湖北省襄阳市第五中学2022届高三下学期适应性考试(三)数学试题及参考答案

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襄阳五中2022届高三年级适应性考试（三）
数学试题
命题人：王荣 审题人：谢伟 王丹 胡桂莲
注意事项（请考生在作答前认真阅读）：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、座位号填写在答题卡上，并用2B铅笔填涂准考证号．
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上．作答非选择题时，必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上．
3．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．
4．本试卷共4页，22小题，满分150分．考试用时120分钟．
第Ⅰ卷（选择题）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，，若有且只有2个元素，则a的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】求出集合M，根据有且只有2个元素即可求出a的范围.
【详解】，
∵有且只有2个元素，∴0＜a≤1.
故选：A.
2. 一支田径队有男运动员48人，女运动员36人，用分层抽样从全体运动员中抽取一个容量为21的样本，抽出的男运动员平均身高177.5，抽出的女运动员平均身高为168.4，则估计该田径队运动员的平均身高是（ ）
A. 173.6 B. 172.95 C. 172.3 D. 176
【答案】A
【解析】
【分析】根据分层抽样的定义，求解抽取的男、女队员的人数，根据平均身高的定义，及题干数据求解即可
【详解】由题意，田径队男、女队员的比例为
用分层抽样从全体运动员中抽取一个容量为21的样本，设男运动员名，女运动员名，故，解得，即男运动员名，女运动员名
故该田径队运动员的平均身高大约为：
故选：A
3. 已知双曲线的左顶点与抛物线的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为，则双曲线的方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意，由求解.
【详解】解：由题意得：，
解得 ，
所以曲线的方程为，
故选：C
4. 区块链作为一种新型的技术，已经被应用于许多领域.在区块链技术中，某个密码的长度设定为512B，则密码一共有种可能，为了破解该密码，最坏的情况需要进行次运算.现在有一台计算机，每秒能进行次运算，那么在最坏的情况下，这台计算机破译该密码所需时间大约为（ ）（参考数据：，）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意所求时间为，利用对数的运算进行求解即可.
【详解】设在最坏的情况下，这台计算机破译该密码所需时间为秒，则有；
两边取常用对数，得；

；
所以.
故选：D.
5. 如图，体积为的大球内有4个小球，每个小球的球面过大球球心且与大球球面有且只有一个交点，4个小球的球心是以大球球心为中心的正方形的4个顶点，为小球相交部分（图中阴影部分）的体积，为大球内、小球外的图中黑色部分的体积，则下列关系中正确的是

A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先设大球半径为，小球半径为，根据题中条件，分别表示出，进而可作差比较大小．
【详解】设大球半径为，小球半径为，根据题意，
所以．
故选：D．
【点睛】本题主要考查球的体积的相关计算，熟记公式即可，属于常考题型．
6. 在数列中，，，若，则（ ）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
【答案】B
【解析】
【分析】由题知当为奇数时，；当为偶数时，，前n项和为满足 ，，进而分为奇数和为偶数讨论求解即可.
【详解】解：由题意得，，，即，
所以当为奇数时，；当为偶数时，；
设的前n项和为，则，.
若为奇数，则为3的倍数，不是的倍数，不合题意；
当为偶数，则
，即，所以.
故选：B
7. 过点作曲线C：的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】设出切点坐标，利用导函数求出切线斜率，进而表达出切线方程，将代入，结合，从而求出直线AB的方程.
【详解】设，，，所以在A点处的切线方程为，将代入得，因为，化简得，同理可得，所以直线AB的方程为，
故选：A．
8. 已知点O，A，B是同一平面内不同的三个点，且，若，的最小值为，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】设，进而，设，点关于对称的点为，与交于点，与交于点，故当点位于位置时，取得最小值，再结合余弦定理求解即可.
【详解】解：设
所以，
设，点关于对称的点为，与交于点，与交于点，
则当点位于位置时，取得最小值，
在中，，
所以由余弦定理得：，解得：，
所以，
所以
故选：D

