2021-2022学年广东省化州市第三中学高二上学期期中数学试题（解析版）

2021-2022学年广东省化州市第三中学高二上学期期中数学试题

一、单选题

1．复数满足，则（       ）

A． B． C．  D．2

【答案】C

【解析】先由条件有，求出复数，再求复数的模.

【详解】由，则

所以

故选：C

【点睛】本题考查复数的运算，复数的模，是基础题.

2．已知集合，，则（       ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】先求集合，再求集合交集与并集即可得答案.

【详解】解：因为，

所以，，

故选：A.

【点睛】本题考查指数不等式，集合交并集运算，是基础题.

3．直线经过原点和，则的倾斜角是（       ）

A．－60° B．60° C．120° D．150°

【答案】C

【分析】根据直线经过两点的坐标求出斜率，进而根据以及直线倾斜角的范围即可求出结果.

【详解】因为直线经过原点和，所以，设直线的倾斜角为，故，因为，所以，

故选：C.

4．设，为两个平面，则的充要条件是

A．内有无数条直线与平行

B．内有两条相交直线与平行

C．，平行于同一条直线

D．，垂直于同一平面

【答案】B

【分析】本题考查了空间两个平面的判定与性质及充要条件，渗透直观想象、逻辑推理素养，利用面面平行的判定定理与性质定理即可作出判断．

【详解】由面面平行的判定定理知：内两条相交直线都与平行是的充分条件，由面面平行性质定理知，若，则内任意一条直线都与平行，所以内两条相交直线都与平行是的必要条件，故选B．

【点睛】面面平行的判定问题要紧扣面面平行判定定理，最容易犯的错误为定理记不住，凭主观臆断，如：“若，则”此类的错误．

5．圆(x＋1)2＋y2＝2的圆心到直线y＝x＋3的距离为 (　 　)

A．1 B．2

C． D．2

【答案】C

【详解】试题分析：圆心坐标为，由点到直线的距离公式可知，故选C.

【解析】直线与圆的位置关系

【名师点睛】点到直线（即）的距离公式记忆容易，对于知求，很方便.

6．已知，则的值为

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】首先观察与60°–α的关系，再运用诱导公式即可．

【详解】cos（60°–α）=sin[90°–（60°–α）]=sin（30°+α）=，故选C．

【点睛】本题考查诱导公式，属于基础题，比较容易．

7．已知，，直线：，：，且，则的最小值为（       ）

A．2 B．4 C．8 D．9

【答案】C

【分析】由，可求得，再由，利用基本不等式求出最小值即可.

【详解】因为，所以，即，

因为，，所以，当且仅当，即时等号成立，

所以的最小值为8.

故选：C.

【点睛】本题考查垂直直线的性质，考查利用基本不等式求最值，考查学生的计算求解能力，属于中档题.

8．已知是定义域为的奇函数,满足.若，则

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】分析：先根据奇函数性质以及对称性确定函数周期，再根据周期以及对应函数值求结果.

详解：因为是定义域为的奇函数，且，

所以,

因此，

因为，所以，

，从而，选C.

点睛：函数的奇偶性与周期性相结合的问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解．

二、多选题

9．圆（       ）

A．关于点对称

B．关于直线对称

C．关于直线对称

D．关于直线对称

【答案】ABC

【分析】将圆的一般方程化为圆的标准方程求出圆心坐标，可判断选项A的正误；将圆心坐标分别代入到B、C、D中，可判断其他选项的正误.

【详解】将圆的一般方程化为圆的标准方程，

可得，

所以圆心的坐标为，

圆是关于圆心对称的中心对称图形，而点是圆心坐标，所以A选项正确；

圆是关于直径对称的轴对称图形，直线过圆心，所以B选项正确；

圆是关于直径对称的轴对称图形，直线过圆心，所以C选项正确；

圆是关于直径对称的轴对称图形，直线不过圆心，所以D选项不正确.

故选：ABC.

10．若，，与的夹角为120°，则的值为（       ）

A． B．17 C．1 D．

【答案】BD

【分析】由空间向量夹角的坐标表示求解

【详解】由题意得

解得或

故选：BD

11．已知函数，下列说法正确的是（       ）

A．函数是奇函数 B．当时，此函数有最小值为

C．函数在是单调递减函数 D．函数的最小值为2

【答案】AC

【分析】对选项A，利用奇函数定义即可判断A正确，对选项B，利用基本不等式即可判断B错误，对选项C，利用导数即可判断C正确，对选项D，根据即可判断D错误.

