2022届湖南省长沙市第一中学高三下学期一模数学试题含解析

2022届湖南省长沙市第一中学高三下学期一模数学试题

一、单选题

1．设集合A，B满足，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】利用集合A，B的运算结果以及集合A，结合选项可得集合B．

【详解】，

故选：B

2．已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，且，，则“”是“”的（       ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件

【答案】B

【分析】根据垂直关系的性质可判断.

【详解】由题，，则或，

若，则或或与相交，故充分性不成立；

若，则必有，故必要性成立，

所以“”是“”的必要不充分条件.

故选：B.

3．某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍．实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例．得到如下饼图：

则下面结论中不正确的是（    ）

A．新农村建设后，种植收入减少

B．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上

C．新农村建设后，养殖收入增加了一倍

D．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半

【答案】A

【分析】首先设出新农村建设前的经济收入为M，根据题意，得到新农村建设后的经济收入为2M，之后从图中各项收入所占的比例，得到其对应的收入是多少，从而可以比较其大小，并且得到其相应的关系，从而得出正确的选项.

【详解】设新农村建设前的收入为M，而新农村建设后的收入为2M，

则新农村建设前种植收入为0.6M，而新农村建设后的种植收入为0.74M，所以种植收入增加了，所以A项不正确；

新农村建设前其他收入我0.04M，新农村建设后其他收入为0.1M，故增加了一倍以上，所以B项正确；

新农村建设前，养殖收入为0.3M，新农村建设后为0.6M，所以增加了一倍，所以C项正确；

新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的综合占经济收入的，所以超过了经济收入的一半，所以D正确；

故选A.

点睛：该题考查的是有关新农村建设前后的经济收入的构成比例的饼形图，要会从图中读出相应的信息即可得结果.

4．《九章算术》是我国古代的一本数学名著.全书为方田、粟米、衰分、少广、商功、均输、盈不足、方程、勾股九章，收有246个与生产、生活实践有联系的应用问题.在第六章“均输”中有这样一道题目：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何？”其意思为：“现有五个人分5钱，每人所得成等差数列，且较多的两份之和等于较少的三份之和，问五人各得多少？”在此题中，任意两人所得的最大差值为多少？（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】设每人分到的钱数构成的等差数列为，公差，由题意可得，，，结合等差数列的通项公式及求和公式即可求解．

【详解】解：设每人分到的钱数构成的等差数列为，公差，

由题意可得，，，

故，，

解可得，，，

故任意两人所得的最大差值．

故选：B．

【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式及求和公式在实际问题中的应用，属于基础题．

5．已知，则的值为（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】利用两角差的正弦公式化简可得，根据同角三角函数的基本关系和二倍角的正弦公式即可得出结果.

【详解】由

得，

即，等式两边同时平方，

得，所以.

故选：B.

6．若函数为偶函数，对任意，且，都有，则有（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】由已知可知的对称轴为，且在上为单调递减函数.由，可确定，从而可选择正确选项.

【详解】解：因为函数为偶函数，所以的对称轴为；

又对任意，且有，则

在上为单调递减函数.因为，

，，所以，

即.

故选:A.

【点睛】本题考查了函数的对称性，考查了函数的单调性.本题的关键是由已知条件分析出函数的对称轴以及函数的单调区间.

7．如图，，是双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线左、右两支分别交于点，．若，为的中点，且，则双曲线的离心率为（       ）

A． B． C． D．2

【答案】A

【解析】根据双曲线的定义，结合几何关系，用表示出三角形的三条边，由余弦定理即可求得结果.

【详解】连接，，设，则由已知可得．

∵，为双曲线上的点，

∴，．

∵为的中点，且，

∴．∴．∴．

∴，，．

∵在直角中，．

∴．

∴．∴．

故选：A．

【点睛】本题考查双曲线离心率的求解，涉及双曲线的定义，属中档题.

8．已知，，，则，，的大小关系是（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】令函数，利用导数求得函数的单调性，得到，再根据，，，结合题意，，，得到，分别求得，，，即可求解.