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，有项选错得0分．
9. 设复数的共轭复数为，则下列选项正确的有（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据复数的乘除法、乘方、模的运算可判断A，C，D；根据特殊三角函数值与共轭复数的关系可判断A.
【详解】对于A，由题可知，所以A正确；
对于B，因为，所以B错误；
对于C，因为，所以C正确；
因为，故D正确.
故选：ACD
10. 设函数的定义域为R，是的极大值点，以下结论一定正确的是（ ）
A. ， B. 是的极大值点
C. 是的极小值点 D. 是的极小值点
【答案】BD
【解析】
【分析】利用函数极大值点的意义判断A；利用函数图象的对称性结合极值点的意义判断B，C，D作答.
【详解】对于A，是的极大值点，并不是最大值点，不能得出在整个定义域上最大，A不正确；
对于B，因函数与函数的图象关于y轴对称，则是的极大值点，B正确；
对于C，因函数与函数的图象关于x轴对称，则是的极小值点，与无关，C不正确；
对于D，因函数与函数的图象关于原点对称，则是的极小值点，D正确．
故选：BD
11. 将一枚质地均匀的硬币连续抛掷n次，以表示没有出现连续3次正面向上的概率，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. 当时， D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】对于A，利用对立事件和相互独立事件概率乘法公式能求出；对于B，利用列举法能求出；对于D，分第次出现反面，那么前次不出现连续三次正面和前次不出现连续三次正面是相同的，和第次出现正面，第次出现反面，那么前次不出现连续三次正面和前次不出现连续三次正面是相同的，及第次出现正面，第次出现正面，第次出现反面，那么前次不出现连续三次正面和前次不出现连续三次正面是相同的，由此能求出；对于C，由时，单调递减，，得到当时，．
【详解】当时，，A正确；
当时，又投掷四次连续出现三次正面向上的情况只有：
正正正正或正正正反或反正正正，，B错误；
要求，即抛掷n次没有出现连续3次正面的概率，分类进行讨论；
如果第次出现反面，
那么前次不出现连续三次正面和前次不出现连续三次正面是相同的，
这个时候不出现连续三次正面的概率是；
如果第次出现正面，第次出现反面，
那么前次不出现连续三次正面和前次不出现连续三次正面是相同的，
这个时候不出现连续三次正面的概率是；
如果第次出现正面，第次出现正面，第次出现反面，
那么前次不出现连续三次正面和前次不出现连续三次正面是相同的，
这时候不出现三次连续正面的概率是，
综上，，D正确；
由上式可得，则

，易知，所以，，故当时，．
又，，，满足当时，，C正确．
故选：ACD．
12. 已知抛物线的焦点为F，抛物线C上存在n个点，，，（且）满足，则下列结论中正确的是（ ）
A. 时，
B. 时，的最小值为9
C. 时，
D. 时，的最小值为8
【答案】BC
【解析】
【分析】以为抛物线通径，求得的值，判断A; 当时,写出焦半径的表达式，利用换元法，结合利用导数求函数最值，可判断B; 当时,求出的表达式，利用三角函数的知识，可判断C,D.
【详解】当时，，此时不妨取 过焦点垂直于x轴，
不妨取 ，则，故A错误；
当时，，
此时不妨设 在抛物线上逆时针排列，设,
则 ，则 ，
故
，
令 ，则，
令 ，则 ，
当时， ， 递增，当时， ， 递减，
故 ，
故当 ，即 时，取到最小值9，故B正确；
当时，，
此时不妨设 在抛物线上逆时针排列，设,
则，
即，
故，
，
所以，故C正确；
由C的分析可知：，
当 时，取到最小值16，
即最小值为16，故D错误；
故选：BC
【点睛】本题考查了抛物线的焦半径公式的应用，综合性较强，涉及到抛物线的焦半径的应用，以利用导数求最值，和三角函数的相关知识，难度较大.
第Ⅱ卷（非选择题）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案直接填写在答题卡相应位置上．
13. 集合，，若“”是“”的充分条件，则实数取值范围是____________．
【答案】
【解析】
【分析】分别解绝对值不等式与分式不等式求得集合A,B,再根据“”求得实数取值范围．
【详解】，当时，，
因为“”是“”的充分条件，所以，．
故填．
【点睛】对于充分性必要性条件的判断三种常用方法：（1）利用定义判断．如果已知，则是的充分条件，是的必要条件；（2）利用等价命题判断；(3) 把充要条件“直观化”，如果，可认为是的“子集”；如果，可认为不是的“子集”，由此根据集合的包含关系，可借助韦恩图说明．
14. 在平面直角坐标系中，圆交轴于，交轴于，四边形的面积为18，则___________.
【答案】
【解析】
【分析】由面积求出长，再求圆心坐标
【详解】由题意，故，
而圆心在的垂直平分线上，所以
由垂径定理知半径,解得
所以或，故，
故答案为：
15. 已知函数的图象向右平移个单位长度得到的图象，若为的一条对称轴，则__________．
【答案】
【解析】
【分析】直接利用三角函数关系式的恒等变换和平移变换得，，再利用三角函数对称性列方程求解即可．
【详解】设，则，，
，则，，
∴，即，
∴，，
又是的一条对称轴，
∴ ，即.
故答案为
【点睛】本题考查知识要点：三角函数关系式的恒等变换，函数图象的平移变换问题的应用，正弦型函数的对称性．
16. 如图，三棱柱中，，，，，，问_____________时，三棱柱体积最大，最大值为_____________．