【详解】对选项A，，定义域，

，所以函数为奇函数，故A正确.

对选项B，当时，，

当且仅当，即时取等号.

所以当时，函数的最大值为.

对选项C，，

当时，，为减函数，故C正确.

对选项D，由B知：当时，，故函数无最小值，故D错误.

故选：AC

12．如图，在所有棱长均为2的四棱锥中，O为底面正方形的中心，M为侧棱PA的中点，N为侧棱PB上的动点，则下列结论正确的有（       ）

A．无论动点N在什么位置，平面PMN

B．直线MO和直线PB所成角的大小为

C．的正弦值的最大值为

D．二面角的大小为

【答案】AC

【分析】由平面判断A选项；

B选项，因为，所以与所成角转化为与所成角；

C选项，证明为直角三角形，以为自变量构建的表达式求解最值；

D选项，取中点，中点，连接，，，则为二面角的平面角，利用余弦定理求解．

【详解】解：A选项，因为，所以平面，又平面，所以平面，与点位置无关，A选项正确．

B选项，连接，因为，分别为，的中点，所以，又在等边中，与所成角为，

所以与所成角为，B选项错误．

C选项，因为，，所以平面，又平面，所以，所以，

在中，，所以的最大值为，C选项正确．

D选项，取中点，中点，连接，，则为二面角的平面角．

因为，所以，D选项错误．

故选：AC．

三、填空题

13．已知直线l1：与直线l2：的交点为M．则过点M且与直线l3：3x﹣y+1＝0垂直的直线l的一般式方程为__________________．

【答案】

【分析】直线与直线联立得，再由点斜式可求得直线方程.

【详解】联立，解得：．

所以与l3垂直的直线方程为：，

整理得：．

故答案为：

14．已知函数，使函数值为5的的值是___________.

【答案】-2

【分析】由题意，分，两种情况讨论，令，求解即可

【详解】由题意，当时，（舍正）

当时，，不成立

综上，使函数值为5的的值是-2

故答案为：-2

15．已知边长为的菱形中，，沿对角边折成二面角

为的四面体,则四面体的外接球的表面积为_____．

【答案】

【分析】取中点为，连接，，利用等边三角形的性质及外接球的表面积公式得出结果即可.

【详解】解：如图，设两个三角形外心分别为，，球心为，中点为，

由题意可知，，.

，，，

，

球半径.

四面体的外接球的表面积为.

故答案为：.

【点睛】本题考查四面体的外接球的表面积，考查计算能力，属于中档题.

四、双空题

16．过点M（2，2）的直线l与圆x2+y2﹣2x﹣8＝0相交于A，B两点，则|AB|的最小值为_____；此时直线l的方程为_______．

【答案】     4    

【分析】通过配方可得圆心和半径，由几何性质可得当MC⊥AB时，|AB|的最小值，进而可得结果.

【详解】∵圆x2+y2﹣2x﹣8＝0，即（x﹣1）2+y2＝9，圆心C（1，0），半径为3，

点M（2，2）在圆内，，

要使|AB|的值最小，则MC⊥AB，此时|MC|＝，

|AB|＝；

直线l的斜率为，则直线l的方程为y﹣2＝（x﹣2），即x+2y﹣6＝0．

故答案为：4；.

五、解答题

17．已知点在圆C：上．

（Ⅰ）求该圆的圆心坐标及半径长；

（Ⅱ）过点M（﹣1，1），斜率为的直线l与圆C相交于A，B两点，求弦AB的长．

【答案】（Ⅰ）圆心，半径；（Ⅱ）弦长

【分析】（Ⅰ）将点代入圆方程可得，然后将圆方程转化为标准方程形式可得结果.

（Ⅱ）根据点斜式可得直线方程，然后计算圆心到直线的距离，最后根据圆的弦长公式计算可得结果.

【详解】（Ⅰ）由题可知：

所以圆的标准方程为

所以圆心，半径

（Ⅱ）直线的方程为，即

则圆心到直线的距离为

所以弦长

【点睛】本题考查圆的方程以及圆的弦长公式，掌握公式，特别识记圆的弦长公式，便于计算，属基础题.

