2021-2022学年北京市燕山区八年级（下）期中数学试卷

这是一份2021-2022学年北京市燕山区八年级（下）期中数学试卷，共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年北京市燕山区八年级（下）期中数学试卷
一、选择题（本题共30分，每小题3分）
1．（3分）下列图形中，不一定是轴对称图形的是（　　）
A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．平行四边形
2．（3分）如图，▱ABCD中，AD＝4，AB＝2，则▱ABCD的周长为（　　）

A．6 B．8 C．12 D．14
3．（3分）下列根式中，化简后可以与合并的是（　　）
A． B． C． D．
4．（3分）下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
5．（3分）下列各组数中，能作为直角三角形三边的是（　　）
A．1，2，3 B．4，5，6 C．，， D．1，，2
6．（3分）如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点O是斜边AC的中点，AC＝10，则OB＝（　　）

A．5 B．6 C．8 D．10
7．（3分）如图，▱ABCD中，点O是对角线AC的中点，点E是BC的中点，CD＝8，则OE＝（　　）

A．3 B．4 C．5 D．7
8．（3分）已知菱形的两条对角线长分别是6cm和8cm，则菱形的边长是（　　）
A．5cm B．7cm C．10cm D．12cm
9．（3分）有下列四个条件：①对角线互相平分的四边形；②对角线互相垂直的四边形；③对角线相等的平行四边形；④有一个角是直角的平行四边形，其中能作为矩形的判定条件的是（　　）
A．①② B．③④ C．①③ D．②④
10．（3分）把图1中的菱形沿对角线分成四个全等的直角三角形，将这四个直角三角形分别拼成如图2，图3所示的正方形，则图1中菱形的面积为（　　）

A．6 B．24 C．26 D．12
二、填空题（本题共24分，每小题3分）
11．（3分）若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是　 　．
12．（3分）计算：　 　，　 　．
13．（3分）如果，那么ab的值是 　 　．
14．（3分）比较大小：　 　．（填“＞、＜、或＝”）
15．（3分）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，要使四边形ABCD是平行四边形，则需添加的一个条件是　 　．

16．（3分）一艘船以20海里/时的速度从A港向东北方向航行，另一艘船以15海里/时的速度从A港向西北方向航行，经过1小时后，它们相距 　 　海里．
17．（3分）如图，点E在正方形ABCD中，△BEC是等边三角形，则∠EAD＝　 　°．

18．（3分）在数学课上，老师提出如下问题：
尺规作图：经过直线外一点作已知直线的平行线．
已知：直线l和l外一点A．
求作：直线l的平行线，使它经过点A．
小明同学的作法如下：
如图2，
（1）在l上任取一点B，以点B为圆心，AB长为半径画弧交直线l于点C；
（2）分别以点A，C为圆心，AB长为半径画弧，两弧相交于D点；
（3）作直线AD．直线AD即为所求作的平行线．
老师说：“小明的作法正确．”
请回答：小明的作图依据是 　 　．

三、解答题（本题共46分，第19题8分，每小题8分；第20-24题，每题各5分；第25题6分；第26题7分）
19．（8分）计算：
（1）；
（2）．
20．（5分）已知，，求a2+b2﹣ab的值．
21．（5分）如图，在▱ABCD中，点E、F是对角线BD上的两点，且BE＝DF，求证：四边形AECF是平行四边形．

22．（5分）如图所示四边形ABCD，已知AB＝6，BC＝8，CD＝24，AD＝26，∠B＝90°，求该四边形ABCD的面积．

23．（5分）春节期间，乐乐帮妈妈挂灯笼时发现，如图，长2.5米的梯子AB斜靠在一面竖直的墙AC上，这时梯子的底端B到墙角的距离BC为1.5米，当梯子的底端B向右移动0.5米到D处时，请你帮乐乐算一算，梯子顶端A下滑了多少米？

