2021-2022学年安徽省合肥市六校联盟高二下学期期中数学试题（解析版）

2021-2022学年安徽省合肥市六校联盟高二下学期期中数学试题

一、单选题

1．若离散型随机变量X的分布列服从两点分布，且，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据两点分布的特点，得到，从而解方程可得答案.

【详解】因为X的分布列服从两点分布，所以，

由，

所以，所以，

故选：D

2．某机场某时降雨的概率为，在降雨的情况下飞机准点的概率为，则某时降雨且飞机准点的概率为（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据条件概率计算公式求解概率即可得出答案.

【详解】记事件A=“飞机准点”，记事件B=“机场降雨”

根据题意，，在降雨的情况下飞机准点的概率为：

根据条件概率计算公式，

所以某时降雨且飞机准点的概率为，

选项ABC错误，选项D正确

故选：D.

3．已知函数，其导函数的图象如图，则对于函数的描述正确的是

A．在上为减函数

B．在处取得最大值

C．在上为减函数

D．在处取得最小值

【答案】C

【详解】分析：根据函数f（x）的导函数f′（x）的图象可知f′（0）=0，f′（2）=0，f′（4）=0，然后根据单调性与导数的关系以及极值的定义可进行判定即可．

详解：根据函数f（x）的导函数f′（x）的图象可知：

f′（0）=0，f′（2）=0，f′（4）=0

当x＜0时，f′（x）＞0，f（x）递增；当0＜x2时，f′（x）＜0，f（x）递减；

当2＜x＜4时，f′（x）＞0，f（x）递增；当x＞4时，f′（x）＜0，f（x）递减．

可知C正确，A错误；

由极值的定义可知，f（x）在x=0处函数f（x）取到极大值，x=2处函数f（x）的极小值点，但极大值不一定为最大值，极小值不一定是最小值；可知B、D错误．

故选C．

点睛：由导函数图象推断原函数的性质，由f′（x）＞0得增区间，由f′（x）＜0得减区间，由f′（x）=0得到的不一定是极值点，需判断在此点左右f′（x）的符号是否发生改变.

4．盒中有10只螺丝钉，其中有2只是坏的，现从盒中随机地抽取4只，那么恰好有2只是坏的的概率为（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用超几何分布概率公式计算概率．

【详解】解： 设表示取出的螺丝钉恰有只是坏的，则．

∴．

故选：C．

5．曲线在处的切线方程为（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】求出导函数，计算出为切线斜率，再求得，由点斜式写出直线方程，并整理．

【详解】，，，故切线方程为，即.

故选：A.

6．深受广大球迷喜爱的某支足球队在对球员的使用上总是进行数据分析，根据以往的数据统计，乙球员能够胜任前锋、中锋、后卫以及守门员四个位置，且出场率分别为0.2，0.5，0.2，0.1，当乙球员担当前锋、中锋、后卫以及守门员时，球队输球的概率依次为0.4，0.2，0.6，0.2．当乙球员参加比赛时，该球队某场比赛不输球的概率为（       ）

A．0.3 B．0.32 C．0.68 D．0.7

【答案】C

【分析】利用全概率公式可求球队某场比赛不输球的概率.

【详解】设表示“乙球员担当前锋”，表示“乙球员担当中锋”，表示“乙球员担当后卫”，表示“乙球员担当守门员”，B表示“当乙球员参加比赛时，球队输球”．

则

，

所以当乙球员参加比赛时，该球队某场比赛不输球的概率为．

故选：C．

7．若则（       ）

A．80 B．120 C．180 D．240

【答案】D

【分析】两边求导得到，令，即可求解.

【详解】由，

两边求导可得：，

令，可得.

故选：D.

8．某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为，各成员的支付方式相互独立，设为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，，，则

A．0.7 B．0.6 C．0.4 D．0.3

【答案】B

【详解】分析：判断出为二项分布，利用公式进行计算即可．

或

，

,可知

故答案选B.

点睛：本题主要考查二项分布相关知识，属于中档题．

9．已知展开式中含项的系数为，则正实数的值为（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】根据二项式定理可确定展开式的通项，由此可确定含的项分别对应的的取值，进而确定系数.

【详解】展开式的通项公式为：.

展开式中含的项的系数为：

，解得：或.

为正实数，.

故选：.

【点睛】本题考查利用二项式定理求解指定项的系数，关键是能够熟练掌握二项展开式的通项.

10．现有红、黄、蓝、绿、紫五只杯子，将它们叠成一叠，则在黄色杯子和绿色杯子相邻的条件下，黄色杯子和红色杯子也相邻的概率为（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据条件概率的计算公式及排列组合中相邻问题捆绑法策略即可求解.

