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    中考数学1最值系列之将军饮马

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    最值系列之——将军饮马

    一、什么是将军饮马?

    【问题引入】

     白日登山望烽火,黄昏饮马傍交河,这是唐代诗人李颀《古从军行》里的一句诗。而由此却引申出一系列非常有趣的数学问题,通常称为将军饮马

     

    【问题描述】

    如图,将军在图中点A处,现在他要带马去河边喝水,之后返回军营,问:将军怎么走能使得路程最短?

    【问题简化】

    如图,在直线上找一点P使得PA+PB最小?

    【问题分析】

    这个问题的难点在于PA+PB是一段折线段,通过观察图形很难得出结果,关于最小值,我们知道两点之间,线段最短点到直线的连线中,垂线段最短等,所以此处,需转化问题,将折线段变为直线段.

     

    【问题解决】

    作点A关于直线的对称点A,连接PA,则PA’=PA,所以PA+PB=PA’+PB

     

    APB三点共线的时候,PA’+PB=AB,此时为最小值(两点之间线段最短)

     

    【思路概述】

    作端点(点A或点B)关于折点(上图P点)所在直线的对称,化折线段为直线段.

     

     


    二、将军饮马模型系列

    【一定两动之点点】

    OAOB上分别取点MN,使得PMN周长最小

    此处MN均为折点,分别作点P关于OA(折点M所在直线)、OB(折点N所在直线)的对称点,化折线段PM+MN+NPPM+MN+NP’’,当PMNP’’共线时,PMN周长最小

     

    【例题】如图,点PAOB内任意一点,AOB=30°OP=8,点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点,则PMN周长的最小值为___________

    【分析】PMN周长即PM+PN+MN的最小值,此处MN均为折点,分别作点P关于OBOA对称点PP’’,化PM+PN+MNPN+MN+P’’M

    PNMP’’共线时,得PMN周长的最小值,即线段PP’’长,连接OPOP’’,可得OPP’’为等边三角形,所以PP’’=OP’=OP=8

    【两定两动之点点】

    OAOB上分别取点MN使得四边形PMNQ的周长最小。

    考虑PQ是条定线段,故只需考虑PM+MN+NQ最小值即可,类似,分别作点PQ关于OAOB对称,化折线段PM+MN+NQPM+MN+NQ,当PMNQ共线时,四边形PMNQ的周长最小。

     

    【一定两动之点线】

    OAOB上分别取MN使得PM+MN最小。

    此处M点为折点,作点P关于OA对称的点P,将折线段PM+MN转化为PM+MN,即过点POB垂线分别交OAOB于点MN,得PM+MN最小值(点到直线的连线中,垂线段最短)

     


    三、几何图形中的将军饮马

     

    【寻找几何图形中端点关于折点所在直线的对称点位置】

     

    1正方形中的将军饮马

    【关于对角线对称】

    如图,正方形ABCD的边长是4MDC上,且DM=1 NAC边上的一动点,则DMN周长的最小值是___________

    【分析】考虑DM为定值,故求DMN周长最小值即求DN+MN最小值. 点N为折点,作点D关于AC的对称点,即点B,连接BNAC于点N,此时DMN周长最小.

     

    【假装不存在的正方形】

    2019·山东聊城)如图,在RtABO中,OBA=90°A4,4),点C在边AB上,

    AC:CB=1:3,点DOB的中点,点P为边OA上的动点,当点POA上移动时,使四边形PDBC周长最小的点P的坐标为  

    A B C D

    【分析】此处点P为折点,可以作点D关于折点P所在直线OA的对称:

    也可以作点C的对称:

    【隐身的正方形】

    2017·辽宁营口)如图,在ABC中,AC=BCACB=90°,点DBC上,BD=3DC=1,点PAB上的动点,则PC+PD的最小值为  

    A4 B5 C6 D7

    【分析】作点C关于P点所在直线AB的对称点C,当CPD共线时,PC+PD最小,最小值为5,故选B

    2三角形中的将军饮马

    【等边系列】

    如图,在等边ABC中,AB=6 NAB上一点且BN=2AN BC的高线ADBC于点DMAD上的动点,连结BMMN,则BM+MN的最小值是___________

    【分析】M点为折点,作B点关于AD的对称点,即C点,连接CN,即为所求的最小值.

    过点CAB垂线,利用勾股定理求得CN的长为2倍根号7

     

    【隐身的等边三角形】

    如图,在RtABD中,AB=6BAD=30°D=90°NAB上一点且BN=2ANMAD上的动点,连结BMMN,则BM+MN的最小值是___________

     

    【分析】对称点并不一定总是在已知图形上.

     

    【角分线系列之点点】

    2018·山东潍坊)如图,在RtABC中,ACB=90°AC=6AB=12AD平分CAB,点FAC的中点,点EAD上的动点,则CE+EF的最小值为  

    A3 B4 C D

     

    【分析】此处E点为折点,可作点C关于AD的对称,对称点CAB上且在AB中点,化折线段CE+EFCE+EF,当CEF共线时得最小值,CFCB的一半,故选C

     


    【角分线系列之点线】

    2018·辽宁营口)如图,在锐角三角形ABC中,BC=4ABC=60° BD平分ABC,交AC于点DMN分别是BDBC上的动点,则CM+MN的最小值是  

    A B2 C D4

     

    【分析】此处M点为折点,作点N关于BD的对称点,恰好在AB上,化折线CM+MNCM+MN

    因为MN皆为动点,所以过点CAB的垂线,可得最小值,选C

     


    3矩形、菱形中的将军饮马

    【菱形高】

    2018广西贵港)如图,在菱形ABCD中,AC=BD=6EBC的中点,PM分别是ACAB上的动点,连接PEPM,则PE+PM的最小值是  

    A6 B C D4.5

     

    【分析】此处P为折点,作点M关于AC的对称点M,恰好在AD上,化折线EP+PMEP+PM

    EPM共线时,EP+PM最小,最小值即为菱形的高,可用面积法:AC·BD/2=BC·EM

     


    【折点在边上】

    2017山东菏泽)如图,矩形ABOC的顶点A的坐标为(-4,5),DOB的中点,EOC上的一点,当ADE的周长最小时,点E的坐标是  

    A B C D

     

    【分析】点E为折点,Ey轴上一点,作点D关于y轴的对称点D,连接AD,与y轴交点即为所求E点.