【答案】 ①. ## ②. ##
【解析】
【分析】推导出平面，设，可求出、的长，计算出，可求得，结合基本不等式可求得三棱柱体积的最大值及其对应的值.
【详解】在三棱柱中，，因为，则，
因，，平面，
因为，，，则，，
且，所以，，
所以，，
故，
设，则，，
所以，，
所以，，
由已知可得，可得，
所以，，
所以，
，
当且仅当时，即当时，三棱柱体积最大，且最大值为.
故答案为：；.
四、解答题：本题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 设数列满足，.
（1）求证：数列是等差数列；
（2）设，求数列的前n项和.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【解析】
【分析】
（1）根据递推公式，得到，即可证明数列是等差数列；
（2）先由（1）求出，即，运用裂项求和法可求出数列的和.
【详解】（1）证明：因为，
所以，为常数.
因为，所以，所以数列是以-1为首项，为公差的等差数列.
（2）由（1）知，所以，
所以，
所以


，
所以数列的前n项和.
【点睛】本题主要考查由递推关系证明数列是等差数列，运用裂项求和法求数列的和，属于中档题.
18. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，现有三个条件：
①a，b，c为连续自然数；②；③．
（1）从上述三个条件中选出两个，使得△ABC不存在，并说明理由；
（2）从上述三个条件中选出两个，使得△ABC存在，并求△ABC的面积（写出一组作答即可）
【答案】（1）选②③时三角形不存在，理由见解析
（2）答案不唯一，具体见解析
【解析】
【分析】（1）选②③，由，可得，再根据正弦定理化边为角求得，即可得出结论；
（2）选①②时根据题意求得三边的长，再根据余弦定理结合平方关系求出其中一角的正弦值，再根据三角形的面积公式即可得解.
选①③时根据题意结合余弦定理及正弦定理化角为边求得三边的长，再根据余弦定理结合平方关系求出其中一角的正弦值，再根据三角形的面积公式即可得解.
【小问1详解】
解：选②③时三角形不存在，理由如下：
在△ABC中，由正弦定理得：，
由，则，
即，
又，
∴，而，此时A不存在，
∴△ABC不存；
【小问2详解】
解：选①②时三角形存在：
∵a，b，c为连续自然数，，
∴，，又，
∴，
得，，，
在△ABC中，由余弦定理得：，
∴，
则.
选①③时三角形存在：
∵a，b，c为连续自然数，，
∴，，
在△ABC中，由余弦定理得：，
由正弦定理得，
又，
即，
∴，
则有，得，，，
∴，
故，
则．
19. 规定抽球试验规则如下：盒子中初始装有白球和红球各一个，每次有放回的任取一个，连续取两次，将以上过程记为一轮．如果每一轮取到的两个球都是白球，则记该轮为成功，否则记为失败．在抽取过程中，如果某一轮成功，则停止；否则，在盒子中再放入一个红球，然后接着进行下一轮抽球，如此不断继续下去，直至成功．
（1）某人进行该抽球试验时，最多进行三轮，即使第三轮不成功，也停止抽球，记其进行抽球试验的轮次数为随机变量，求的分布列和数学期望；
（2）为验证抽球试验成功的概率不超过，有1000名数学爱好者独立的进行该抽球试验，记表示成功时抽球试验的轮次数，表示对应的人数，部分统计数据如下：

1
2
3
4
5

232
98
60
40
20
求关于的回归方程，并预测成功的总人数（精确到1）；
（3）证明：．
附：经验回归方程系数：，；
参考数据：，，（其中，）．
【答案】（1）分布列见解析，数学期望为
（2）回归方程为，预测成功的总人数为465
（3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）结合相互独立、独立重复试验的概率计算公式，计算出分布列并求得数学期望.
（2）利用换元法，结合回归直线方程的计算公式，计算出关于的回归方程，并由求得预测值.
（3）通过求“在前轮没有成功的概率”大于，来求得“前轮就成功的概率”小于，从而证得不等式成立.
【小问1详解】
由题知，的取值可能为1，2，3所以；
；；
所以分布列为：

1
2
3




所以数学期望为.
【小问2详解】
令，则，由题知：，，
所以，
所以，，
故所求的回归方程为：，
所以，估计时，；估计时，；估计时，；
预测成功的总人数为.
【小问3详解】
由题知，在前轮就成功的概率为