18．在中，角的对边分别为，若向量，，且，

（1）求角的大小；

（2）若，求的面积的最大值.

【答案】（1）；（2）．

【详解】试题分析：（1）已知向量的数量积为0，因此由数量积的坐标运算得出三角形边的关系，化简后结合余弦定理可得；（2）三角形中有角和边，可用余弦定理得出的关系，而，因此只要在刚才式子中应用基本不等式求得的最大值即可得三角形面积最大值．

试题解析：（1）因为，所以，

即，

故

又，

所以.

（2）由（1）及，得，

又，（当且仅当时取等号），

故，即，

故.

【解析】数量积的坐标运算，余弦定理，基本不等式．

19．如图，直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面是菱形，AA1＝4，AB＝2，∠BAD＝60°，E、M、N分别是BC、BB1、A1D的中点．

(1)证明：MN∥平面C1DE；

(2)求直线AM与平面C1DE所成角的正弦值．

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）由题意可得DE⊥AD，以D为原点，以DA，DE，DD1为坐标轴建立空间直角坐标系D﹣xyz，利用向量法可证明，从而得证.

（2）利用向量法求解即可.

【详解】(1)连接BD，由四边形ABCD是菱形，∠BAD＝60°，

∴△BCD是等边三角形，又E是BC的中点，则DE⊥BC，故DE⊥AD，                    

以D为原点，以DA，DE，DD1为坐标轴建立空间直角坐标系D﹣xyz，

则

，则,即

又平面ABCD，平面ABCD，

∴平面ABCD．

(2)

设平面C1DE的法向量为，则

即 ，令z＝1可得

设直线AM与平面C1DE所成角为θ，

则

∴直线AM与平面C1DE所成角的正弦值为．

20．一汽车厂生产A,B,C三类轿车,每类轿车均有舒适型和标准型两种型号,某月的产量如下表(单位:辆):

按类型分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取50辆,其中有A类轿车10辆.

（1）求z的值.

（2）用分层抽样的方法在C类轿车中抽取一个容量为5的样本.将该样本看成一个总体,从中任取2辆,求至少有1辆舒适型轿车的概率;

（3）用随机抽样的方法从B类舒适型轿车中抽取8辆,经检测它们的得分如下:9.4,   8.6, 9.2,   9.6,   8.7,   9.3,   9.0,   8.2.把这8辆轿车的得分看作一个总体,从中任取一个数,求该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.5的概率.

【答案】（1）400 （2） （3）0.75

【分析】（1）由分层抽样按比例运算即可得解；

（2）先求出基本事件的个数，再由古典概型的概率公式求解即可；

（3）先求出平均数，再求概率即可.

【详解】解：（1）设该厂这个月共生产轿车辆，

由题意可得，即，

则；

（2）抽取一个容量为5的样本中，有2辆舒适型轿车，3辆标准型轿车，用表示2辆舒适型轿车，表示3辆标准型轿车，用表示事件“在该样本中任取2辆，其中至少有1辆舒适型轿车”，

则在该样本中任取2辆的基本事件为，，，，，，，，，共10个，

事件为，，，，，，共7个，

故;

（3）由题意可得，

则满足该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.5的有共6个，

故所求概率为，即.

【点睛】本题考查了分层抽样及平均数的求法，重点考查了古典概型概率公式，属中档题.

21．已知函数.

（1）求函数对称轴方程和单调递增区间；

（2）对任意，恒成立，求实数m的取值范围.

【答案】（1）对称轴是，单调增区间是（2）

【分析】（1）化简函数得，再求函数对称轴方程和单调递增区间；（2）求出，即得解.

【详解】（1）

由，

由，

所以对称轴是，单调增区间是

（2）由得，

从而.

恒成立等价于，

【点睛】本题主要考查三角恒等变换，考查三角函数的对称轴和单调区间的求法，考查三角函数的最值的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

22．设函数，a∈R．

(1)当时，求函数的最小值；

(2)若函数的零点都在区间内，求的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据对称轴与区间关系讨论单调性求解

（2）根据二次函数图象特点列不等式组求解

【详解】(1)二次函数对称轴为

①当即时，在上单调递增

②当即时，在上单调递减，在上单调递增，

③当即时在上单调递减

综上可得

(2)函数的零点都在区间内

则

解得

故a的取值范围是