四川省绵阳市2021-2022学年高三上学期第二三次诊断性考试数学试卷

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四川省绵阳市2022届高三第三次诊断性考试理科数学试题一、单选题1．若复数，则（       ）A． B． C． D．2．已知集合，，则（       ）A． B． C． D．3．某车间从生产的一批产品中随机抽取了1000个零件进行一项质量指标的检测，整理检测结果得此项质量指标的频率分布直方图如图所示，则下列结论错误的是（       ）A．B．估计这批产品该项质量指标的众数为45C．估计这批产品该项质量指标的中位数为60D．从这批产品中随机选取1个零件，其质量指标在的概率约为0.54．已知，是两个不同的平面，m是一条直线，若，则“”是“”的（       ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件5．已知函数，则（       ）A．在上单调递增 B．的图象关于点对称C．为奇函数 D．的图象关于直线对称6．若抛物线的焦点为F，直线与抛物线交于A，B两点，且，则（       ）A． B． C．2 D．47．函数的部分图象如图所示，将函数的图象向右平移个单位得到函数的图象，则（       ） A． B．1 C． D．8．在2022年北京冬奥会开幕式上，二十四节气倒计时惊艳亮相，与节气相配的14句古诗词，将中国人独有的浪漫传达给了全世界．我国古代天文学和数学著作《周髀算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气的晷长损益相同（晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度），二十四节气及晷长变化如图所示，相邻两个节气晷长减少或增加的量相同，周而复始．已知雨水的晷长为9.5尺，立冬的晷长为10.5尺，则冬至所对的晷长为（       ）A．11.5尺 B．13.5尺 C．12.5尺 D．14.5尺9．已知曲线在处的切线为，若与相交，则实数的取值范围是（       ）A． B． C． D．10．将5名支援某地区抗疫的医生分配到A、B、C三所医院，要求每所医院至少安排1人，则其中甲、乙两医生恰分配到相同医院的概率为（       ）A． B． C． D．11．某几何体的三视图如图所示，其中正视图与侧视图均为正方形．将该几何体完全放置在一个球内，则满足条件的球的最小体积为（       ） A． B． C． D．12．在给出的①；②；③．三个不等式中，正确的个数为（       ）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个二、填空题13．已知双曲线（其中，）的焦距为，其中一条渐近线的斜率为2，则______．14．在等边△ABC中，，，则______．15．已知数列的前n项和为，若，，则______．16．在棱长为3的正方体中，已知点P为棱上靠近于点的三等分点，点Q为棱CD上一动点．若M为平面与平面的公共点，N为平面与平面ABCD的公共点，且点M，N都在正方体的表面上，则由所有满足条件的点M，N构成的区域的面积之和为______．三、解答题17．在△ABC中，角A，B，C所对的边为a，b，c，已知，且．(1)求角B的大小；(2)若，求△ABC的面积S．18．随着科技进步，近来年，我国新能源汽车产业迅速发展．以下是中国汽车工业协会2022年2月公布的近六年我国新能源乘用车的年销售量数据：年份201620172018201920202021年份代码x123456新能源乘用车年销售y（万辆）5078126121137352 (1)根据表中数据，求出y关于x的线性回归方程；（结果保留整数）(2)若用模型拟合y与x的关系，可得回归方程为，经计算该模型和第（1）问中模型的（为相关指数）分别为0.87和0.71，请分别利用这两个模型，求2022年我国新能源乘用车的年销售量的预测值；(3)你认为（2）中用哪个模型得到的预测值更可靠？请说明理由．参考数据：设，其中．1444.788415.7037.71380528 参考公式：对于一组具有线性相关关系的数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，．