2022年江苏省兴化市六校中考6月模拟数学试卷（含答案）

数学试卷

一、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．

1.将号码分别为1，2，…，9的9个小球放入一个袋中，这些小球仅号码不同，其余完全相同. 甲从袋中摸出一个球，其号码为a，放回后，乙从此袋中再摸出一个球，其号码为b，则使等式a+2b=20成立的事件发生的概率等于    ▲    .

2.小明经探究发现：不论字母系数 m 取何值，函数 y＝2x 2 ＋(4m－3)x＋6m＋5 的图像恒过一定点 P，则P点坐标为　　▲　　．

3.如图，在矩形中，，，点P从点A出发，每秒个单位长度的速度沿方向运动，点Q从点C出发，以每秒2个单位长度的速度沿对角线方向运动．已知两点同时出发，当点Q到达点A时，两点同时停止运动，连接，设运动时间为t秒．在运动过程中，若将△APQ沿AP翻折，翻折前后两个三角形组成的四边形为菱形，则运动时间t的值为　　▲　　．

4.已知，△ABC 中，AB=2，AC=3，BC=4，以BC为边作Rt△BCM，使得∠BMC＝90°，连接AM，则线段AM长的最大值为　　▲　　．

5.如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于、两点（点在点的左侧），与轴交于点，抛物线的顶点为，对称轴交轴于点．点为抛物线对称轴上一点．以为边在的下方作等边三角形，则当点从点运动到点的过程中，点经过路径的长度为　　▲　　．

二．解答题：本大题共7小题，共75分．

6.（本题满分8分）已知a＝，b＝，求的值．

7.（本题满分9分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A和点E（6，﹣2）都在反比例函数y＝的图象上，如果∠AOE＝45°，求直线OA的表达式.

8.（本题满分10分）设一个三角形的三边长是a、b、c．

（1）a2、b2、c2一定可以是一个三角形的边长吗？若是，说明理由；若不是，请举例说明．

（2）ab、bc、ca一定可以是一个三角形的三边长吗？若是，说明理由；若不是，请举例说明．

（3）求证：a2+bc、b2+ca、c2+ab一定可以是一个三角形的三边长．

9.（本题满分10分）已知方程x2+px+q＝0的两个根是x1，x2，那么x1+x2＝﹣p，x1x2＝q，反过来，如果x1+x2＝﹣p，x1x2＝q，那么以x1，x2为两根的一元二次方程是x2+px+q＝0．请根据以上结论，解决下列问题：

（1）已知关于x的方程x2+mx+n＝0（n≠0），求出一个一元二次方程，使它的两根分别是已知方程两根的倒数．

（2）已知a、b满足a2﹣15a﹣5＝0，b2﹣15b﹣5＝0，求的值．

（3）已知a、b、c均为实数，且a+b+c＝0，abc＝16，求正数c的最小值．

10.（本题满分12分）

如图，已知中，，，，是上的一点，，点是线段上的一个动点，沿折叠，点与重合，连接．

（1）求证：；

（2）若点是上的一点，且，

①若与的面积比是，请用无刻度的直尺和圆规在图（2）中作出折叠后的（保留作图痕迹，不写作法）；

②求的最小值．

11. （本题满分12分）

12.（本题满分14分）

如图，已知直线l经过点A（2，2），与x负半轴交于点B，且tan∠ABO=

（1）求直线l的解析式。

（2）直线l上有一点C（m,n）(m>0,n>2)

①在x轴上仅存在一点，使得△APC的外心在线段AC 上，求点C的坐标。

②若n=8，过A、C的抛物线顶点在x的正半轴上。点Q是线段AC下方抛物线上的一个动点，且以点Q为圆心的圆与直线l相切，求圆的最大半径。

数学参考答案

一、填空题（每空5分，共计25分）

1．a≥12.（-，14）   3.24.5．4.

