2021-2022学年山西省怀仁市第一中学校云东校区高二下学期第三次月考数学（文）试题解析版

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山西省怀仁市第一中学校云东校区2021-2022学年高二下学期第三次月考数学（文）试题

总分：150分；考试时间：120分钟

一、选择题（共12小题，每小题5.0分，共60分）

1．若的展开式共有12项，则（    ）

A．11                B．12                 C．13                 D．14

2．将4个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（    ）

A．                B．                 C．                D．

3．设为正方形的中心，在，，，，中任取3点，则取到的3点共线的概率为（    ）

A．                B．                 C．                D．

4．已知随机变量满足，，下列说法正确的是（    ）

A．，                  B．，

C．，                 D．，

5．设两个正态分布和的密度函数图象如图，则有（    ）

A．，                        B．，

C．，                        D．，

6．10张奖券中有3张是有奖的，若某人从中依次抽取两张，则在第一次抽到中奖券的条件下，第二次也抽到中奖券的概率是（    ）

A．                B．                 C．               D．

7．在正方体中，为的中点，则直线与所成的角为（    ）

A．                B．                C．                D．

8．在长方体中，，与平面所成的角为，则该长方体的体积为（    ）

A．8                 B．               C．             D．

9．若过点的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线的距离为（    ）

A．              B．              C．              D．

10．已知，则等于（    ）

A．               B．5                  C．90                 D．180

11．某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率和温度（单位：℃）的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据得到下面的散点图：

由此散点图，在10℃至40℃之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率和温度的回归方程类型的是（    ）

A．        B．         C．       D．

12．如图，在下列四个正方体中，、为正方体的两个顶点，、、为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线与平面不平行的是（    ）

A．   B．    C．   D．

二、填空题（共4小题，每小题5.0分，共20分）

13．的展开式中项的系数是________．

14．直线和圆相交于，两点．若，则的值为________．

15．某人射击8枪，命中4枪，4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为________．

16．某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为，则的方差为________．

三、解答题（共6小题，共70分，17题10分，其余各题每题12分）

17．求下列圆的方程（每小题5分，共10分）

（1）若圆的半径为1，其圆心与点关于直线对称，求圆的标准方程；

（2）过点的圆与直线相切于点，求圆的标准方程．

18．甲、乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两台机床产品的质量，分别用两台机床各生产了200件产品，产品的质量情况统计如下表：

（1）甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少？

（2）根据的独立性检验，能否认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异？

附：

19．在正方体中，为的中点．

（1）求证：平面；（6分）

（2）求直线与平面所成角的正弦值．（6分）

20．下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额（单位：亿元）的折线图．为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额，建立了与时间变量的两个线性回归模型．根据2000年至2016年的数据（时间变量的值依次为1，2，…，17）建立模型①：；根据2010年至2016年的数据（时间变量的值依次为1，2，…，7）建立模型②：．

（1）分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值；

（2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由．

21．设甲、乙两位同学上学期间，每天7:30之前到校的概率均为．假定甲、乙两位同学到校情况3互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立．

（1）用表示甲同学上学期间的三天中7:30之前到校的天数，求变量的分布列和数学期望；

（2）设为事件“上学期间的三天中，甲同学在7:30之前到校的天数比乙同学在7:30之前到校的天数恰好多2”，求事件发生的概率．

22．如图，在三棱锥中，平面平面，，为的中点．

（1）证明：；（5分）

（2）若是边长为1的等边三角形，点在棱上，，且二面角的大小为，求三棱锥的体积．（7分）

高二文科数学月考三答案解析

1．【答案】A

【解析】由二项式定理知展开式共有项，所以，即．故选A．

2．【答案】C

【解析】将4个1和2个0随机排成一行，可利用插空法，4个1产生5个空，

若2个0相邻，则有种排法，若2个0不相邻，则有种排法，

所以2个0不相邻的概率为．故选：C．

3．【答案】A

【解析】从，，，，5个点中任取3个有，，，，，，，，，共10种不同取法，3点共线只与共2种情况，由古典概型的概率计算公式知，取到3点共线的概率为．故选：A．

4．【答案】D

【解析】：已知，，根据均值和方差的性质可得，，解得，．故选D．

5．【答案】A

【解析】反映的是正态分布的平均水平，是正态密度曲线的对称轴，由图可知；反映的正态分布的离散程度，越大，越分散，曲线越“矮胖”，越小，越集中，曲线越“瘦高”，由图可知．故选A．