19．在四棱锥中，底面ABCD为梯形，已知，，，是以BC为斜边的等腰直角三角形．(1)证明：平面PCD；(2)求二面角的平面角的余弦值．20．已知椭圆（其中）的离心率为，直线与椭圆E交于、两点，且，当时，．(1)求椭圆的方程；(2)在直线上是否存在点，使得，，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．21．函数．(1)若函数有2个零点，求实数a的取值范围；(2)若函数在区间上最大值为m，最小值为n，求的最小值．22．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），曲线C的方程为．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，射线E的极坐标方程为，．(1)求直线l的普通方程和曲线C的极坐标方程；(2)若E与l交于点A，E与C交于点B，求的取值范围．23．已知函数．(1)求关于x的不等式的解集；(2)求证：．
参考答案：1．D【解析】由复数乘法运算求得，根据共轭复数定义可求得结果.【详解】，.故选：.2．B【解析】【分析】由已知，分别求解出集合、集合的范围，然后直接求解交集即可.【详解】由已知，集合，即集合，集合，即集合，因为，所以.故选：B.3．C【解析】【分析】利用各组的频率之和为1，求得的值，判定A；根据众数和中位数的概念判定BC；根据频率估计概率值，从而判定D.【详解】，解得，故A正确；频率最大的一组为第二组，中间值为，所以众数为45，故B正确；质量指标大于等于60的有两组，频率之和为，所以60不是中位数，故C错误；由于质量指标在[50,70)之间的频率之和为，可以近似认为从这批产品中随机选取1个零件，其质量指标在的概率约为0.5，故D正确.故选:4．C【解析】【分析】由线面、面面的位置关系判断条件间的推出关系，再结合充分、必要性的定义即可得答案.【详解】由，若则，同理也有.所以“”是“”的充要条件.故选：C5．B【解析】【分析】把化简成，进而得到是由先向左平移一个单位，再向下平移一个单位得到的，然后根据的图象画出的图象，即可判断选项【详解】化简得，的可以看作是函数先向左平移一个单位，再向下平移一个单位得到，先画出的图象，再进行平移画出的图象，明显可见，对于原函数，为奇函数，关于点对称，且在和上为单调减函数，所以，经过平移后变成的在上单调递减，关于对称，非奇函数也非偶函数，所以，B正确；A、C、D错误.故选：B6．A【解析】【分析】设点A和点B的坐标，根据抛物线的定义，用点A和点B的坐标表示出和，再根据题中的等式求解两点横纵坐标差，最后运用两点间距离公式求解.【详解】设 ，不妨设画简图如下： 根据抛物线的定义， 又, 根据题意，点是直线与抛物线的交点所以即  所以，选项A正确.故选：A.7．B【解析】【分析】先根据函数的图象求出函数的解析式，然后再根据函数的解析式求，最后求出的值.【详解】由图象可知，，得，所以，所以，，又因为在函数的图象上，所以，，又因为，所以，所以，将函数的图象向右平移个单位得到函数的图象，得，所以，.故选：B8．B【解析】【分析】设相邻两个节气晷长减少或增加的量为,则立冬到冬至增加,冬至到雨水减少4,冬至的晷长为,根据题意，结合等差数列的性质，列出方程组求解即得.【详解】解：设相邻两个节气晷长减少或增加的量为,则立冬到冬至增加,冬至到雨水减少4,冬至的晷长为,则,解得,故选：B.9．A【解析】【分析】根据导数的几何意义求出切线，再根据圆心到直线的距离小于圆的半径列式可解得结果.【详解】因为，所以切线的斜率为，又时，，所以切点为，所以切线的方程为，即，由圆：得，所以圆心为，半径为，因为直线与圆相交，所以，即，解得，所以实数的取值范围是：.故选：A10．B【解析】【分析】由已知，5名医生分配到三所医院，每所医院至少安排1人，有“”和“”两种人数分配方法，分别计算两种分配方法的数目以及满足甲、乙两医生恰分配到相同医院的分配数目，然后加在一起，利用古典概型的公式即可完成求解.