【详解】解：记“黄色杯子和绿色杯子相邻”为事件A，“黄色杯子和红色杯子也相邻”为事件B，

则黄色杯子和绿色杯子相邻，有种；黄色杯子和绿色杯子相邻，且黄色杯子和红色杯子也相邻，有种；

所以，

故选：C.

11．把座位编号为1，2，3，4，5，6的6张电影票分给甲、乙、丙、丁四个人，每人至少分一张，至多分两张，且分得的两张票必须是连号，那么不同分法种数为

A．240 B．144 C．196 D．288

【答案】B

【详解】试题分析：由题4人分6张票，则有2人各得两张，且具有连续的编号的票，另外2人各得1张票．2张具有连续的编号的票的情况有12和34；12和45；12和46；23和45；23和56；34和56共6种情况．所以不同的分法种数是． 故选B

12．定义在上的函数满足，，则关于x的不等式的解集为（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由题意构造函数，判断单调性后解不等式

【详解】，即，

构造函数，则

故在上为增函数，原不等式可化为，

解得

故选：D

二、填空题

13．已知随机变量X的分布列如下：

若Y＝2X－3，则的值为_______．

【答案】.

【分析】根据分布列的性质求得，结合，即可求解.

【详解】由分布列的性质，可得，解得，

因为，可得.

故答案为：.

14．设随机变量服从正态分布.若，则______.

【答案】0.4

【分析】根据正态分布的对称性可求.

【详解】因为随机变量服从正态分布，所以正态曲线的对称轴为，

所以，

所以，所以.

故答案为：0.4.

15．我国古代著名的数学著作中，《周碑算经》､《九章算术》､《孙子算经》､《五曹算经》､《夏侯阳算经》､《孙丘建算经》､《海岛算经》､《五经算术》､《级术》和《纠古算经》，称为“算经十书”，某老师将《周碑算经》､《九章算术》､《孙子算经》､《五经算术》､《级术》和《纠古算经》6本书分给4名数学爱好者，其中每人至少一本，则不同的分配方法的种数为__________．(用数字回答)

【答案】

【分析】根据4人所得本数为1，1，1，3或1,1,2,2两类，先分组后分配可得.

【详解】将6本书按照1，1，1，3分为4组，共有种分法，再将4组分给4人共有种，所以将6本书按照1，1，1，3分给4人共有种；

将6本书按照1,1,2,2分为4组，共有种，再将4组分给4人共有种，所以将6本书按照1,1,2,2分给4人共有种.

所以，将6本书分给4名数学爱好者，其中每人至少一本的分法种数为种.

故答案为：1560

16．若函数有极值,则函数的极值之和的取值范围是________.

【答案】

【分析】先求导，方程在上有根求出的范围，根据韦达定理即可化简，根据的范围即可求出．

【详解】解：的定义域是，

，

存在极值，

在上有根，

即方程在上有根．

设方程的两根为，，

，，

即

，

，

，

，

故函数的极值之和的取值范围是

故答案为：

【点睛】本题考查了导数函数极值的关系，以及韦达定理及二次函数的性质，考查了分析问题解决问题的能力，属于中档题

三、解答题

17．在下面三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并对其求解．

条件①：第3项与第7项的二项式系数相等；

条件②：只有第5项的二项式系数最大；

条件③：所有项的二项式系数的和为256．

问题：在的展开式中，_____．

（1）求的值；

（2）若其展开式中的常数项为112，求其展开式中所有项的系数的和．

【答案】（1）条件选择见解析，；（2）1．

【分析】（1）选①，则由计算出.选②，则由第项的二项式系数最大求得.选③，则由求得.

（2）化简展开式的通项公式，根据其常数项为求得，利用赋值法求得展开式中所有项的系数的和.

【详解】（1）选①：因为，所以n＝8；

选②：因为只有第5项的二项式系数最大，所以，则n＝8；

选③：因为所有项的二项式系数的和为256，则2n＝256，则n＝8；

（2）二项式的展开式的通项公式为，令，解得r＝6，所以展开式的常数项为，得a2＝4，又a＞0，所以a＝2，

令x＝1可得展开式的所有项的系数和为．

18．一个口袋内有个不同的红球，个不同的白球，

（1）从中任取个球，红球的个数不比白球少的取法有多少种？

（2）若取一个红球记分，取一个白球记分，从中任取个球，使总分不少于分的取法有多少种？

【答案】（1）115（2）186

【详解】（1）从中任取4个球，红球的个数不比白球少的取法，红球4个，红球3个和白球1个，红球2个和白球2个，

红球4个，取法有种，

红球3个和白球1个，取法有种；

红球2个和白球2个，取法有种；

根据分类计数原理，红球的个数不比白球少的取法有种．

（2）使总分不少于7分情况有三种情况，4红1白，3红2白，2红3白.

