星云联盟2022届普通高等学校招生高三统一模拟考试数学试题及参考答案

2022年普通高等学校招生星云线上统一模拟考试

数  学

本试卷共4页，22题.全卷满分150分.考试用时120分钟.

★祝考试顺利★

注意事项：

1．答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.

3．填空题和解答题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知集合，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【1题答案】

【答案】C

【解析】

【分析】先化简集合，再求集合与集合的交集

【详解】,，

即，

所以，

故选：C.

2. （    ）

A.  B.  C.  D.

【2题答案】

【答案】D

【解析】

【分析】先用“1”的代换转化，再利用两角差的正切公式的逆用求解.

【详解】

故选：D

【点睛】本题主要考查了两角差的正切公式的逆用及“1”的代换，还考查了运算求解的能力，属于基础题.

3. 已知随机变量X服从，若，则（    ）

A. 0.1 B. 0.2 C. 0.3 D. 0.4

【3题答案】

【答案】C

【解析】

【分析】根据正态分布曲线求解即可.

【详解】.

故选：C

4. 已知双曲线(，)的离心率为，则该双曲线的渐近线方程为(    )

A.  B.  C.  D.

【4题答案】

【答案】D

【解析】

【分析】结合已知条件，利用离心率和、、之间的关系可得到，进而即可得到答案.

【详解】不妨设双曲线的焦距为，

由题意可知，，解得，

从而双曲线的渐近线.

故选：D.

5. 已知函数，则（    ）

A. 是奇函数 B. 是奇函数 C. 是偶函数 D. 是偶函数

【5题答案】

【答案】B

【解析】

【分析】先求解析式，再确定定义域，最后判断奇偶性

【详解】对于A，

且

的定义域不关于原点对称，函数不具有奇偶性，故A错误

对于B，

且，所以的定义域关于原点对称

又

所以为奇函数，故B正确

对于C，

且

的定义域不关于原点对称，函数不具有奇偶性，故C错误

对于D，

且，所以的定义域关于原点对称

又

所以函数是奇函数，故D错误

故选：B

6. 4名大学生前往羽毛球馆、乒乓球馆和足球场进行赛事志愿服务工作，每名学生只去一个运动场地，每个运动场地至少需要一名学生，其中大学生甲不去足球场，则不同的安排方法共有（    ）

A. 36种 B. 24种 C. 18种 D. 12种

【6题答案】

【答案】B

【解析】

【分析】选2人捆绑作为一个人，变为3人，然后安排甲去地方，再把剩下的2人安排其他两个地方，由乘法原理可得．

【详解】由题意选2人捆绑作为一个人，然后安排甲去一个地方，其他2人到另外两个地方，

方法数为．

故选：B．

7. 等差数列的公差为2，前n项和为，若p：，，成等比数列，q：的首项为0，则（    ）

A. p是q的充要条件 B. p是q的既不充分也不必要条件

C. p是q的充分不必要条件 D. p是q的必要不充分条件

【7题答案】

【答案】A

【解析】

【分析】根据充分必要条件的定义判断．

【详解】时，，，

，，依次为，是等比数列，是的必要条件，

若，，成等比数列，则，

，解得或，

时，，，，不成等比数列，舍去．

所以，因此是的充分条件，

综上，是的充要条件，

故选：A．

8. 电影《流浪地球》中描述了使用发动机推动地球运动的场景．某科学兴趣小组提出了一套新装置：使用一条强度很大的长金属绳索绕地球赤道一周，一端连接强力发动机P绷紧绳索，为地球提供动力．若绳索比地球赤道长2 cm，则发动机距地面的高度约为（取地球半径为6 400 km；当很小时，，．）（    ）

A. 9 cm B. 11 cm C. 9 m D. 11 m

【8题答案】

【答案】C

【解析】

【分析】为方便计算，可记地球半径为R，绳索比地球赤道长2x，再根据图形关系列式表达绳索比地球赤道长和发动机距地面的高度的表达式，再联立求解即可

【详解】如右图．记地球半径R，绳索比地球赤道长2x=0.02，则

由题述近似可得所以．

故选：C

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9. 已知O为坐标原点，复数，在复平面内对应的点分别为A，B．若，共线，则z可能为（    ）

A.  B.  C.  D.

【9题答案】

【答案】BD

【解析】

【分析】依据题给条件求得复数的实部与虚部或二者间的关系即可解决.