【详解】令函数，则，

当时，，函数单调递增，

当时，，函数单调递减，

所以，所以，

因为，，，

所以，，，

所以，即，

因为，可得，

又因为，则，

同理，，所以，，

因为当时，，函数单调递减，所以．

故选：C．

【点睛】方法点拨：设函数，求得当时，函数单调递增，当时，函数单调递减，得到，得出，结合函数的单调性进行比较是解答的关键.

二、多选题

9．已知复数满足，则下列关于复数的结论正确的是（       ）

A．

B．的虚部为

C．复数的共轭复数

D．复数是方程的一个根

【答案】ACD

【分析】先由求出复数，然后逐个分析判断即可

【详解】解：由，得，

所以，所以A正确，

复数的虚部为1，所以B错误，

复数的共轭复数，所以C正确，

因为，所以复数是方程的一个根，所以D正确，

故选：ACD

10．已知向量，是平面内的一组基向量，O为内的定点，对于内任意一点P，当时，则称有序实数对为点P的广义坐标．若点A，B的广义坐标分别为，，关于下列命题正确的是（       ）

A．线段A，B的中点的广义坐标为

B．A，B两点间的距离为

C．若向量平行于向量，则

D．若向量垂直于向量，则

【答案】AC

【分析】由题目给的定义结合向量的线性运算、向量的模长、向量的平行及垂直依次判断4个选项即可.

【详解】根据题意得，设A，B的中点为，则，

故线段A，B的中点的广义坐标为，A正确；

，故，

当向量，是相互垂直的单位向量时，A，B两点间的距离为，否则距离不为，B错误；

与平行，当与存在时，结论显然成立，当与都不为时，设，

则，即，，，所以，故C正确；，当与为相互垂直的单位向量时，

与垂直的充要条件是，故D不正确.

故选：AC．

11．已知函数的图象关于直线对称，则（       ）

A．函数为奇函数

B．函数在上单调递增

C．若，则的最小值为

D．函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象

【答案】ACD

【分析】由题可知，，即可得到；对A，，结合正弦函数性质即可判断；对B，由即可判断；对C，即判断两相邻对称轴的距离；对D，按照图象平移原则判断即可.

【详解】∵函数的图象关于直线对称，

∴，，

∵，∴，∴，

对于A，函数，根据正弦函数的奇偶性，因此函数是奇函数，故A正确；

对于B，由于，，函数在上不单调，故B错误；

对于C，因为，，又因为，的周期为，

所以的最小值为，C正确；

对于D，函数的图象向右平移个单位长度得到函数，故D正确，

故选：ACD

12．在棱长为1的正方体中，点P满足，，，则以下说法正确的是（       ）

A．当时，平面

B．当时，存在唯一点P使得DP与直线的夹角为

C．当时，的最小值为

D．当点P落在以为球心，为半径的球面上时，的最小值为

【答案】ACD

【分析】根据已知条件，结合向量关系，分别对答案进行空间关系的判断和求值即可.

【详解】当时，如图（1），的轨迹为线段，由正方体的结构特征，可知平面平面，而平面，∴平面，故A正确；

当时，如图（1），点的轨迹为线段，直线直线，当与重合时，与直线所成角最大，即与直线所成角最大，最大为，故B错误；

当时，如图（2），点轨迹为线段，将三角形旋转至平面内，可知．故C正确；

当点落在以为球心，为半径的球面上时，点的轨迹为以为圆心，1为半径的四分之一圆弧，取圆弧中点时．故D正确．

故选：ACD．

三、填空题

13．的展开式中常数项为________．（用数字作答）

【答案】

【解析】利用二项式定理求出通项公式，再根据的取值，即可得答案；

【详解】的展开式的通项公式

当和时，可得展开式中常数项为，

故答案为：.

【点睛】本题考查二项式定理求指定项的系数，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意符号问题.

14．已知直线：与圆交于两点，过分别作的垂线与轴交于两点.则_________.

