2022届内蒙古呼和浩特第二中学（呼和浩特市）高三第二次质量数据监测数学（文）试题含解析

2022届内蒙古呼和浩特第二中学（呼和浩特市）高三第二次质量数据监测数学（文）试题

一、单选题

1．已知集合，满足，，，则集合（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据给定条件，结合交集、并集的定义推理求解作答.

【详解】因，而，则，且，

又，则还有，

所以.

故选：B

2．复数在复平面内对应的点为，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】复数在复平面内对应的点为，可得到复数的代数形式，计算即可求解.

【详解】因为复数在复平面内对应的点为，

所以，所以，

故选：A.

3．（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由诱导公式化简求值即可.

【详解】，

故选：A

4．如图所示程序框图，其输出值（       ）

A．24 B．25 C．26 D．27

【答案】A

【分析】根据给定的程序框图，逐次计算，结合判断条件，即可求解.

【详解】根据给定的程序框图，可得：

第1次循环，满足判断条件，；

第2次循环，满足判断条件，；

第3次循环，满足判断条件，；

第4次循环，满足判断条件，；

第5次循环，不满足判断条件，输出；

故选：A.

5．已知，则随机选取1个，取到的使的概率为（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】先求出不等式的解，再利用几何概型求解.

【详解】因为，，

所以，

所以随机选取1个，取到的使的概率为.

故选：C.

6．非零向量，，满足，与的夹角为，，则在上的正射影的数量为（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】利用垂直的向量表示，再利用正射影的数量的意义计算作答.

【详解】非零向量，，满足，则，即，又与的夹角为，，

所以在上的正射影的数量.

故选：D

7．已知双曲线：的右焦点为，点在双曲线的一条渐近线上，为坐标原点.若，则的面积为（       ）

A． B． C．1 D．

【答案】B

【分析】由题意可知点在线段的中垂线上，由此可求出点的横坐标，再根据渐近线方程，即可求出点的纵坐标，根据三角形面积公式即可求出结果.

【详解】因为双曲线，可知右焦点为，

又，

所以点在线段的中垂线上，所以点的横坐标为，

又双曲线的渐近线方程为，

所以点的纵坐标为，即的高为，

所以的面积为.

故选：B.

8．已知直线与圆交于，两点，若该圆的一条直径过弦的中点，则这条直径所在的直线方程为（       ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】依题意得这条直径所在的直线与直线垂直，又经过原点即可求解直线方程．

【详解】若该圆的一条直径过弦的中点，则这条直径所在的直线与直线垂直，

故这条直径所在的直线的斜率为，圆的圆心为

所以这条直径所在的直线方程为，化为．

故选：C

9．图形是信息传播､互通的重要的视觉语言，《画法几何》是法国著名数学家蒙日的数学巨著，该书在投影的基础上，用“三视图"来表示三维空间中立体图形.即做一个几何体的“三视图”，需要分别从几何体正面、左面、上面三个不同角度观察，从正投影的角度作图.下图中粗实线画出的是某三棱锥的三视图，且网格纸上小正方形的边长为1，则该三棱锥的外接球的表面积为（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据给定的三视图，作出原几何体，借助正方体即可计算作答.

【详解】依题意，如图，三棱锥是给定的三视图对应的三棱锥，其中两两垂直，且，

三棱锥与以为棱的正方体有共同的外接球，其直径是该正方体的体对角线，

因此，三棱锥的外接球直径，其表面积，

所以该三棱锥的外接球的表面积为.

故选：B

10．将函数的图象向右平移个单位后得到的函数图象关于直线对称，则的最小值为（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据三角函数的图象变换，求得，结合，列出三角方程，即可求解.

【详解】将函数的图象向右平移个单位后，

可得，

因为的图象关于直线对称，，

即，可得，解得，

又因为，所以的最小值为.

故选：A.

11．已知函数，则图象为下图的函数可能是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】根据函数图象得到函数为奇函数，根据选项中的函数奇偶性，可得排除A、B；求得函数的导数，结合函数的单调性，可排除C项，即可求解.

