2021-2022学年辽宁省抚顺市第一中学高二下学期第三次周测数学试题（Word版）

抚顺市第一中学2021-2022学年高二下学期第三次周测试题

数学

（ 考试时间：120分钟  试卷满分：150分）

一、单项选择题：本题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.

1.已知各项均为正数的等比数列{an}中，成等差数列，则（　　）

A．27 B．﹣1或27  C．3 D．﹣1或3

2．设a为实数，函数f（x）＝x3+ax2+（a﹣3）x ,是偶函数，则f（x）的单调递增区间为（ 　）

A．（0，+∞） B．（﹣∞，﹣1），（1，+∞） 

C．（﹣1，1） D．（3，+∞）

3.已知是定义在上的可导函数，的图象如下图所示，则的单调减区间是(    )                                                                A.               B.               C.                  D.

4．设Sn是等差数列{an}的前n项和，存在n∈N*且n＞4时有S8＝20，S2n﹣1﹣S2n﹣9＝116，则an＝（　　）

A．8 B．  C．17      D．16

5. 若直线与曲线相切，则

A. 3 B.               C. 2                     D.

6．已知等差数列{an}对任意正整数n都有an﹣2an+1+3an+2＝6n+8，则a2＝（　　）

A．1  B．8  C．5      D．4  

7．函数f（x）＝3sinx+4cosx的图象在点T（0，f（0））处的切线l与坐标轴围成的三角形面积等于（　　）

A.                  B．                 C．               D．

8．已知a为常数，函数有两个极值点x1，x2（x1＜x2），则下列结论正确的是（　　）

A． B． C． D．

9．已知定义在R上的函数f（x）的导函数为f′（x），且满足f′（x）﹣f（x）＞0，f（2021）＝e2021，则不等式f（lnx）的解集为（　　）

A．（e6063，+∞） B．（0，e2021） C．（e2021，+∞） D．（0，e6063）

10．已知数列{an}满足a1+2a2+3a3+…+nan＝（2n﹣1）•3n，设bn，Sn为数列{bn}的前n项和，若Sn＜λ（常数），n∈N*，则λ的最小值是（　　）

A． B． C． D．

二、多项选择题：本题共6小题，每小题5分，共30分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

11．已知函数f（x）在定义域R内可导，若f（x）＝f（2﹣x），且当x∈（﹣∞，1）时，（x﹣1)＜0，设a＝f（0），，c＝f（3），则（　　）

A．a＜b B．c＜a C．c＜b D．a＞b

12．已知公差不为0的等差数列{an}的前n项和为Sn，若a9＝S17，则下列说法正确的是（　　）

A．a8＝0 B．a9＝0 C．a1＝S16 D．S8＞S10

13. 已知函数，下列关于的四个命题，其中真命题有（　　）

A. 函数在上是增函数

B. 函数的最小值为0

C. 如果时，，则的最小值为2

D. 函数有2个零点

14. 已知数列的前项和为且满足，下列命题中正确的是（    ）

A. 是等差数列 B.

C.  D. 是等比数列

15．关于函数f（x）＝ex+sinx，x∈（﹣π，π），下列说法正确的是（　　）

A．f（x）在（0，f（0））处的切线方程为2x﹣y+1＝0 

B．f（x）有两个零点 

C．f（x）有两个极值点 

D．f（x）存在唯一极小值点x0，且﹣1＜f（x0）＜0

16. 设函数，，给定下列命题，其中是正确命题的是（    ）

A. 不等式的解集为

B. 函数在单调递增，在单调递减

C. 若，则当时，有

D. 若函数有两个极值点，则实数

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分

17．设{an}为递减等比数列，a1+a2＝11，a1•a2＝10则lga1+lga2+…+lga10＝　　．

18．已知函数f（x）＝其中a＞0．如果对于任意x1，x2∈R，且x1＜x2，都有f（x1）＜f（x2 ），则实数a的取值范围是　　．

19．已知数列{an}的首项a1＝21，且满足（2n﹣5）an+1＝（2n﹣3）an+4n2﹣16n+15，则{an}中最小的一项是第 　　项．

20.设，定义（，且为常数），若，，．以下四个命题中为真命题的是__________.