24．（5分）如图，在平行四边形ABCD中，CE⊥AD于点E，延长DA至点F，使得EF＝DA，连接BF，CF．
（1）求证：四边形BCEF是矩形；
（2）若AB＝3，CF＝4，DF＝5，求EF的长．

25．（6分）阅读材料：
如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记半周长为p，即p，那么这个三角形的面积S，这个公式叫“海伦公式”，它是利用三角形的三条边长直接求三角形面积的公式．中国南宋数学家秦九韶也得出了类似的公式，称“三斜求积术”，所以这个公式也称为“海伦﹣秦九韶公式”．
完成下列问题：
如图，△ABC中，三边长分别为a＝7，b＝5，c＝6．
（1）求△ABC的面积；
（2）过点C作CD⊥AB，垂足为点D，请补全图形，并求线段BD的长．

26．（7分）我们规定：一组邻边相等且对角互补的四边形叫做完美四边形．
（1）在以下四种四边形中，一定是完美四边形的是 　 　（请填序号）；
①平行四边形 ②菱形③矩形④正方形
（2）如图1，菱形ABCD中，∠A＝60°，E，F分别是AB，BC上的点，且AE＝BF，求证：四边形DEBF是完美四边形；
（3）完美四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD+∠BCD＝180°，连接AC．
①如图2，求证：CA平分∠DCB；
②如图3，当∠BAD＝90°时，直接用等式表示出线段AC，BC，CD之间的数量关系．



2021-2022学年北京市燕山区八年级（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共30分，每小题3分）
1．（3分）下列图形中，不一定是轴对称图形的是（　　）
A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．平行四边形
【解答】解：矩形，菱形，正方形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，
平行四边形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，
故选：D．
2．（3分）如图，▱ABCD中，AD＝4，AB＝2，则▱ABCD的周长为（　　）

A．6 B．8 C．12 D．14
【解答】解：在▱ABCD中，
∵AD＝4，AB＝2，
∴▱ABCD的周长为2×（2+4）＝12，
故选：C．
3．（3分）下列根式中，化简后可以与合并的是（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：A、2，不可以与合并，故A不符合题意；
B、2，可以与合并，故B符合题意；
C、2，不可以与合并，故C不符合题意；
D、，不可以与合并，故D不符合题意；
故选：B．
4．（3分）下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：A．和不是同类二次根式，不能合并，故本选项不符合题意；
B．和不能合并，故本选项不符合题意；
C．，故本选项不符合题意；
D．，故本选项符合题意；
故选：D．
5．（3分）下列各组数中，能作为直角三角形三边的是（　　）
A．1，2，3 B．4，5，6 C．，， D．1，，2
【解答】解：A、∵1+2＝3，
∴以1、2，3为边不能组成三角形，
故A不符合题意；
B、∵42+52＝16+25＝41，62＝36，
∴42+52≠62，
∴以4、5，6为三角形的三边，不是直角三角形，
故B不符合题意；
C、∵（）2+（）2＝5+12＝17，（）2＝13，
∴（）2+（）2≠（）2，
∴以、、为三角形的三边，不是直角三角形，
故C不符合题意；
D、∵12+（）2＝1+3＝4，22＝4，
∴12+（）2＝22，
∴以1、，2为三角形的三边，是直角三角形，
故D符合题意；
故选：D．
6．（3分）如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点O是斜边AC的中点，AC＝10，则OB＝（　　）

A．5 B．6 C．8 D．10
【解答】解：Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点O是斜边AC的中点，AC＝10，
则OBAC＝5，
故选：A．
7．（3分）如图，▱ABCD中，点O是对角线AC的中点，点E是BC的中点，CD＝8，则OE＝（　　）