【详解】设复数，则，

则,，，

由，共线，可得，解之得或

则复数或

故选：BD

10. 在三棱柱中，D，E，F，H分别为，AB，，BC中点，G为△重心，则（    ）

A. DF∥平面ABC B. FG∥平面 C. FG，为异面直线 D. AF，GH为异面直线

【10题答案】

【答案】ABC

【解析】

【分析】可将三棱柱特殊化，直三棱柱的底面以为直角顶点的等腰直角三角形，设边长，建立直角坐标系求解.

【详解】由题意可将三棱柱特殊化，设直三棱柱的底面以为直角顶点的等腰直角三角形，且；

以为原点，以，，分别为，，轴，建立如图空间直角坐标系；

则，，，，，，，， ，，

对于A选项，，取平面的法向量，因为，所以，又平面，所以∥平面，故A选项正确；

对于B选项，，，，设平面的法向量，由，令，则平面的法向量，因为，所以，又平面，所以∥平面，故B选项正确；

对于C选项，，，，因为若四点共面，则，与是非零向量矛盾，所以FG，不共面，即为异面直线，故C选项正确；

对于D选项，，，，

则，所以AF，GH为共面直线，故D选项错误；

故选：ABC.

11. 已知直线，圆，且，则（    ）

A. 当时，直线l与圆C相离

B. 当时，直线l与圆C相交

C. 当时，圆心C到直线l的距离存在最大值，但不存在最小值

D. 当时，圆心C到直线l的距离既存在最大值，又存在最小值

【11题答案】

【答案】ACD

【解析】

【分析】圆心到直线的距离，利用作差法比较与的大小，若恒成立，则直线l与圆C相离；若恒成立，则直线l与圆C相切；若恒成立，则直线l与圆C相交；即可判断A、B选项；对式子进行处理可得，

构造函数，，利用导数求的最值，即的最值，即可判断C、D选项.

【详解】由题意，得圆的圆心坐标，半径；直线

设到直线的距离为，则，

所以，

若，则，即；

所以，

又，则；

①当时，，当且仅当时取得等号；则恒成立，此时直线l与圆C相离，故A选项正确；

②当时，，当且仅当时取得等号，则，

可知，直线l与圆C或相交或相切或相离，故B选项错误；

由，即，所以，

令，；

设（），则，

③当，即时，，则在上单调递增；

当时，取得最大值，又是单调递增函数，

即时，在上单调递增，在时取得最大值，

所以当时，圆心C到直线l的距离存在最大值，但不存在最小值；

故C选项正确；

当，即，时，，时，，

所以在上单调递减，在上单调递增；

当时，取得最小值，且；

又，

所以时，，；

即时，取得最大值；又是单调递增函数，

则时，在时取得最小值，在时取得最大值；

所以当时，圆心C到直线l距离既存在最大值，又存在最小值，

故D选项正确.

故选：ACD.

12. 计算机显示的数字图像是由一个个小像素点组合而成的．处理图像时，常会通过批量调整各像素点的亮度，间接调整图像的对比度、饱和度等物理量，让图像更加美观．特别地，当图像像素点规模为1行列时，设第i列像素点的亮度为，则该图像对比度计算公式为．已知某像素点规模为1行列的图像第i列像素点的亮度，现对该图像进行调整，有2种调整方案：①；②，则（    ）

A. 使用方案①调整，当时，

B. 使用方案②调整，当时，

C. 使用方案①调整，当时，

D. 使用方案②调整，当，时，

【12题答案】

【答案】AC

【解析】

【分析】方案①：根据的性质，将、及代入判断A；利用对比度公式可得，即可判断C；方案②：在时代入特殊值判断B；根据条件判断且，特殊值代入判断D.