    【折点与面积】

    2019西藏)如图,在矩形ABCD中,AB=6AD=3,动点P满足,则点PAB两点距离之和PA+PB的最小值为  

    A B C D

    【分析】由可作出P点轨迹为直线MNAM=BN=2),作点B关于MN的对称点B,化折线PA+PBPA+PB

    APB共线时,取到最小值,选A

    【全等与对称】

    2017江苏南通)如图,矩形ABCD中,AB=10BC=5,点EFGH分别在矩形ABCD各边上,且AE=CGBF=DH,则四边形EFGH周长的最小值为  

    A B C D

    【分析】考虑到四边形EFGH是平行四边形,即求EH+EF最小值,此处E为折点,作F关于AB对称点F,则BF’=BF=DH=CMMF’=BC=5MH=DC=10HF5倍根号5,周长最小值为10倍根号5,故选B

     


    四、特殊角的对称

    60°角的对称】

    2018滨州)如图,AOB=60°,点PAOB内的定点且OP=,若点MN分别是射线OAOB上异于点O的动点,则PMN周长的最小值是  

    A B C6 D3

     

    【分析】此处MN均为折点,分别作点P关于OBOA的对称点PP’’,化PMN周长为PN+NM+MP’’

    PNMP’’共线时,得最小值,利用60°角翻倍得POP’’=120°OP’=OP’’=OP,可得最小值.


    30°角的对称】

    2017湖北随州)如图,AOB的边OBx轴正半轴重合,点POA上的一动点,点N3,0OB上的一定点,点MON的中点,AOB=30°,要使PM+PN最小,则点P的坐标为      

     

    【分析】此处点P为折点,作点M关于OA的对称对称点M如图所示,连接PM,化PM+PNPM’+PN

    MPN共线时,得最小值,又MON=60°ON=2OM,可得OMN=90°,故P点坐标可求.


    20°角的对称】

    如图,已知正比例函数y=kxk>0)的图像与x轴相交所成的锐角为70°,定点A的坐标为(04),Py轴上的一个动点,MN为函数y=kxk>0)的图像上的两个动点,则AM+MP+PN的最小值为____________

    【分析】先考虑M为折点,作点P关于OM对称点P,化AM+MP+PNAM+MP’+PN

    此处P为折点,作点N关于OP对称点N,化AM+MP’+PNAM+MP’+PN

    AMPN共线且ANON时,值最小.


    最值系列之——将军饮马(二)

    【将军过桥】

    已知将军在图中点A处,现要过河去往B点的军营,桥必须垂直于河岸建造,问:桥建在何处能使路程最短?

    考虑MN长度恒定,只要求AM+NB最小值即可.问题在于AMNB彼此分离,所以首先通过平移,使AMNB连在一起,将AM向下平移使得MN重合,此时A点落在A位置.

    问题化为求AN+NB最小值,显然,当共线时,值最小,并得出桥应建的位置.

    【用几何变换将若干段原本彼此分离线段组合到一起】

     


    【将军过两个桥】

    已知将军在图中点A处,现要过两条河去往B点的军营,桥必须垂直于河岸建造,问:桥建在何处能使路程最短?

    考虑PQMN均为定值,所以路程最短等价于AP+QM+NB最小,对于这彼此分离的三段,可以通过平移使其连接到一起.

    AP平移至AQNB平移至MB,化AP+QM+NBAQ+QM+MB

    AQMB共线时,AQ+QM+MB取到最小值,再依次确定PN位置.

    【将军遛马】

    如图,将军在A点处,现在将军要带马去河边喝水,并沿着河岸走一段路,再返回军营,问怎么走路程最短?

     

    【问题简化】已知AB两点,MN长度为定值,求确定MN位置使得AM+MN+NB值最小?

    【分析】考虑MN为定值,故只要AM+BN值最小即可.将AM平移使MN重合,AM=AN,将AM+BN转化为AN+NB

    构造点A关于MN的对称点A’’,连接A’’B,可依次确定NM位置,可得路线.

    【例题】如图,在平面直角坐标系中,矩形ABCD的顶点B在原点,点AC在坐标轴上,点D的坐标为(64),ECD的中点,点PQBC边上两个动点,且PQ=2,要使四边形APQE的周长最小,则点P的坐示应为______________

    【分析】考虑PQAE为定值,故只要AP+QE最小即可,如图,将AP平移至AQ,考虑AQ+QE最小值.

    作点A关于x轴的对称点A’’,连接A’’E,与x轴交点即为Q点,左移2个单位即得P点.

     

    【练习】如图,矩形ABCD中,AD=2AB=4AC为对角线,EF分别为边ABCD上的动点,且EFAC于点M,连接AFCE,求AF+CE的最小值.

    【分析】此题难点在于要得到AFCE之间的关系,方能将这两条线段联系到一起.过点EEHCDCDH点,由相似可得:FH=1

    连接BH,则BH=CE

    问题转化为BH+AF最小值. 

    参考将军遛马的作法,作出图形,得出AF+BH=AH+BH=AB’=5

     

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