第07讲基本立体图形与直观图（核心考点讲与练）-2021-2022学年高一数学考试满分全攻略（人教A版2019必修第二册）（原卷版）

这是一份第07讲基本立体图形与直观图（核心考点讲与练）-2021-2022学年高一数学考试满分全攻略（人教A版2019必修第二册）（原卷版），共22页。试卷主要包含了几何体的结构特征及分类，简单组合体等内容，欢迎下载使用。
第07讲基本立体图形与直观图（核心考点讲与练）（一）基本立体图形  1、几何体的结构特征及分类名称定义图形特征分类棱柱一个多边形的点沿相同方向移动相等距离形成的多面体。1）侧棱平行且相等；2）底面平行且全等；3）不相邻侧棱截面是平行四边形。1）直棱柱和斜棱柱；2）正棱柱和非正棱柱；3）三棱柱、四棱柱等。棱锥一个面是多边形，其余各面有一个公共点的三角形的多面体。棱锥被平行于底面的平面所截，截面与底面相似，面积比等于高平方之比。1）三棱锥、四棱锥等；2）正棱锥和非正棱锥；棱台平行于底面的平面截去棱锥的多面体。1）两个面相互平行的多边形；2）其余各面是梯形，且相邻梯形的腰线共点。1）三棱台、四棱台等；2）正棱台和非正棱台。圆柱以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余三边旋转形成的几何体。1）两个底面是平行且全等的圆；2）轴截面是全等的矩形。无圆锥以直角三角形的一直角边为轴，其余各边旋转而成的曲面所形成的几何体。轴截面都是全等的等腰三角形。无圆台以直  等腰直角梯形垂直于底边  的腰所在的直线为轴，    其  其余各边旋转而成的曲   面  面几何体。轴截面都是全等的等腰梯形。无球到定点的距离等于或小于定长的点集合。1）大圆：截面过球心；小圆：截面不过球心；2）球心与不过球心的截面；3）平面截球面，截面是一个圆。无2、简单组合体简单组合体的构成有两种基本形式：一种是由简单几何体拼接而成；一种是由简单几何体截去或挖去而成，有多面体与多面体、多面体与旋转体、旋转体与旋转体的组合体．（二）立体图形的直观图 斜二测画法：
    （1）在已知图形中，取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O，画直观图时，把它们画成对应的x′和y′轴，两轴相交于点O′，且使∠x′O′y′=45°（或135°），它们确定的平面表示水平面；
   （2）在已知图形中平行于x轴、y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x′轴或y′轴的线段；
   （3）在已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持长度不变；平行于y轴的线段，长度为原来的一半。三视图    几何体的三视图包括主视图、俯视图、侧视图，分别是从几何体的正面、上面、侧面观察几何体画出的轮廓线。    考点一：几何体的结构特征一、单选题1．（2022·全国·高一）如图所示，三棱台截去三棱锥后，剩余部分几何体是（       ）A．三棱锥 B．三棱柱 C．四棱锥 D．不规则几何体2．（2022·全国·高一）用一个平面去截一个圆锥，得到的图形可能是（       ）A．矩形 B．圆形 C．梯形 D．正方形3．（2021·全国·高一课时练习）《九章算术》中有这样的图形：今有圆锥，下周三丈五尺，高五丈一尺（1丈尺）；若该圆锥的母线长尺，则（       ）A． B． C． D．4．（2022·全国·高一）下列说法中正确的是（       ）A．斜棱柱的侧面中可能有矩形B．有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥C．直角三角形绕它的一条边所在直线旋转一周形成的曲面围成的几何体是圆锥D．棱台各侧棱的延长线不一定交于一点5．（2022·全国·高一）关于如下图所示的4个几何体，说法正确的是（       ）A．只有②是棱柱 B．只有②④是棱柱C．只有①②是棱柱 D．只有①②④是棱柱6．（2022·全国·高一）用一个平面去截一个圆柱，得到的图形一定不是（       ）A．矩形 B．圆形 C．三角形 D．正方形7．（2021·全国·高一课时练习）将一个等腰梯形绕着它的较长的底边所在直线旋转一周，所得的几何体包括（       ）A．一个圆台、两个圆锥 B．一个圆台、一个圆柱C．两个圆台、一个圆柱 D．一个圆柱、两个圆锥8．