【答案】4

【详解】试题分析：由，得，代入圆的方程，整理得，解得，所以，所以．又直线的倾斜角为，由平面几何知识知在梯形中，．

【解析】直线与圆的位置关系

【技巧点拨】解决直线与圆的综合问题时，一方面，要注意运用解析几何的基本思想方法（即几何问题代数化），把它转化为代数问题；另一方面，由于直线与圆和平面几何联系的非常紧密，因此，准确地作出图形，并充分挖掘几何图形中所隐含的条件，利用几何知识使问题较为简捷地得到解决．

15．有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6．从中有放回的随机取两次，每次取1个球，A表示事件“第一次取出的球的数字是1”，B表示事件“第二次取出的球的数字是2”．C表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，D表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则下列命题正确的序号有______．

①A与C互斥；②；③A与D相互独立；④B与C相互独立．

【答案】①③

【分析】由互斥事件的定义可判断①；分别列举事件和事件的样本点，可求得，，易知，，由相互独立公式可判断③，④；由条件概率公式可判断②.

【详解】因为与不可能同时发生，所以与互斥，故①正确；

包含：，，，，，共5个基本事件，包含：，，，，，，共6个基本事件，

故，，，，

则，故③正确；

，故④错误；

，故②错误；

故答案为：①③

四、双空题

16．已知数列的各项都是正数，.若数列各项单调递增，则首项的取值范围是___________；当时，记，若，则整数___________.

【答案】     （0，2）    

【分析】本题根据正数数列是单调递增数列，可列出，化简求出的取值范围，由此可得的取值范围；采用裂项相消法求出的表达式，然后求其范围，即可得到结果．

【详解】由题意，正数数列是单调递增数列，且，

，解得，

．

．

，

．

又由，可得：．

．

，

．

，且数列是递增数列，

，即，

．

整数．

故答案为：；4．

【点睛】本题考查了数列递推关系、裂项相消法的应用和数列的周期性，考查了推理能力与不等式的计算能力，属于较难的中档题．

五、解答题

17．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．

(1)求B；

(2)若点D在边AC上（不与A，C重合）______，，求面积的最值．

请在①；②；③这三个条件中选择一个，补充在上面的横线上，并完成解答．

【答案】(1)

(2)答案不唯一，具体见解析

【分析】（1）根据，利用正弦定理得到，再结合求解；

（2）若选①，由平方，结合基本不等式求解；若选②，由，结合基本不等式求解；若选③，由得到，然后平方，利用余弦定理结合基本不等式求解.

【详解】(1)解：因为，

由正弦定理得．

因为，所以．

由，可得，

故．

因为，

故，

因此．

(2)若选①，则，

∴．

∴．

当且仅当时取得最大值，无最小值．

若选②，∴，

∴，．

∴．

当且仅当时取得最小值，无最大值．

若选③．

∵，

∴．

∴．

当且仅当时取得最小值，无最大值．

18．已知数列的前n项和为，，．

(1)证明：数列为等比数列；

(2)在和中插入k个数构成一个新数列：，，，，，，，，，，…，其中插入的所有数依次构成数列，通项公式．求数列的前30项和．

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）由已知及，求得的递推关系，从而可证为等比数列得；

（2）插入k个数构成一个新数列，则数列的前30项和包含了数列的前7项及数列的前23项，采用分组求和法求解即可.

【详解】(1)由题意，当时，，

得，解得．

当时，，①

，②

①-②得，

因为，

所以．

则，

∵，∴

所以是以为首项，2为公比的等比数列．

(2)由（1）知，．

在数列中，项之前（含）共有，

所以数列的前30项中包含了数列的前7项及数列的前23项，

所以

．

19．如图，已知斜三棱柱，，．在底面ABC上的射影恰为AC的中点D．且．

(1)求证：平面；

(2)求二面角的余弦值．

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）由已知可得平面平面，由面面垂直的性质可得平面，则，再结合可证得结论，