二、解答题（共计75分）

6.解：

＝﹣

＝

＝

＝（5分）

当a＝4+，b＝4﹣时

原式＝

＝

＝．（8分）                 方法二

7.解：∵点E（6，﹣2）在反比例函数y＝的图象上，

∴k＝6×（﹣2）＝﹣12，

∴反比例函数为y＝﹣，

方法一  如图，OE顺时针旋转90°，得到OD，

连接DE，交OA于F，

∵点E（6，﹣2），

∴D（﹣2，﹣6），

∵∠AOE＝45°，

∴∠AOD＝45°，

∵OD＝OE，

∴OA⊥DE，DF＝EF，

∴F（2，﹣4），（7分）

设直线OA的解析式为y＝mx，

把F的坐标代入得，﹣4＝2m，解得m＝﹣2，

∴直线OA的解析式为y＝﹣2x，（9分）

8.（1）解：a2、b2、c2不一定是一个三角形的边长；

如a＝3、b＝4、c＝5是一个直角三角形的边长，

此时，a2＝9，b2＝16，c2＝25；

∴a2+b2=c2

∵这与三角形中任意两边之和大于第三边矛盾，

∴a2、b2、c2不是一个三角形的边长．（3分）

（2）解：ab、bc、ca不一定是一个三角形的三边长；

如a＝2，b＝4，c＝5是一个三角形的边长，

此时ab＝8，bc＝20，ac＝10；

∴ab+ac＜bc

∵这与三角形中任意两边之和大于第三边矛盾，

∴ab、bc、ca不是一个三角形的三边长．（6分）

（3）证明：方法一 ∵a2+b2≥2ab，

∴a2+bc+b2+ca≥2ab+（a+b）c＞ab+（a+b）c，

∵a+b＞c，

∴a2+bc+b2+ca＞c2+ab；

同理可证：b2+ca+c2+ab＞a2+bc，

a2+bc+c2+ab＞b2+ca，

∴a2+bc、b2+ca、c2+ab一定可以是一个三角形的三边长．（10分）

9.解：（1）设x2+mx+n＝0（n≠0）的两根为x1，x2，则x1+x2＝﹣m，x1x2＝n，

则所求新方程的两根为，．

∵+＝＝﹣，×＝＝．

所以，所求的方程为y2+y+＝0，

即ny2+my+1＝0． （3分）

（2）从a，b满足的同一种关系可知：①当a≠b时，a、b是一元二次方程

x2﹣15x﹣5＝0的两根，所以a+b＝15，ab＝﹣5，从而

＝＝＝＝﹣47．（5分）

②当a＝b时，从而＝1+1＝2．

所以的值为﹣47或2． （7分）

（3）由a+b+c＝0，abc＝16，得a+b＝﹣c．ab＝，因此，由给出的结论，

得a、b是方程x2+cx+＝0的实数根，所以Δ＝c2﹣4×≥0，

因为c＞0，所以c3≥64，所以c≥4，故c的最小值为4．（10分）

10.(1)解：依题意可得AC' = AC= 6，AE= AB- BE= 9-5=4，

∴，，∴，∵∠C′AB=∠EAC′，∴△AEC′∽△AC′B；（3分）

(2)解：①设C′到AB的距离为hE , C′到BC的距离为hF，

∵，∴hE=hF，∴点C′在∠ABC的平分线上，

作∠ABC的平分线BC′，以点A为圆心，AC为半径作弧形，交BC′于C′，再作∠CAC′的平分线AD，交BC于D，连接AC′，DC′，则△AC′D即为折叠后的三角形；

如图所示： （7分）

②如图，由（1）知：△AEC′∽△AC′B，∴ ,

∴EC′=BC′，∵BC′+FC′=(BC′+FC′)= (EC′+FC′），

当E、C′、F三点共线时，EC′+FC′最短，即EC′+FC′=EF，∴BC′+FC′的最小值为EF，（9分）

在Rt△ABC中，由勾股定理得：BC=，

过点E作EG⊥CB于G，∴∠C=∠EGB=90°，∴ACEG，∴△EBG∽△ABC，

∴，∴，∴BG=，EG=，

∵BF=，∴GF=BG-BF=，

在Rt△EGF中，由勾股定理得：EF===，

∴BC′+FC′=EF=×=，∴BC′+FC′的最小值为．（12分）

11.

12.解：（1）过点A作AM⊥X轴于M

在RtABM中，∠ABM=90，tan∠ABO==

∵A（2，2） 

∴BM=4

∴BO=2

∴B（-2，0）

∴（4分）

(2)过点C作CN⊥X轴于N，由题意得：∠APC=90°

可证AMPPNC∴

设P（x，0） ∴又∵

∴

令

解得：

∵m>0      ∴∴

∴C（ ，）（8分）

（3）当n=8时，m=14∴C（14，8）

设抛物线的解析式为代入A（2，2）   C（14，8）

可求得

过Q作QH⊥AC于H，由题意可知圆Q的半径最大且与AC相切，则只要QH最大。

过Q作QG⊥x轴交AC于G

设点Q（），则G（）

∴GQ=

∴S S=

∵2<s<14,∴当s=8时，S最大=27，此时QH最大

∵AC=∴最大半径QH=（14分）