（2022·全国·高一）棱台不具备的特点是（       ）A．两底面相似 B．侧面都是梯形C．侧棱长都相等 D．侧棱延长后都交于一点二、多选题9．（2022·全国·高一）（多选）一个几何体有6个顶点，则这个几何体可能是（       ）A．三棱柱 B．三棱台 C．五棱锥 D．四面体10．（2021·全国·高一课时练习）用一个平面去截一个圆台，得到的图形不可能是（       ）A．矩形 B．圆形 C．梯形 D．三角形 11．（2021·河北·衡水市冀州区第一中学高一期中）正方体的截面可能是其中（       ）A．钝角三角形 B．菱形 C．正五边形 D．正六边形三、概念填空12．（2022·全国·高一课时练习）判断正误．（1）圆锥有无数条母线，它们有公共点即圆锥的顶点，且长度相等．(        )（2）过圆锥的轴的截面是全等的等边三角形．(        )（3）圆台有无数条母线，且它们相等，但延长后不相交于一点．(        )13．（2022·全国·高一课时练习）下图是由哪个平面图形旋转得到的(        )A．     B．     C．     D．14．（2022·全国·高一课时练习）下列几何体是台体的是(        )A．   B．  C．   D．15．（2022·全国·高一课时练习）简单组合体（1）概念：由________组合而成的几何体叫做简单组合体．（2）构成形式：有两种基本形式：一种是由简单几何体________而成的；另一种是由简单几何体________一部分而成的．16．（2022·全国·高一课时练习）判断正误．（1）棱柱的底面互相平行．(        )（2）棱柱的各个侧面都是平行四边形．(        )（3）有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体叫棱锥．(        )17．（2022·全国·高一课时练习）空间几何体概念定义空间几何体在我们周围存在着各种各样的物体，它们都占据着空间的一部分．如果只考虑这些物体的______和______，而不考虑其他因素，那么由这些物体抽象出来的空间图形就叫做空间几何体多面体由若干个_______围成的几何体叫做多面体．围成多面体的各个多边形叫做多面体的______；两个面的________叫做多面体的棱；棱与棱的________叫做多面体的顶点旋转体一条平面曲线（包括直线）绕它所在平面内的一条定_______旋转所形成的________叫做旋转面，封闭的旋转面围成的几何体叫做旋转体，这条定直线叫做旋转体的_________18．（2022·全国·高一课时练习）下面多面体中，是棱柱的有(        )A．1个       B．2个       C．3个       D．4个四、填空题19．（2022·全国·高一）如图所示的几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得到的组合体，现用一个垂直于圆柱底面的平面去截这个组合体﹐则截面图形可能是______（填序号）． 20．（2022·全国·高一）以三棱台的顶点为三棱锥的顶点，这样可以把一个三棱台分成______个三棱锥．五、判断题21．（2021·全国·高一课时练习）一个棱柱至少有5个面．(        )22．（2022·湖南·高一课时练习）判断下列命题的真假．（1）有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体是棱柱．(        )（2）有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱．(        )（3）用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体是棱台．(        )（4）圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台．(        )六、解答题23．（2022·湖南·高一课时练习）圆柱、圆锥、圆台都是旋转体，它们在结构上有哪些相同点和不同点？当底面发生变化时，它们能否相互转化？如能，如何转化？   24．（2022·湖南·高一课时练习）指出下图中的几何体分别由哪些简单几何体组成．      25．