第8章 第8节　第2课时　范围、最值问题-2022届高三数学一轮复习讲义（新高考）

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第2课时　范围、最值问题


考点1　范围问题——综合性

(2020·蚌埠市高三第三次质检)如图，设抛物线C1：x2＝4y与C2：y2＝2px(p>0)在第一象限的交点为M，点A，B分别在抛物线C2，C1上，AM，BM分别与C1，C2相切．

(1)当点M的纵坐标为4时，求抛物线C2的方程；
(2)若t∈[1,2]，求△MBA面积的取值范围．
解：(1)由条件，＝4且t>0，解得t＝4，即点M(4，4)．
代入抛物线C2的方程，得8p＝16，所以p＝2，则抛物线C2的方程为y2＝4x.
(2)将点M的坐标代入抛物线C2的方程，得p＝.
设点A(x1，y1)，直线AM的方程为y＝k1(x－t)＋.
联立方程消去y，化简得x2－4k1x＋4k1t－t2＝0，
则Δ＝16k－4(4k1t－t2)＝0，
解得k1＝.
从而直线AM的斜率为＝＝＝＝，
解得y1＝－，即点A.
设点B(x2，y2)，直线BM的方程为y＝k2(x－t)＋，
联立方程消去x，化简得y2－y－2p＝0.
则Δ＝＋8p＝0，代入p＝，解得k2＝.
从而直线BM的斜率为＝＝＝，解得x2＝－，即点B.
|MB|＝＝，
点A到直线BM：y＝x＋，即tx－8y＋t2＝0的距离为
d＝＝，故△MBA的面积为S△MBA＝|MB|·d＝.而t∈[1,2]，
所以△MBA面积的取值范围是.

圆锥曲线中的取值范围问题的解题策略
(1)利用圆锥曲线的几何性质或联立方程后的判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；
(2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；
(3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；
(4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围；
(5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围．

已知椭圆C：＋＝1(a>0，b>0)的离心率为，短轴长为2.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)设直线l：y＝kx＋m与椭圆C交于M，N两点，O为坐标原点，若kOM·kON＝，求原点O到直线l的距离的取值范围．
解：(1)由题意知e＝＝，2b＝2.
又a2＝b2＋c2，所以b＝1，a＝2.
所以椭圆C的标准方程为＋y2＝1.
(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，联立方程
得(4k2＋1)x2＋8kmx＋4m2－4＝0.
依题意，Δ＝(8km)2－4(4k2＋1)(4m2－4)>0，
化简得m20)与线段F1F2和椭圆短轴分别交于两个不同点M，N，所以m≠0.
又k>0，则k＝，
故x1＋x2＝－2m，x1x2＝2m2－2.
因为直线y＝kx＋m(k>0)与线段F1F2及椭圆的短轴分别交于不同两点，
所以－≤－2m≤，
即－≤m≤，且m≠0，
所以|CD|＝|x1－x2|
＝
＝
＝.
因为－≤m≤，且m≠0，
所以，当m＝或m＝－时，|CD|的最小值为.


在平面直角坐标系xOy中，已知圆O：x2＋y2＝4，椭圆C：＋y2＝1，A为椭圆C的右顶点，过原点且异于x轴的直线与椭圆C交于M，N两点，M在x轴的上方，直线AM与圆O的另一交点为P，直线AN与圆O的另一交点为Q.
(1)若＝3，求直线AM的斜率；
(2)设△AMN与△APQ的面积分别为S1，S2，求的最大值．

[四字程序]
读
想
算
思
已知圆的方程和椭圆的方程，直线与圆、椭圆都相交
1.向量＝3如何转化？
2.如何表示三角形的面积？
把用直线AM的斜率k来表示
转化与化归
求直线AM的斜率，求△AMN与△APQ的面积之比
1.用A，P，M的坐标表示；
2.利用公式S＝absin C表示并转化
＝进而用基本不等式求其最大值
把面积之比的最大值转化为一个变量的不等式


思路参考：设直线AM的方程为y＝k(x－2)，k.
由弦长公式得|PQ|＝·.
由点到直线的距离公式得点O到直线l的距离d＝，
所以S△OPQ＝|PQ|×d＝××＝.
设＝t(t>0)，则4k2＝t2＋3，所以S△OPQ＝＝≤1，当且仅当t＝2，即k＝±时等号成立．
故所求直线l的方程为y＝x－2或y＝－x－2.