高三上学期第一次过程检测数学试题含答案

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潍坊四中过程检测数学试题 2021.10一、单选题(每题5分，共40分)1．已知集合，集合，则（ ）A． B．C． D．2．设，则“”是“”的（ ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件3． 2019年4月25日-27日，北京召开第二届“一带一路”国际高峰论坛，组委会要从6个国内媒体团和3个国外媒体团中选出3个媒体团进行提问，要求这三个媒体团中既有国内媒体团又有国外媒体团，且国内媒体团不能连续提问，则不同的提问方式的种数为（ ）A．198 B．268 C．306 D．3784．十进制的算筹计数法是中国数学史上一个伟大的创造，算筹实际上是一根根同长短的小木棍.下图是利用算筹表示数字1~9的一种方法.例如：3可表示为“”，26可表示为“”，现用6根算筹表示不含0的无重复数字的三位数，算筹不能剩余，则这个三位数能被3整除的概率为（ ）A． B． C． D．5．已知函数则（ ）A． B． C． D．6．二项式的展开式中的系数为20，则（ ）A．7 B．6 C．5 D．47．已知函数，则函数的大致图象为（ ）A． B．C． D．8．我国南北朝时期的著名数学家祖暅原提出了祖暅原理：“幂势既同，则积不容异.”意思是，夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意一个平面所截，若截面面积都相等，则这两个几何体的体积相等.运用祖暅原理计算球的体积时，构造一个底面半径和高都与球的半径相等的圆柱，与半球（如图①）放置在同一平面上，然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥后得到一新几何体（如图②），用任何一个平行于底面的平面去截它们时，可证得所截得的两个截面面积相等，由此可证明新几何体与半球体积相等，即.现将椭圆绕轴旋转一周后得一橄榄状的几何体（如图③），类比上述方法，运用祖暅原理可求得其体积等于（ ）A． B． C． D．二、多选题(每题5分，对而不全得2分，共20分)9．某学校为了调查高二年级学生周末阅读时间情况，随机选取了名学生，绘制了如图所示频率分布直方图，则（ ）A．众数的估计值为 B．中位数的估计值为C．平均数的估计值为 D．样本中有名同学阅读时间不低于分钟10．已知甲袋中有5个大小相同的球，4个红球，1个黑球；乙袋中有6个大小相同的球，4个红球，2个黑球，则（ ）A．从甲袋中随机摸出一个球是红球的概率为B．从乙袋中随机摸出一个球是黑球的概率为C．从甲袋中随机摸出2个球，则2个球都是红球的概率为D．从甲、乙袋中各随机模出1个球，则这2个球是一红球一黑球的概率为11．设实数满足a，b满足，则下列不等式一定成立的是（ ）A． B．C． D．12．已知函数对任意都有，若的图象关于直线对称，且对任意的，且，都有，则下列结论正确的是（ ）A．是奇函数 B．是周期为4的周期函数C． D．三、填空题(每小题5分，共20分)13．某校2000名学生的某次数学考试成绩，则成绩位于区间的人数大约是______人（注：若，则，，）14．已知函数，若对，不等式恒成立，则实数的取值范围是______.15．拉面是很多人喜好的食物.师傅在制作拉面的时候，将面团先拉到一定长度，然后对折，对折后面条根数变为原来的2倍，再拉到上次面条的长度.每次对折后，师傅都要去掉捏在一只手里的面团.如果拉面师傅将300克而团拉成细丝面条，每次对折后去掉捏在手里的面团都是18克.第一次拉的长度是，共拉了7次，假定所有细丝面条粗线均匀､质量相等，则最后每根长的细丝面条的质量是___________.16．已知正方体的棱长为，交于，是棱的中点，则直线被正方体外接球所截得的线段长度为________．四、解答题(共70分)17．(本题10分)计算：（1）（2）18．(本题12分)如图所示，斜三棱柱中，点为上的中点．（1）求证：平面；（2）设三棱锥的体积为，三棱柱的体积为，求．