第一种，4红1白，取法有种；

第二种，3红2白，取法有种，

第三种，2红3白，取法有种，

根据分类计数原理，总分不少于7分的取法有

19．当时，函数（）有极值，

(1)求函数的解析式；

(2)若关于的方程有3个解，求实数的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据题目条件得到方程组，求出的值，检验是否符合要求；（2）在第一问的基础上，构造，求导，求出其极值，列出不等式，求出实数的取值范围.

【详解】(1)，

由题意得：，解得：，

经验证，函数在处有极值，故解析式为：．

(2)令，由得：

令得，，

∴当时，，当时，，当时，，

因此，当时， 有极大值，

当时，有极小值，

关于的方程有3个解，等价于函数有三个零点，

所以

．

故实数的取值范围是

20．某同学参加篮球投篮测试，罚球位上定位投中的概率为，三步篮投中的概率为，测试时罚球位上投篮投中得2分，三步篮投中得1分，不中得0分，每次投篮的结果相互独立，该同学罚球位上定位投篮1次，三步上篮2次.

（1）求“该同学罚球位定位投篮投中且三步篮投中1次”的概率；

（2）求该同学的总得分X的分布列和数学期望.

【答案】（1）；（2）分布列见解析，3.1分.

【分析】（1）设该同学“罚球位上定位投中”为事件A，“三步篮投中”为事件B，“该同学罚球位定位投篮投中且三步篮投中1次”为事件C，根据独立事件乘法原理可求得答案；

（2）X的可能取值为0，1，2，3，4，分别求出随机变量取每一个值的概率，得出随机变量的分布列，从而再由数学期望公式可求得答案.

【详解】（1）设该同学“罚球位上定位投中”为事件A，“三步篮投中”为事件B，“该同学罚球位定位投篮投中且三步篮投中1次”为事件C，

则，

所以；

（2）X的可能取值为0，1，2，3，4，

所以，

，

，

，

，

所以X的分布列为：

故，

则该同学得分的数学期望是3.1分.

21．设甲、乙两位同学上学期间，每天7：30之前到校的概率均为.假定甲、乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立.

（Ⅰ）用表示甲同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数，求随机变量的分布列和数学期望；

（Ⅱ）设为事件“上学期间的三天中，甲同学在7：30之前到校的天数比乙同学在7：30之前到校的天数恰好多2”，求事件发生的概率.

【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）

【分析】(Ⅰ)由题意可知分布列为二项分布，结合二项分布的公式求得概率可得分布列，然后利用二项分布的期望公式求解数学期望即可；

(Ⅱ)由题意结合独立事件概率公式计算可得满足题意的概率值.

【详解】(Ⅰ)因为甲同学上学期间的三天中到校情况相互独立，且每天7:30之前到校的概率均为，

故，从面.

所以，随机变量的分布列为：

随机变量的数学期望.

(Ⅱ)设乙同学上学期间的三天中7:30之前到校的天数为，则.

且.

由题意知事件与互斥，

且事件与，事件与均相互独立，

从而由(Ⅰ)知：

.

【点睛】本题主要考查离散型随机变量的分布列与数学期望，互斥事件和相互独立事件的概率计算公式等基础知识.考查运用概率知识解决简单实际问题的能力.

22．已知的图象在处的切线与直线平行．

（1）求函数的极值；

（2）若，，，求实数的取值范围．

【答案】（1）极大值为，无极小值；（2），．

【分析】(1)可利用导数的几何意义求出a的值,然后利用函数导数得到函数的单调性,求得函数的极值;

(2)所给不等式含有两个变量,通过变形使两个变量分别在不等式两侧,然后构造新函数g(x),转化为函数的单调性即可求解m的范围.

【详解】（1）的导数为，

可得的图象在，（1）处的切线斜率为，

由切线与直线平行，可得，

即，，

，

由，可得，由，可得，

则在递增，在递减，

可得在处取得极大值为，无极小值；

（2）可设，若，，

，可得，

即有，

设在为增函数，

即有对恒成立，

可得在恒成立，

由的导数为得：

当，可得，

在递减，在，递增，

即有在处取得极小值，且为最小值，

可得，

解得，

则实数的取值范围是，．

【点睛】本题考查了利用导数的几何意义求解参数的值和范围,属于中等难度题型,第一问解题中关键是导数几何意义的应用;第二问中关键是将不等式转化,然后构造新函数,再利用新函数的单调性求解参数m的范围.