①不存在极值；②若的反函数为，且函数与函数有两个公共点，则；③若在上是减函数，则实数的取值范围是；④若，则在的曲线上存在两点，使得过这两点的切线互相垂直．

四、解答题：本小题共4小题，共50分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

21．（本题满分10分）

在①S2＝64，q＜0，②S3＝96，③S1＝这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中．

设等比数列{an}的公比为q，前n项和为Sn，前n项积为Tn，n∈N*，满足____，S4＝80．问Tn是否存在最大值？若存在，求出n的值；若不存在，请说明理由．

22．（本题满分10分）

已知函数，曲线y＝f（x）在x＝1处的切线经过点（2，﹣1）．

（1）求实数a的值；

（2) 设b＞1，求f（x）在区间上的最大值和最小值．

23. （本题满分12分）

设数列满足，．

（1）计算，，猜想的通项公式并加以证明；

（2）令，，证明：．

24.（本题满分18分）

已知函数f（x）＝lnx+ax2+（2a+1）x．

（1）讨论f（x）的单调性；

（2）当a＜0时，证明：f（x）≤；

（3）若不等式f（x）＞0恰有两个整数解，求实数a的取值范围．

参考答案

1~10 ABBBADDADC 11BCD 12 BC 13ABC 14ABD 15ABD 16ACD

17. -35 18. 19.5 20.②③

21解：若选①S2＝64，q＜0，S4＝80，

可得a1+a2＝64，a3+a4＝S4﹣S2＝16，

两式相除可得q2＝＝，解得q＝﹣，

由a1﹣a1＝64，解得a1＝128，

所以an＝a1qn﹣1＝（﹣1）n﹣128﹣n，.............5分

当n为奇数时，an＞0，当n为偶数时，an＜0，

当1≤n≤8时，|an|≥1；当n≥9时，|an|＜1，

所以当n＝8时，前n项积为Tn取得最大．.............10分

若选②S3＝96，S4＝80，则a4＝S4﹣S3＝﹣16，

即有a1q3＝﹣16，a1+a1q+a1q2＝96，

解得a1＝128，q＝﹣，

an＝a1qn﹣1＝（﹣1）n﹣128﹣n，

当n为奇数时，an＞0，当n为偶数时，an＜0，

当1≤n≤8时，|an|≥1；当n≥9时，|an|＜1，

所以当n＝8时，前n项积为Tn取得最大．

若选③S1＝，S4＝80，则a1＝，（1+q+q2+q3）＝80，

解得q＝，an＝•28﹣n，

当1≤n≤6时，an＞1；当n≥7时，0＜an＜1．

所以当n＝6时，前n项积为Tn取得最大．

22解：（Ⅰ）f（x）的导函数为，

所以f'（1）＝1﹣a．

依题意，有 ，

即 ，

解得a＝1．………………4分

（Ⅱ）由（Ⅰ）得．

当0＜x＜1时，1﹣x2＞0，﹣lnx＞0，所以f'（x）＞0，故f（x）单调递增；

当x＞1时，1﹣x2＜0，﹣lnx＜0，所以f'（x）＜0，故f（x）单调递减．

所以f（x）在区间（0，1）上单调递增，在区间（1，+∞）上单调递减．

因为，所以f（x）最大值为f（1）＝﹣1

设，其中b＞1。

则，

故h（b）在区间（1，+∞）上单调递增．

所以h（b）＞h（1）＝0，即，

故f（x）最小值为．………………10分

23【详解】（1）由，，

得，，

猜想的通项公式为．

下面利用数学归纳法证明：

当时，成立；

假设当（，）时成立，即，

则当时，．

∴当时结论成立．

综上所述，对于任意，有................6分

（2）证明：，

则

...12分

24解：（1）由题意，得 f（x） 的定义域为 ．

若 a⩾0，则当 x∈（0，+∞） 时，f′（x）＞0，故 f（x） 在 （0，+∞） 上单调递增，

若 a＜0，则当 时，f′（x）＞0，当 时

f′（x）＜0，故 f（x） 在 上单调递增，在 上单调递减．

综上所述，若 a⩾0，f（x） 在 （0，+∞） 上单调递增；若 a＜0，f（x） 在 上单调递增，在 上单调递减．.............6分

（2）由（1）知，当 a＜0 时，f（x） 在＝ 取得最大值，

最大值为 ，

所以 等价于 ，

设 g（x）＝lnx﹣x+1，则 ，

当 x∈（0，1）时，g′（x）＞0；当 x∈（1，+∞） 时，g′（x）＜0，

所以 g（x） 在 （0，1）上单调递增，在 （1，+∞） 上单调递减，

故当 x＝1 时，g（x） 取得最大值，最大值为 g（1）＝0，

所以当 x＞0 时，g（x）⩽0，

从而当 a＜0 时，，

即 ．..................12分

（3）①当 a⩾0 时，

由 （1）知 f（x） 在 （0，+∞） 上单调递增，因为 f（1）＝1+3a＞0，

所以当 x＞1 时，f（x）＞0 恒成立，不符合题意；

②当 a＜0 时，由 （1）知 f（x） 在 上单调递增，在 上单调递减，

且 ，

（i） 当 时，此时 ，

所以 f（x）max⩽0，即 f（x）⩽0 恒成立，显然不满足题意；

（ii） 当 时，此时 ，

1° 当 ，即 时，此时结合题意有

2° 当 时，即 时，

此时 f（1）＝1+3a＞0，f（2）＝2+ln2+8a＞0，f（3）＝3+ln3+15a＞0，与题意矛盾．

综上所述，a 的取值范围为 ．................18分