19．(本题12分)已知函数．（1）当时，求的单调区间；（2）若在区间上单调递增，求的取值范围．20．(本题12分)如图，在四棱锥中，底面是梯形，，，，.（1）证明：平面；（2）若，当四棱锥的体积最大时，求直线与平面所成角的正弦值.21．(本题12分)某地已知6名疑似病人中有1人感染病毒，需要通过血液检测确定该感染人员，血清检测结果呈阳性的即为感染人员，呈阴性表示没感染，拟采用两种方案检测：方案甲；将这6名疑似病人血清逐个检测，直到能确定感染人员为止；方案乙：将这6名疑似病人随机分成2组，每组3人.先将其中一组的血清混在一起检测，若结果为阳性，则表示感染人员在该组中，然后再对该组中每份血清逐个检测，直到能确定感染人员为止；若结果为阴性，则对另一组中每份血清逐个检测，直到能确定感染人员为止.（1）求甲方案所通检测次数X和乙方案所需检测次数Y的概率分布；（2）如果每次检测的费用相同，请预测哪种方案检测总费用较少？并说明理由.22．(本题12分)已知函数，.（1）讨论函数的单调性；（2）若关于的不等式对任意恒成立，求实数的取值范围． 数学参考答案及评分标准 2021.10一、单选题(每题5分，共40分)1．A 2．B 3．A 4．A 5．B 6．B 7．D 8．D二、多选题(每题5分，对而不全得2分，共20分)9．ACD 10．ACD 11．BCD 12．BC三、填空题(每小题5分，共20分)13．43 14． 15．3克 16．四、解答题(共70分)17．（本题共10分）解（1）原式；（2）原式.18．（本题共12分）解：（1）证明：连接A1B交AB1于点O，连接OD1，则在平形四边形ABB1A1中，点O为A1B的中点，又点D1为A1C1的中点，所以OD1∥BC1，又OD1⊂平面AB1D1，B1C⊄平面AB1D1，所以BC1∥平面AB1D1．（2）V1＝＝＝＝V2 所以＝．19．（本题共12分）解： （1）当a＝﹣3时，函数f（x）＝x﹣﹣4lnx（x＞0），＝1+﹣＝＝，由＞0，可得0＜x＜1或x＞3，由＜0，可得1＜x＜3，所以f（x）的单调递增区间为（0，1），（3，+∞）；递减区间为（1，3）；（2）＝1﹣﹣＝，x＞0，f（x）在区间（0，+∞）上单调递增，即为≥0在区间（0，+∞）上恒成立，即a≤x2﹣4x＝（x﹣2）2﹣4在区间（0，+∞）上恒成立，由（x2﹣4x）min＝﹣4，得a≤﹣4，即a∈.20．（本题共12分）解： （1）取，中点，，连接，，.由，得，，又，所以平面.由，知四边形是平行四边形，则，平面，平面，所以平面，同理平面，且，所以平面平面，所以平面.（2）由，知四边形是以的等腰梯形.连接，则，又平面，所以，所以平面，又平面，所以平面平面，于是点在底面内的射影在上.（在平面中，，点在以AC为直径的圆上运动）取中点，则，于是当底面时，四棱锥的体积最大.如图，以为原点，分别以射线，，为，，轴的正半轴，建立空间直角坐标系.由题意得，，，，.所以，，.设平面的法向量，由，得，取，则.因此，直线与平面所成角的正弦值为.21．（本题共12分）解： （1）由题意可知的可取值为：，，，，所以的分布列为：由题意可知的可取值为：，包含两种情况：“检测第一组呈阳性，检测该组第一个人呈阳性”、“检测第一组呈阴性，检测另一组第一个人呈阳性”，所以，，所以的分布列为：（2）设每次的检测费用为，方案甲的检测费用为，方案乙的检测费用为，所以，所以，所以，故方案乙检测总费用较少.22．（本题共12分）解： （1），，．①若，则恒成立，故在上单调递增．②若，令，得．③若，则恒成立，故在上单调递减．综上所述，若，在上单调递增；若，在上单调递增，在上单调递减；若，在上单调递减．（2）令，故，所以，令，，下面证明，其中．令，，则．所以在上单调递增，故，所以当时，．所以，所以在上单调递增，故．①若，即，则，所以在上单调递增，所以对恒成立，所以符合题意．②若，即，此时，，且据及可得，故，所以．又的图象在上不间断，所以存在，使得，且当时，，在上单调递减，所以，其中，与题意矛盾，所以不符题意，舍去．综上所述，实数的取值范围是．0极大值