（2）取的中点，以为坐标原点，，，分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，利用空间向量求解

【详解】(1)∵在底面上的射影为的中点，

∴平面平面，

∵，且平面平面，

∴平面，

∵平面，

∴，

∵，且，

∴平面．

(2)取的中点，以为坐标原点，，，分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，

∵平面，平面，∴，

∴四边形是菱形，

∵是的中点，∴，

∴，，，，

∴，，

设平面的一个法向量，则

，取．

由（1）可知平面，

所以平面的一个法向量，

∴，

设二面角的平面角为，由图可知为钝角，

∴，即二面角的余弦值为．

20．2022年北京冬奥会的成功举办在全国又掀起了运动的浪湖．墩墩和容融两个小朋友相约打羽毛球．已知两人在每一局比赛中都不会出现平局，其中墩墩每局获胜的概率均为．

(1)若两人采用五局三胜制，则墩墩在第一局失利的情况下，反败为胜的概率；

(2)若两人采用三局两胜制．且，则比赛结束时，求墩墩获胜局数X的期望；

(3)五局三胜制和三局两胜制，哪种赛制对墩墩获得比赛胜利更有利？

【答案】(1)

(2)

(3)当时，采用五局三制对墩墩更有利；当时，采用三局两胜制对墩墩更有利

【分析】（1）利用条件概率的公式计算即可求解.

（2）根据的可能取值，分别求出相应的概率，进而即可求出X的期望.

（3）分别计算在五局三胜制和在三局两胜制中墩墩获胜的概率，进而利用作差法，判断两者之间的大小即可求解.

【详解】(1)表示墩墩在第一局失利，B表示墩墩获得了比赛胜利，

则

．

(2)的可能取值为0，1，2，则

；

；

；

故．

(3)在五局三胜制中墩墩获胜的概率为：

；

在三局两胜制中墩墩获胜的概率为：

，

∵

，

∴当时，采用五局三制对墩墩更有利；

当时，采用三局两胜制对墩墩更有利．

21．已知椭圆C：的离心率为，左、右焦点分别为，，A为C的上顶点，且的周长为．

(1)求椭圆C的方程；

(2)直线l：与椭圆C交于M，N两点，O为坐标原点，当k为何值，恒为定值，并求此时面积的最大值．

【答案】(1)

(2)，面积的最大值为1

【分析】（1）由椭圆的定义可知的周长为，结合离心率，即可求解；

（2）联立直线方程与椭圆方程，结合韦达定理可得，若恒为定值，则与无关，即可求得值；将代回可得，设点到直线的距离，则，利用均值不等式即可求解.

【详解】(1)设椭圆的半焦距为．因为的周长为，

所以，①

因为椭圆的离心率为，所以，②

由①②解得，．

则．

所以椭圆的方程为．

(2)设，，

联立，消元得，

当，即时，

则，，

则

，

当为定值时，即与无关，故，得，

此时

，

又点到直线的距离，

所以，

当且仅当，即时，等号成立，

经检验，此时成立，

所以面积的最大值为1．

22．已知函数．（）在处的切线l方程为．

(1)求a，b，并证明函数的图象总在切线l的上方（除切点外）；

(2)若方程有两个实数根，．且．证明：．

【答案】(1)；证明见解析

(2)证明见解析

【分析】（1）求出函数的导函数，依题意可得，，即可解得、，从而得到，设在处的切线方程为，令，利用导数说明函数的单调性，即可得证；

（2）由（1）知，设的根为，则，即可得到，在设在处的切线方程为，令，利用导数说明函数的单调性，即可得到．设的根为，则，再说明，即可得证；

【详解】(1)解：将代入切线方程，有，

所以，所以，

又，所以，

若，则，与予盾，故，．

∴，，，

设在处的切线方程为，

令，

即，所以，

当时，，

当时，设，，

故函数在上单调递增，又，

所以当时，，当时，，

综合得函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，

故，

即函数的图象总在切线的上方（除切点外）．

(2)解：由（1）知，

设的根为，则，

又函数单调递减，故，故，

设在处的切线方程为，

因为，，所以，所以．

令，，

当时，，

当时，设，则，

故函数在上单调递增，又，

所以当时，，当时，，

综合得函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，

所以，即．

设的根为，则，

又函数单调递增，故，

故，又，

所以．

【点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．