（2022·湖南·高一课时练习）如图，用硬卡纸按图样画好并剪下，再沿图中虚线折起来粘好，得到了什么几何体？  26．（2021·全国·高一课时练习）用长、宽分别是与的矩形硬纸卷成圆柱的侧面，试求圆柱底面的半径.    27．（2022·湖南·高一课时练习）任做一个圆柱、圆锥、圆台，去掉其底面后，沿任意一条母线剪开，然后放在平面上展平，它们分别是什么样的平面图形？     28．（2022·湖南·高一课时练习）指出下图中的几何体是由哪些简单几何体组成的．   考点二：直观图一、单选题1．（2022·全国·高三阶段练习（文））某几何体的三视图（单位：）如图所示，则该几何体的外接球的表面积（单位：）为（       ）A． B． C． D．二、概念填空2．（2022·全国·高一课时练习）若把一个高为的圆柱的底面画在平面上，则圆柱的高应画成(        )A．平行于轴且大小为            B．平行于且大小为C．与轴成且大小为        D．与轴成且大小为3．（2022·全国·高一课时练习）判断正误．（1）用斜二测画法画水平放置的时，若的两边分别平行于x轴和y轴，且，则在直观图中，．(        )（2）用斜二测画法画平面图形的直观图时，平行的线段在直观图中仍平行，且长度不变．(        )4．（2022·全国·高一课时练习）利用斜二测画法画出边长为的正方形的直观图，正确的是图中的(        )A．   B．  C．   D．5．（2022·全国·高一课时练习）用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的步骤画轴在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O，画直观图时，把它们画成对应的轴和轴，两轴相交于点，且使______（或________），它们确定的平面表示画线已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于___________取长度已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中_______不变，平行于y轴的线段，在直观图中长度为原来的__________ 用斜二测画法画空间几何体的直观图的步骤（1）画底面，这时使用平面图形的斜二测画法即可．（2）画轴，轴过点，且与轴的夹角为，并画出高线（与原图高线相等，画正棱柱时只需要画侧棱即可），连线成图．（3）擦去辅助线，被遮线用虚线表示．几何体直观图的画法规则画几何体的直观图时，与画平面图形的直观图相比，只是多画一个与x轴、y轴都垂直的z之轴，并且使平行于z轴的线段的______和______都不变．三、解答题6．（2022·湖南·高一课时练习）画出下列图形的直观图：(1)棱长为4cm的正方体；(2)底面半径为2cm，高为4cm的圆锥．           7．（2022·湖南·高一课时练习）用斜二测画法得到一水平放置的直角三角形ABC如图所示，其中AC＝1，∠ABC＝30°，试求原三角形A′B′C′边B′C′上的高及△A′B′C′的面积.   .8．（2022·湖南·高一课时练习）画出图中简单组合体的直观图（尺寸单位：cm）．   9．（2022·湖南·高一课时练习）用斜二测画法画出下列水平放置的平面图形的直观图：(1)边长为的正三角形；(2)边长为的正方形；(3)边长为的正八边形．        10．（2022·全国·高一）用斜二测画法画出下列平面图形水平放置的直观图.    11．（2021·全国·高一课时练习）画水平放置的直角梯形的直观图，如图所示．   12．（2022·全国·高一）画底面边长为2cm，高为3cm的正四棱柱的直观图．   13．（2022·全国·高一）如图，已知点，，,用斜二测画法作出该水平放置的四边形的直观图，并求出面积.一、单选题1．（2022·全国·高三专题练习）过球心的平面截球所得的截面圆称之为球的大圆.对于球面上两点A，B，过点A，B的球的大圆的劣弧长称为点A与点B之间的球面距离.已知距球心距离为3的平面截球O得截面圆，点P，Q为圆上的两点，，若OP，OQ与所成的角均为，则点P与点Q之间的球面距离为（       ）A． B． C． D．2．（2021·湖南长沙·高二期末）在半径为2的球中挖去一个半径为1的同心球，设过球心的截面的面积为，不过球心的任意非圆面的截面的面积为，则（       ）A． B．