【详解】由题意，函数，根据函数图象可得函数图象关于原点对称，所以函数为奇函数，

对于A中，函数不是奇函数，所以A不符合题意；

对于B中，函数不是奇函数，所以B不符合题意；

对于C中，函数此时函数为奇函数，

又由，当时，，此时函数在区间单调递增，而图象中先增后减，所以C不符合题意.

故选：D.

12．函数满足，，函数的图象关于点对称，则（       ）

A．-8 B．0 C．-4 D．-2

【答案】B

【分析】先利用函数关于对称，得到是奇函数，然后求出，最后利用函数的周期性求的值．

【详解】∵关于对称，

∴关于对称，即是奇函数，

令得，，即，解得．

∴，即，

∴，即函数的周期是4．

∴．

故选：B.

二、填空题

13．某市2017年至2021年新能源汽车年销量（单位：百台）与年份代号的数据如下表.

若根据表中的数据用最小二乘法求得关于的回归直线方程为，则表中的值为___________.

【答案】30

【分析】根据回归直线方程经过样本中心,将代入中,即可求解.

【详解】由图表数据可知,,将代入中得,解得.

故答案为:

14．观察下列算式：，用你所发现的规律可求得的末位数字是___________.

【答案】4

【分析】根据给定信息，总结规律并按此规律推理作答.

【详解】依题意，的个位数字只可能为2，4，8，6之一，并且是以4为周期重复出现，

而，则的末位数字与的末位数字相同，

所以的末位数字是4.

故答案为：4

15．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其中，且，则的面积为___________.

【答案】

【分析】利用正弦定理可得，进而求得，再利用面积公式，即得.

【详解】∵，，

∴，又，

∴，即，

∴．

故答案为：.

16．若，，，则x、y、z由小到大的顺序是___________.

【答案】

【分析】把给定的三个等式作等价变形，比较函数的图象与曲线交点的横坐标大小作答.

【详解】依题意，，，，，

因此，成立的x值是函数与的图象交点的横坐标，

成立的y值是函数与的图象交点的横坐标，

成立的z值是函数与的图象交点的横坐标，

在同一坐标系内作出函数，的图象，如图，

观察图象得：，即，所以x、y、z由小到大的顺序是.

故答案为：

【点睛】思路点睛：涉及某些由指数式、对数式给出的几个数大小比较，可以把这几个数视为对应的

指数、对数函数与另外某个函数图象交点横坐标，利用图象的直观性质解决.

三、解答题

17．从①，②，这两个条件中选择一个补充到下面问题中，并完成解答.

问题：已知数列的前项和为，且___________.

(1)写出所选条件的序号，并求数列的通项公式；

(2)若数列为等差数列，，，，成等差数列，求数列的前项和.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）选择①：利用可得；

选择②：利用可得；

（2）求出数列利用裂项相消可得答案.

【详解】(1)选择①：

∵，∴①，

当时，②，

①-②得，

即：，

当时，，满足上式，

∴.

选择②：

∵①，

当时，②，

①-②得，

即：，

当时，，即，

∴数列是以2为公比，2为首项的等比数列.

∴.

(2)设等差数列的公差为，

∴，，成等差数列，

∴，∴，

又，∴，

∴，，

∴.

18．我国是世界上严重缺水的国家，尤其是华北和西北地区.华北地区某巿政府为了鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准（单位：吨），若一位居民的月用水量不超过的部分按第一阶梯平价收费，超出的部分按议价收费.为此首先需要了解居民用水情况，通过抽样，获得了过去一年100位居民每人的月平均用水量（单位：吨），将数据按照分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图.

(1)求直方图中的值；

(2)设该市有300万居民，估计全市居民中月平均用水量不低于3吨的人数，并说明理由；

(3)若该市政府确定的月用水量标准（吨），根据频率分布直方图，估计该市居民每月按第一阶梯平价收费的人数所占的百分比，并说明理由.

【答案】(1)

(2)（万人），理由见解析

(3)85%，理由见解析

【解析】(1)

由频率分布直方图可得：

解得：.

(2)由频率直方图可知，100位居民每人月平均用水量不低于3吨的频率为.