【详解】使用方案①调整：当时且，又则，A正确；

，，

当，即且，又，可得，C正确；

使用方案②调整：当时，显然若时，B错误；

，而，则，故，

又，则，，

所以，而，

时，则，则，

此时，显然存在，D错误.

故选：AC

【点睛】关键点点睛：判断D时注意的取值范围，根据n值判断的大小关系.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 已知，，若，则__________．

【13题答案】

【答案】

【解析】

【分析】根据平面向量垂直的坐标表示求解即可.

【详解】因为，，

所以，解得.

故答案为：

14. 已知O为坐标原点，椭圆的左焦点为F，A为C上一点，AF与x轴垂直．若的面积为，则C的离心率为__________．

【14题答案】

【答案】##0.5

【解析】

【分析】根据求解即可.

【详解】由题知：，解得，即.

故答案为：

15. 请写出函数的一个极大值：__________．

【15题答案】

【答案】形如即可（答案不唯一）

【解析】

【分析】求出函数的导函数，即可求出函数的单调区间从求出函数的极大值点，再代入计算可得；

【详解】解：因为定义域为，且，

令即，解得，

令即，解得

所以的单调递增区间为，单调递减区间为，

所以在处取得极大值，

所以，，

故答案为：，（答案不唯一）

16. 已知三棱锥的四个顶点在球O的表面上，，，，．若三棱锥的体积为，则球的表面积为__________．

【16题答案】

【答案】或

【解析】

【分析】为中点，连接，根据已知条件可知外接球的球心在过垂直于面的直线上，并求得到面的距离，应用线面垂直、面面垂直判定可得面面，则有在面上的射影落在直线上，进而可得、两种情况，分别求出外接球半径，即可求其表面积.

【详解】由，，则△为等腰直角三角形，

若为中点，连接，则，且为面的外接圆圆心，

所以外接球的球心在过垂直于面的直线上，

由三棱锥的体积为，且，故到面的距离，

又，，则面，又面，

所以面面，且面面，

则在面上的射影落在直线上，又，

则或，若外接球的半径为，，

当，如下图示：，

，易知，则，

所以，可得，即，

所以，此时外接球表面积为；

当，如下图示：，

，易知，

所以，可得，即，

所以，此时外接球表面积为；

综上，外接球表面积为或.

故答案为：或

【点睛】关键点点睛：由底面是等腰直角三角形确定棱锥球心的位置，根据体积求到面的距离，结合判断的位置情况，根据已知条件求出外接球半径.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17. 已知数列满足，．

（1）证明：为等比数列；

（2）求数列的前n项和．

【17题答案】

【答案】（1）证明见解析   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据等比数列的定义证明数列为等比数列（2）利用（1）的结论先求出的通项公式，根据通项公式的特征，运用错位相减法求和

小问1详解】

由已知得．

又因为，

所以是首项为2，公比为2的等比数列；

【小问2详解】

由（1）可知．所以．

记的前n项和为，则，且有

，  ①

得

，  ②

得

所以

所以．

19. 记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知△ABC的面积为．

（1）求；

（2）点D在边AB上，，，求a．

【19题答案】

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）利用面积公式得到方程，求出，利用同角三角函数关系求出；（2）利用求出，利用正弦定理求出，由余弦定理求出a

【小问1详解】

由三角形面积公式及已知可得，即．

由余弦定理可得：，

又，所以．

故；

【小问2详解】

由可知，．

由可得：，

所以，．

又，

所以，．

所以

在△ACD中，由正弦定理可得．

在△BCD中，由余弦定理可得

21. 如图，S为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心，AB为底面直径，，．C，D位于弧AB上，．E为SD中点．

（1）证明：；

（2）求二面角的余弦值．

【21题答案】

【答案】（1）证明见解析   

（2）

【解析】

【分析】（1）连接OD交AC于F，连接EF，则由已知条件得EF是△SOD的中位线，则EF∥SO，从而得，而，所以由线面垂直的判定定理可得平面ACE，从而可得结论，

（2）以O为原点，以，的方向分别为y轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，利用空间向量求解