6．【答案】B

【解析】在第一次抽中奖后，剩下9张奖券，且只有2张是有奖的，所以根据古典概型可知，第二次中奖的概率，故选B．

7．【答案】D

【解析】在正方体，连接，，，因为，

所以或其补角为直线与所成的角，

因为平面，所以，又，，所以平面，所以，

设正方体棱长为2，则，，，所以．

8．【答案】C

【解析】在长方体中，连接，根据线面角的定义可知，因为，所以，从而求得，所以该长方体的体积为，故选C．

9．【答案】B

【解析】由于圆上的点在第一象限，若圆心不在第一象限，

则圆与至少与一条坐标轴相交，不合乎题意，所以圆心必在第一象限，

设圆心的坐标为，则圆的半径为，圆的标准方程为．

由题意可得，可得，解得或，

所以圆心的坐标为或，圆心到直线的距离均为．

10．【答案】D

【解析】因为，所以．

11．【答案】D

【解析】由散点图分布可知，散点图分布在一个对数函数的图象附近，因此，最适合作为发芽率和温度的回归方程类型的是．

12．【答案】D

13．【答案】

【解析】在的展开式的通项中，令，得，即得的展开式中项的系数为．故选A．

14．【答案】5

【解析】因为圆心到直线的距离，

由可得，解得．

15．【答案】20

16．【答案】360

17．【答案】（1）；（2）

【解析】（1）因为关于的对称点为，所以圆是以为圆心，以1为半径的圆，其方程为．

（2）由题意知，两点在圆上，∴线段的垂直平分线过圆心．

又圆与直线相切于点，∴．

∴直线的方程为，即．

与联立得圆心的坐标为，

∴．∴圆的方程为．

18．【答案】（1）75%；60%；（2）能．

【解析】（1）甲机床生产的产品中的一级品的频率为，

乙机床生产的产品中的一级品的频率为．

（2）零假设：甲机床的产品与乙机床的产品质量无差异

由公式得：

，

根据的独立性检验，我们推断不成立，即认为甲机床的产品与乙机床的产品质量有差异，此推断犯错误的概率不大于0.05．

19．【解析】（1）在正方体中，且，且，∴且，所以，四边形为平行四边形，则，∵平面，平面，∴平面；

（2）以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则、、、，，，

设平面的法向量为，

由，得，

令，则，，则，．

因此，直线与平面所成角的正弦值为．

20．【答案】（1）利用模型①预测值为226.1，利用模型②预测值为256.5；（2）利用模型②得到的预测值更可靠．

【解析】（1）利用模型①，该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为（亿元）．利用模型②，该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为（亿元）．

（2）利用模型②得到的预测值更可靠．

理由如下：

（ⅰ）从折线图可以看出，2000年至2016年的数据对应的点没有随机散布在直线上下，这说明利用2000年至2016年的数据建立的线性模型①不能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋势．2010年相对2009年的环境基础设施投资额有明显增加，2010年至2016年的数据对应的点位于一条直线的附近，这说明从2010年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势，利用2010年至2016年的数据建立的线性模型可以较好地描述2010年以后的环境基础设施投资额的变化趋势，因此利用模型②得到的预测值更可靠．

（ⅱ）从计算结果看，相对于2016年的环境基础设施投资额220亿元，由模型①得到的预测值226.1亿元的增幅明显偏低，而利用模型②得到的预测值的增幅比较合理，说明利用模型②得到的预测值更可靠．

21．【答案】（1）见解析；（2）

【解析】（1）因为甲同学上学期间的三天中到校情况相互独立，且每天7:30之前到校的概率均为，故，从而．

所以，随机变量的分布列为：

随机变量的数学期望．

（2）设乙同学上学期间的三天中7:30之前到校的天数为，则．

且．

由题意知事件与互斥，

且事件与，事件与均相互独立，

从而由（1）知：

．

22．【答案】（1）详见解析；（2）

【解析】（1）因为，为中点，所以

因为平面平面，平面平面，平面，因此平面，

因为平面，所以

（2）作于，作于，连

因为平面，所以，

所以，，，因此平面，即

因为，，所以平面，即

则为二面角的平面角，

因为，为正三角形，所以为直角三角形

因为，∴

从而，∴

平面，

所以．