【详解】由已知，5名医生分配到三所医院，每所医院至少安排1人，则人数的分配方法有“”和“”两种，分别是：①，若采用“”时，共有种分堆方法，再分配到三所医院，共有种分配方法，其中甲、乙两医生恰分配到相同医院，需要将甲、乙两医生放到3人组，并从其他3位医生中再选一位凑够3人，剩下的全排，共有种分配方法；②，若采用“”时，共有种分堆方法，再分配到三所医院，共有种分配方法，其中甲、乙两医生恰分配到相同医院，需要将甲、乙两医生放到2人组，分配剩下的3人，为种，然后再全排，共有种分配方法；所以，5名医生分配到三所医院，每所医院至少安排1人，则人数的分配方法共有       种分配方法，甲、乙两医生恰分配到相同医院的分配方法有种，所以甲、乙两医生恰分配到相同医院的概率为.故选：B.11．D【解析】【分析】根据三视图可知，还原直观图，根据题意分析只需求出该几何体的外接球的体积即可得解.【详解】根据三视图可知，该几何体是由两个正四棱锥组成的组合体，这两个正四棱锥的底面都是边长为的正方形，侧棱长都为，如图： 设正四棱锥的底面中心为，如图： 因为，，所以，同理，所以点到几何体的6个顶点的距离相等，所以点是该几何体的外接球的球心，若将该几何体完全放置在一个球内，则当该几何体内接于球时，球的体积最小，则只需求出该几何体的外接球的体积即可，因为该球的半径为，所以该球的体积为.所以满足条件的球的最小体积为.故选：D12．C【解析】【分析】令利用导数说明函数的单调性，即可得到，从而判断①，再由，即可判断②，令，利用导数说明函数的单调性，即可得到，再由，即可判断③；【详解】解：令，则，所以当时，即在上单调递增，当时，即在上单调递减；因为，所以，即，即，故①错误；因为，所以，即，所以，即，故②正确；再令，则，所以当是，即在上单调递增，所以，则，即，又，，所以，即，即，所以，即，所以，即，故③正确；故选：C13．2【解析】【分析】根据渐近线斜率求得，根据焦距求得c的值，利用a,b,c的平方关系得到关于a的方程，求得a的值.【详解】双曲线的的渐进线方程为，∵一条渐近线的斜率为2，∴，即,又∵，∴，∴,∴,故答案为：214．【解析】【分析】根据已知条件，利用向量的线性运算求得，然后利用向量数量积的运算求得结论.【详解】由得，所以，∴,故答案为：15．123【解析】【分析】由已知，根据给的，通过，计算出，得到之间的关系，然后构造等比数列，得到数列的通项公式，然后求和即可.【详解】由已知，，①，当时，，当时，②，①②得：，整理得：，即，所以数列是以为首项，公比为2的等比数列，所以，所以，所以.故答案为：123.16．【解析】【分析】利用面面平行性质定理找到点、点的运动轨迹，然后各自计算其区域面积，然后加在一起即可.【详解】由已知得：平面与平面的交线与平行，M轨迹为平面与平面的交线在矩形内线段所构成的图形，当点与点重合时，M轨迹为线段， 当点从点沿往点运动时，M轨迹为以为一端点,另一端点落在线段上的线段，其中为棱上靠近于点的三等分点，综上，M轨迹为线段以及三角形及其内部，所以点构成区域的面积为，同理可得轨迹为平面与平面的交线在矩形内线段所构成的图形，构成区域为梯形,面积为，所以M，N构成的区域的面积之和为.故答案为：.17．(1)(2)【解析】【分析】（1）利用正弦定理边化角(的正弦)，进而利用同角三角函数的关系得到，再根据，结合两角和的正切公式得到关于的方程，求得的值，同时注意根据已知条件判定角为锐角，得到角的值；（2）利用同角三角函数的关系，求得三个内角的正弦值，进而利用正弦定理求得三角形另外两边的长，利用三角形面积公式计算即得S．(1)∵，∴,∴，即,又∵∴,解得或，又∵，∴角为钝角，∴角为锐角，∴，∴；(2)由（1）知，，，及已知条件,∴,，，又∵，∴，，∴.18．(1)(2)当回归方程为时，2022年我国新能源乘用车的年销售量的预测值是万辆；当回归方程为时，2022年我国新能源乘用车的年销售量的预测值是万辆．(3)由于相关指数越接近于，两个变量之间的关系就强，相应的拟合程度也越好，所以模型得到的预测值更可靠．【解析】【分析】（1）根据表中数据和参考数据，得出，，，的值，运用最小二乘法求回归直线方程即可；（2）根据回归方程，代入的值即可求出预测值；（3）相关指数越接近，两变量的相关性越强，预测值越可靠．(1)由表中数据得，，，，， y关于x的线性回归方程为：．