又因为在前轮没有成功的概率为



，
故.
20. 如图，在三棱台中，底面是边长为2的正三角形，侧面为等腰梯形，且，为的中点．

（1）证明：；
（2）记二面角的大小为，时，求直线与平面所成角的正弦值的取值范围．
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【解析】
【分析】（1）通过证明，得出平面，即可由线面垂直的性质得出；
（2）以为坐标原点建立空间直角坐标系，可得为二面角的平面角，，求出平面的法向量和，利用向量关系可表示出直线与平面所成角的正弦值，即可根据范围求出.
【详解】（1）证明：如图，作的中点，连接，，
在等腰梯形中，，为，的中点，
∴，
在正中，为的中点，
∴，
∵，，，，平面，
∴平面，
又平面，∴．
（2）解：∵平面，
在平面内作，以为坐标原点，以，，，分别为，，，轴正向，如图建立空间直角坐标系，
∵，，∴为二面角的平面角，即，
，，，，，，
设平面的法向量为，，，
则有，即，
则可取，又，
设直线与平面所成角为，
∴，
∵，∴，
∴．

21. 如图，椭圆的中心为原点，长轴在轴上，离心率，过左焦点作轴的垂线交椭圆于、两点，．

（1）求该椭圆的标准方程；
（2）取平行于轴的直线与椭圆相交于不同的两点、，过、作圆心为的圆，使椭圆上的其余点均在圆外．求的面积的最大值，并写出对应的圆的标准方程．
【答案】（1）
（2）答案不唯一，具体见解析
【解析】
【分析】（1）根据已知条件可得出关于、、的方程组，解出这三个量的值，即可出椭圆的方程；
（2）对点的位置进行分类讨论，当点在轴右侧时，设，圆的半径为，直线方程为，将圆的方程与椭圆的方程联立，由可得出，求出点的坐标，将点的坐标代入圆的方程可得出，然后利用基本不等式可求得的面积的最大值以及圆的方程，再利用对称性可知点在轴左侧时的面积的最大值以及圆的方程，即可得解.
【小问1详解】
解：设椭圆方程为，
左焦点，将代入椭圆方程，得，
由题意可得，解得，
所以椭圆方程为.
【小问2详解】
解：当点在轴的右侧时，
设，圆的半径为，直线方程为，
则圆的方程为，
由得，
由，即，得，①
把代入，得，
所以点坐标为，代入，得，②
由①②消掉得，即，

，
当且仅当时，即当时取等号，圆的标准方程为．
在椭圆上任取一点，其中，则，
所以，
，当且仅当时，等号成立，
故椭圆上除、外的点在圆外，所以的面积的最大值为，
当圆心、直线在轴左侧时，由对称性可得圆的方程为，的面积的最大值仍为．
【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种：
一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值；
二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值．
22. 函数 ，.
（1）求证：当时，存在唯一极小值点，且；
（2）是否存在实数使在上只有一个零点，若存在，求出的范围；若不存在，说明理由.
【答案】（1）证明见解析
（2）存在，或
【解析】
【分析】（1）对函数求导，再次求导可判断，则可得单调递增，再利用零点存在性定理可得存在，使得，再通过判断的正负可得存在唯一的极小值点，再利用三角函数的有界性可求得其范围，
（2）当时，函数无零点，当时，由可得，构造函数，，通过求导和三角函数的性质可得当时取得极小值，当时取得极大值，再根据函数的单调性可得时，，从而可求出的范围
【小问1详解】
当时，，，，恒成立，所以在上单调递增，
又，
，，
所以，即，
所以.
所以存在，使得，即.
则在上，，在上，，
所以在上，单调递减，在上，单调递增.
所以存在唯一的极小值点.
，
，则，
∴.
【小问2详解】
当时无零点，
当时，由得，所以，
令，，
，
令，得，，.
由函数的图像性质可知：
时，，单调递减.
时，，单调递增.
所以，，时，取得极小值，
即当时取得极小值，
又，
即，
又因在上单调递减，所以.
同理当，，时，取得极大值，
即当时取得极大值，
又，
即，
∵，.
∴时，.
当或，即，或时，与的图象只有一个交点.
∴存在实数或，使在上有且只有一个零点.
【点睛】关键点点睛：此题考查导数的综合应用，考查利用导数求函数的极值，利用导数解决函数零点问题，解题的关键是当时，将函数零点问题转化为函数，，与的图象交点问题，再转化为利用导数研究函数的性质，考查数学转化思想和计算能力，属于难题