【小问1详解】

连接OD交AC于F，连接EF．

由条件可得，

所以，，．

因为，所以EF是△SOD的中位线，即EF∥SO．

因为平面ABCD，

所以平面ABCD，

因为平面ABCD，所以．

因为，AC与EF是平面ACE内的两条相交直线，

所以平面ACE．

因为平面ACE，所以；

【小问2详解】

如图，以O为原点，以，的方向分别为y轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系．

由题可知，，，，所以．

所以，，．

设平面SCE的法向量为，则由解得

不妨取．

设平面BCE的法向量为，则

，令，则

记二面角的大小为．由图可知，

所以．

即二面角的余弦值为．

23. 已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线焦点为F，斜率为2的直线交C于A，B两点．当AB经过点F时，．

（1）求C的标准方程；

（2）若，PA与C的另一个交点为M，PB与C的另一个交点为N，证明：MN过定点．

【23题答案】

【答案】（1）   

（2）证明见解析

【解析】

【分析】（1）设直线方程为，联立直线方程和抛物线方程后利用弦长公式可求，结合可求的值，从而得到抛物线方程.

（2）设PA的方程为，，，用的坐标表示直线后结合点在抛物线上和韦达定理化简后可得所过的定点.

【小问1详解】

由直线AB的斜率为2可设其方程为．

联立可得．

设，，则由韦达定理可得

所以．

由题可知当时，有，即，解得．

所以C的标准方程为；

【小问2详解】

设PA的方程为．

联立可得．

设，，则由韦达定理可得．同理．

所以直线MN的方程为．

由，可知，又，

所以上式化简可得．

因为，上式两边同时乘以可得，即

．

所以MN过定点．

25. 某盒子装有60个小球（除颜色之外其他完全相同），其中有若干黑球，其他均为白球．为了估计黑球的数目，设计如下实验：从盒子中有放回地抽取4个球，记录该次所抽取的黑球数目X，作为一次实验结果．进行上述实验共5次，记录下第i次实验中实际抽到黑球的数目．已知从该盒子中任意抽取一个球，抽到黑球的概率为．

（1）求X的分布列；

（2）实验结束后，已知第i次实验中抽到黑球的数目如下表所示．

设函数．

（ⅰ）求的极大值点；

（ⅱ）据（ⅰ）估计该盒子中黑球的数目，并说明理由．

【25题答案】

【答案】（1）分布列见解析   

（2）（ⅰ）；（ⅱ）39，理由见解析

【解析】

【分析】（1）由，列出分布列；

（2）结合（1）得到，利用导数法求解；由取得最大值，即取得最大值，出现上述实验结果的概率最大求解．

【小问1详解】

由题可知．所以X的分布列为

【小问2详解】（ⅰ）由（1）可知，

，

；

则．

令可得．

列表如下：

所以存在唯一极大值点；

（ⅱ）估计该盒子中黑球的数目为．理由如下：

由（ⅰ）可知，当且仅当时，取得最大值，即取得最大值，出现上述实验结果的概率最大，因此可以认为从盒子中任意抽取一个球，抽到黑球的概率为，从而估计该盒子中黑球的数目为39是合理的．

27. 已知函数．

（1）讨论的单调性；

（2）当时，，求a的取值范围．

【27题答案】

【答案】（1）答案见解析；   

（2）.

【解析】

【分析】（1）对求导，利用导数的符号研究的单调性即可.

（2）问题转化为在上恒成立，构造中间函数并讨论、分别确定最值情况，根据恒成立求参数范围.

【小问1详解】

由，令得：或，如下表：

所以在，单调递增，在单调递减；

【小问2详解】

当时等价于．

令，则，

令，则单调递增且，故上，

（ⅰ）当时，在上，递增，在上，递减，

所以，只需，可得；

（ⅱ）当时，在上恒成立，在单调递增，

所以，只需，解得．

综上，a的取值范围为．

【点睛】关键点点睛：第二问，将问题转化为在区间上恒成立，并利用导数研究其最大值，进而求得参数范围.