C． D．､的大小关系不定3．（2021·全国·高一课时练习）我国南北朝时的数学家祖暅提出了计算体积的原理：“幂势既同，则积不容异”，意思是两个等高几何体，如果作任意高度为的水平截面截两个几何体所得截面面积相同，则两个几何体体积相同．如图是个红酒杯的杯体部分，它是由抛物线在的部分曲线以轴为轴旋转而成的旋转体，其上口半径为2，高度为4，那么以下几个几何体做成的容器与该红酒杯的容积相同的是（       ）．A．如图一是一个底面半径为2，高为4的圆锥B．如图二是一个横向放置的直三棱柱，高为，底面是一个两直角边均为4的直角三角形C．如图三是一个底面半径为2，高为4的圆柱挖去了同底等高的圆锥D．如图四是一个高为4的四棱锥，底面是长宽分别为和4的矩形4．（2021·安徽·高一阶段练习）有以下命题：①以半圆直径所在的直线为旋转轴旋转一周，其形成的面围成的旋转体是球；②用任意平面去截圆锥，所得的截面图形为圆；③若某圆锥的底面半径为，母线长为，则它的表面积为；④以直角三角形的任意一边所在直线为旋转轴旋转一周，其余两边形成的面围成的旋转体是圆锥．其中真命题的个数为（       ）A．1 B．2 C．3 D．45．（2021·浙江省富阳中学高三开学考试）如图所示，在正四棱锥中，，，它的内切球O与四个侧面分别相切于点E，F，G，H处，则四边形外接圆的半径为（       ）A． B．1 C． D．26．（2021·宁夏·贺兰县景博中学二模（文））位于北纬度的、两地经度相差，且、两地间的球面距离为为地球半径），那么等于（       ）A．30 B．45 C．60 D．757．（2019·重庆市第十一中学校高三阶段练习（理））已知三棱锥的直观图及其部分三视图如图所示，若三棱锥的四个表面中面积最大的一个三角形面积是，则三棱锥的外接球表面积为（       ）A． B． C． D．8．（2018·全国·高考真题（理））设是同一个半径为4的球的球面上四点，为等边三角形且其面积为，则三棱锥体积的最大值为A． B． C． D．9．（2021·黑龙江·哈尔滨三中高一期中）如图，在正方体中，，，分别为，，上靠近，，的三等分点，，，，，，分别是，，的三等分点，，，为分别是，，的中点，则平面过（       ）A．，， B．，， C．，， D．以上都不正确10．（2022·全国·高三专题练习）已知正三棱锥中，底面是边长为的正三角形，侧棱长为，为的中点，为中点，是的动点，是平面上的动点，则的最小值是（       ）A． B． C． D．二、多选题11．（2021·福建·文博中学高一期中）长方体的长、宽、高分别为3，2，1，则（       ）A．长方体的表面积为20B．长方体的体积为6C．沿长方体的表面从A到的最短距离为D．沿长方体的表面从A到的最短距离为12．（2022·全国·高三专题练习）已知球是正三棱锥的外接球，，点在线段上，且，过点作球的截面，则所得截面圆的面积可能是（       ）A． B． C． D．13．（2021·江苏·扬州中学模拟预测）如图，直四棱柱的底面是边长为2的正方形，，，分别是，的中点，过点，，的平面记为，则下列说法中正确的有（ ）A．平面截直四棱柱所得截面的形状为四边形B．平面截直四校柱所得被面的面积为C．平面将直四棱柱分割成的上、下两部分的体积之比为47:25D．点到平面的距离与点到平面的距离之比为1:2三、填空题14．（2021·全国·高二课时练习）一个底面边长为的正四棱锥，连接两个相邻侧面的重心，，则线段的长是______.15．（2020·浙江·高三竞赛）如图所示，在单位正方体上有甲、乙两个动点，甲从点匀速朝移动；乙从点匀速出发朝移动，到达后速度保持不变并折返.现甲、乙同时出发，当甲到达时，乙恰好在到达后折返到，则在此过程中，甲、乙两点的最近距离为__________.16．（2022·全国·高三专题练习（文））“敕勒川，阴山下．天似穹庐，笼盖四野．”的特征，诗中的“穹庐”即“毡帐”，屋顶近似圆锥，为了烘托节日气氛，计划在屋顶安装灯光带．某个屋顶的圆锥底面直径长8米，母线长6米，其中一条灯光带从该圆锥一条母线的下端点开始，沿侧面经过与该母线在同一轴截面的另一母线的中点，环绕一圈回到起点，则这条灯光带的最短长度是______米．17．（2021·全国·模拟预测（文））如图，正三棱锥P﹣ABC的顶点P为圆柱OO1的上底面的中心，底面ABC为圆柱下底面的内接等边三角形，四边形DEFG为圆柱的轴截面，BODG，，.