(2)由（1）知，y关于x的线性回归方程为：，当时，2022年我国新能源乘用车的年销售量的预测值：（万辆）；对于回归方程，当时，2022年我国新能源乘用车的年销售量的预测值：（万辆）．(3)依题意：模型和第（1）问中模型的（为相关指数）分别为0.87和0.71，由于相关指数越接近于，两个变量之间的关系就强，相应的拟合程度也越好，所以模型得到的预测值更可靠．19．(1)证明见解析(2)【解析】【分析】（1）取为的中点，连接、，先证、，然后再证明，从而证明平面，找到，再根据，即可证明平面PCD.（2）以为坐标原点，建立空间直角坐标系，分别表示出对应点的坐标，然后计算平面、平面的法向量，通过计算两个法向量夹角的余弦值来确定二面角的平面角的余弦值.(1)证明：设点为的中点，连接、，因为是以BC为斜边的等腰直角三角形，所以，因为，所以，因为，，所以,在中，，可知，且,又因为，且，所以四边形为平行四边形，所以，在中，，所以，即，又因为，，平面，所以平面，因为平面，所以，又因为，，平面，所以平面PCD.(2)以为坐标原点，分别以，，为轴，轴，轴为正方向建立空间直角坐标系，如图所示，空间直角坐标系，由题意得：，，，，，所以，，设平面的一个法向量为，得，不妨设，则，同理可得平面的一个法向量为，所以.由图可知，所求的二面角平面角为钝角，所以二面角的平面角的余弦值为.20．(1)(2)存在，且或【解析】【分析】（1）设点在第一象限，由已知可得，可求得点的坐标，将点的坐标代入椭圆的方程，求出、的值，即可得出椭圆的方程；（2）将直线的方程与椭圆的方程联立，由可得出实数的取值范围，列出韦达定理，分析可知，再由，结合韦达定理可得出关于的方程，可求得的值，即可得出结论.(1)解：，，所以，，当时，，此时、关于原点对称，直线的方程为，因为，则点在第一象限，则，解得，即点，将点的坐标代入椭圆方程可得，所以，，，因此，椭圆的方程为.(2)解：联立可得，由，可得，由韦达定理可得，①，，②在直线上是否存在点，使得，，则是以为直角的等腰直角三角形，则，直线的斜率为，解得，③联立①②③可得，解得或.所以，存在点满足题意，此时或.21．(1)(2)【解析】【分析】（1）利用导数求出函数的单调性和最小值，结合函数图象，由最小值小于即可解得结果；（2）分类讨论，求出，得到，再构造函数求出最小值即可得解.(1)的定义域为，，当时，，当时，，所以在上为减函数，在上为增函数，所以当时，取得最小值，为，因为当趋近于时，趋近于，当趋近于正无穷时，也趋近于正无穷，所以要使函数有2个零点，则，解得.(2)，，，（i）当时，恒成立，函数在区间上为增函数，所以，，所以，令，则函数在区间上单调递减，所以的最小值为，即的最小值为.（ii）当时，恒成立，函数在区间上单调递减，所以，，所以，令，则函数在区间上单调递增，所以的最小值为，即的最小值为.（iii）当时，由，得，由，得，所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以，①当时，，此时，所以，令，则，所以函数在区间上单调递增，所以函数的最小值为，所以的最小值为.②当时，，所以，所以，令，则，所以函数在区间上单调递减，所以，综上所述：的最小值为.【点睛】关键点点睛：（1）中，利用导数求出函数的最小值，利用最小值小于0求解是解题关键；（2）中，对分类讨论，利用导数求出，然后作差构造函数求最小值是解题关键.22．(1)；.(2)【解析】【分析】（1）消去参数得到直线l的普通方程，利用互化公式得到C的极坐标方程；（2）先求得直线l的极坐标方程，利用极坐标方程求得|OA|,|OB|关于角的函数表达式，得到，进而利用三角函数的性质求得取值范围.(1)直线l的参数方程为（t为参数），∴，、即直线l的普通方程为；将极直互化公式代入曲线C的方程为，得到，等价于，这就是曲线C的极坐标方程；(2)直线l的极坐标方程为：，即， E：，与l交于点A，E与C交于点B，，，∴，∵，∴，∴的取值范围是，∴的取值范围是，∴的取值范围是,∴的取值范围是.23．(1)(2)证明见解析【解析】【分析】（1）由题意得，然后分，和三种情况求解即可，（2）令，利用导数可得在上为增函数，又由于，从而可的单调性可证得结论(1)由题意得，当时，，解得，当时，，解得，当时，，解得，综上，不等式的解集为(2)证明：令，则，所以在上为增函数，因为，所以，所以