由以上样本的频率分布，可以估计全市300万居民中月平均用水量不低于3吨的概率约为0.12，故人数为（万人）

(3)前5组的频率之和为

在第6组中，.

所以，估计月平均用水量为2.9吨时，85%的居民每月用水按第一阶梯平价收费.

19．已知函数.

(1)当时，求曲线在点处的切线方程；

(2)当时，恒成立，求的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）求得、，利用导数的几何意义可得出所求切线的方程；

（2）分析可知，恒成立，令，利用导数分析其最大值，可求得实数的取值范围．

【详解】(1)当时，，，

，

∴切线方程为，即：．

(2)由题意知：在时恒成立

即：在时恒成立．

令，，∴，

令，令

∴在上单调递增，在上单调递减．

∴，∴．

20．如图，在三棱柱中，侧棱底面，，，､分别是，的中点.

(1)证明：平面；

(2)试探究三棱锥的体积与三棱锥的体积之比是否为定值，若是定值，再进一步求出此定值；若不是，请说明理由.

【答案】(1)证明见解析

(2)是定值，定值为

【分析】（1）由已知可得，则∽，所以有，结合已知可得，平面，则，再利用线面垂直的判定定理可证得结论，

（2）利用等体积法可得结论

【详解】(1)证明：在三棱柱中，

所以，

所以，

所以，

所以∽，所以

因为，，

所以即：

所以且为的中点

所以

又已知得在直三棱柱中，平面平面，且交于

所以平面，所以.

又因为，所以平面.

(2)结论：三棱锥的体积与三棱锥的体积比是定值.

设，则，

因为､分别是，的中点，

所以，

所以，

，

由等体积法可知：

，，

.

21．已知椭圆：的离心率为，为坐标原点，点在椭圆上.

(1)求椭圆的方程；

(2)已知过点的直线与椭圆C交于M，N两点，点，求证：.

【答案】(1)；

(2)证明见解析.

【分析】（1）利用给定条件，列出关于椭圆半焦距c及a，b的方程组求解作答.

（2）直线l不垂直于y轴时，设出其方程并与椭圆C的方程联立，借助韦达定理计算直线MQ，NQ的斜率即可推理得解，再讨论l垂直于y轴情况作答.

【详解】(1)椭圆C的半焦距c，依题意，，解得，，，

所以椭圆C的方程为.

(2)当直线垂直于y轴时，点M，N为椭圆长轴端点，有，

当直线不垂直于y轴时，设直线的方程为，，，

由消去x并整理得：，则，，

直线MQ的斜率，直线NQ的斜率，

，

于是得直线MQ与直线NQ的倾斜角互补，则，

综上：过点的直线，总有成立.

【点睛】思路点睛：涉及动直线与圆锥曲线相交满足某个条件问题，可设出直线方程，再与圆锥曲线方程联立，利用韦达定理并结合已知推理求解.

22．在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，两坐标系取相同单位长度，直线的极坐标方程为.

(1)求曲线的普通方程和直线的直角坐标方程；

(2)求曲线上的点到直线距离的最小值.

【答案】(1)，；

(2).

【分析】（1）消去曲线C的参数方程中的参数即可得解，利用极坐标与直角坐标互化得直线的直角坐标方程作答.

（2）设出曲线C上任意一点的坐标，利用点到直线距离公式及辅助角公式求解作答.

【详解】(1)由（为参数），消去参数得，

所以曲线的普通方程为，

把代入直线的极坐标方程得：，

所以直线的直角坐标方程为.

(2)由（1）知，曲线的参数方程为（为参数），

设为曲线上一点，到直线的距离为，

则，其中锐角由确定，

因此，当时，取到最小值，

所以曲线上的点到直线距离的最小值为.

23．已知函数.

(1)求不等式的解集；

(2)令的最小值为.若正实数，，满足，求证：.

【答案】(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）零点分段法解绝对值不等式；（2）在第一问的基础上得到，用基本不等式“1”的妙用求解最值，证明出结论.

【详解】(1)

由得：

或或

解得：或或

综上所述：不等式的解集是.

(2)证明：由（1）中函数的单调性可得

∴，

当且仅当时等号成立.