现有一机器人从点A处开始沿圆柱的表面到达E点，再到达点P处，再从P处沿正三棱锥P﹣ABC的表面返回A处，则其最短的路程约为___________.(参考数据：，结果精确到)18．（2021·全国·模拟预测）一次体育课上，体育老师拿来3个篮球，1个排球，其中篮球半径都为10cm，排球半径为5cm，老师把这三个篮球两两相切的放在操场上（操场水平），再把排球放在篮球正上方，和下面3个篮球都相切，则排球上的点到地面的最小距离为 ___________cm.19．（2021·黑龙江·哈尔滨德强学校高三期中（理））已知一个几何体的正视图和侧视图如图（1）所示，其俯视图用斜二测画法所画出的水平放置的直观图是一个直角边长为1的等腰直角三角形如图（2）所示，则此几何体的体积为_________20．（2021·全国·高二课时练习）如果一个水平放置的图形用斜二测画法画出的直观图是一个底角为45°，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是______.21．（2021·全国·高一课时练习）用斜二测画法画出的某平面图形的直观图如图，边平行于轴，与平行于轴．已知四边形的面积为，则原平面图形的面积为________．22．（2022·江苏宿迁·高三期末）已知一个棱长为的正方体木块可以在一个圆锥形容器内任意转动，若圆锥的底面半径为2，母线长为4，则的最大值为__________.23．（2022·河南郑州·高三阶段练习（文））已知一圆柱的轴截面为正方形，母线长为，在该圆柱内放置一个棱长为a的正四面体，并且正四面体在该圆柱内可以任意转动，则a的最大值为__________．   四、解答题24．（2021·上海大学附属南翔高级中学高二期中）如图所示，一只小蚂蚁正从圆锥底面上的点A沿圆锥体的表面匀速爬行一周，又绕回到点A，已知该圆锥体的底面半径为，母线长为，试问小蚂蚁沿怎样的路径如何爬行，才能最快到达点A?并求出该路径的长.25．（2021·全国·高一课时练习）用一个平面截正方体，截面的形状会是什么样的？请你给出截面图形的分类原则，找到截得这些形状截面的方法，画出这些截面的示意图．例如，可以按照截面图形的边数进行分类：(1)如果截面是三角形，可以截出几类不同的三角形？为什么？(2)如果截面是四边形，可以截出几类不同的四边形？为什么？(3)能否截出正五边形？为什么？(4)是否存在正六边形的截面？为什么？(5)有没有可能截出边数超过6的多边形？为什么？           26．（2022·全国·高一）用厚纸按如下三个图样画好后剪下，再沿图中虚线折起来粘好，得到的分别是什么空间图形？     27．（2021·全国·高二课时练习）已知正四棱台上､下底面的边长和侧棱长分别是3，x，5，设棱台的斜高为y，求出y与x的函数关系式，并求该函数的定义域与值域.     28．（2021·山西·岢岚县中学校高一阶段练习）如图，直四棱柱侧棱长为4cm，底面是长为5cm 宽为3cm的长方形．一只蚂蚁从顶点A出发沿棱柱的表面爬到顶点B．求：（1）蚂蚁经过的最短路程；（2）蚂蚁沿着棱爬行（不能重复爬行同一条棱）的最长路程．   29．（2021·河北石家庄·高一阶段练习）如图，在正三棱锥中，D，E，F，G分别为的中点．（1）证明：D，E，F，G四点共面，且平面．（2）刻画空间弯曲性是几何研究的重要内容，用“曲率”刻画空间弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制）．例如：正四面体每个顶点均有3个面角，每个面角均为，故各个顶点的曲率均为．若正三棱锥在顶点S的曲率为，且，求四边形的面积．    30．（2020·全国·高一课时练习）如图所示，三棱柱中，若，分别为，的中点，平面将三棱柱分成体积分别为，的两部分，那么等于多少?  31．（2021·全国·高一课时练习）用斜二测画法得到的多边形的直观图为多边形，试探索多边形与多边形的面积之间有无确定的数量关系.     32．（2021·上海·高二专题练习）定义空间点到几何图形的距离为：这一点到这个几何图形上各点距离中最短距离.（1）在空间，求与定点距离等于1的点所围成的几何体的体积和表面积；（2）在空间，线段(包括端点)的长等于1，求到线段的距离等于1的点所围成的几何体的体积和表面积；（3）在空间，记边长为1的正方形区域(包括边界及内部的点)为，求到距离等于1的点所围成的几何体的体积和表面积.