A．3 B．4 C．5 D．7
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD＝8，OC＝OA，
∵点E是BC的中点，
∴CE＝EB，
∴OE是△ABC的中位线，
∴2OE＝AB＝8，
∴OE＝4，
故选：B．
8．（3分）已知菱形的两条对角线长分别是6cm和8cm，则菱形的边长是（　　）
A．5cm B．7cm C．10cm D．12cm
【解答】解：如图：∵菱形ABCD中BD＝6cm，AC＝8cm，
∴ODBD＝3cm，OAAC＝4cm，
在直角三角形AOD中AD5cm．
故选：A．

9．（3分）有下列四个条件：①对角线互相平分的四边形；②对角线互相垂直的四边形；③对角线相等的平行四边形；④有一个角是直角的平行四边形，其中能作为矩形的判定条件的是（　　）
A．①② B．③④ C．①③ D．②④
【解答】解：①对角线互相平分的四边形是平行四边形，故本条件不合题意；
②对角线互相垂直的四边形不一定互相平分，不一定是平行四边形，故本条件不合题意；
③对角线相等的平行四边形是矩形，故本条件合题意；
④有一个角是直角的平行四边形是矩形，故本条件合题意；
故选B．
10．（3分）把图1中的菱形沿对角线分成四个全等的直角三角形，将这四个直角三角形分别拼成如图2，图3所示的正方形，则图1中菱形的面积为（　　）

A．6 B．24 C．26 D．12
【解答】解：设图1中分成的直角三角形的长直角边为a，短直角边为b，
，得，
∴图1中菱形的面积为：4＝12，
故选：D．
二、填空题（本题共24分，每小题3分）
11．（3分）若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是　x≥1　．
【解答】解：∵式子在实数范围内有意义，
∴x﹣1≥0，
解得x≥1．
故答案为：x≥1．
12．（3分）计算：　5　，　8　．
【解答】解：5，8．
故答案为：5，8．
13．（3分）如果，那么ab的值是 　9　．
【解答】解：由题意可得：|a﹣3|＝0，0，
解得：a＝3，b＝2，
∴ab＝32＝9．
故答案为：9．
14．（3分）比较大小：　＜　．（填“＞、＜、或＝”）
【解答】解：∵（）2＝12，（3）2＝18，
而12＜18，
∴23．
故答案为：＜．
15．（3分）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，要使四边形ABCD是平行四边形，则需添加的一个条件是　AB＝CD或AD∥BC　．

【解答】解：∵在四边形ABCD中，AB∥CD，
∴可添加的条件是：AB＝DC或AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）
故答案为：AB＝CD或AD∥BC
16．（3分）一艘船以20海里/时的速度从A港向东北方向航行，另一艘船以15海里/时的速度从A港向西北方向航行，经过1小时后，它们相距 　25　海里．
【解答】解：如图，
∵由图可知AC＝20×1＝20（海里），
AB＝15×1＝15（海里），
在Rt△ABC中，BC25（海里）．
故它们相距25海里．
故答案为：25．

17．（3分）如图，点E在正方形ABCD中，△BEC是等边三角形，则∠EAD＝　15　°．

【解答】解：∵E为正方形ABCD内一点，且△EBC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠BAD＝90°，∠EBC＝60°，BC＝BE＝AB，
∴∠ABE＝∠ABC﹣∠EBC＝30°，
∵BA＝BE，
∴∠EAB＝∠AEB（180°﹣30°）＝75°，
∴∠EAD＝90°﹣75°＝15°
故答案为：15．
18．（3分）在数学课上，老师提出如下问题：
尺规作图：经过直线外一点作已知直线的平行线．
已知：直线l和l外一点A．
求作：直线l的平行线，使它经过点A．
小明同学的作法如下：
如图2，
（1）在l上任取一点B，以点B为圆心，AB长为半径画弧交直线l于点C；
（2）分别以点A，C为圆心，AB长为半径画弧，两弧相交于D点；
（3）作直线AD．直线AD即为所求作的平行线．
老师说：“小明的作法正确．”
请回答：小明的作图依据是 　四边相等的四边形为菱形，菱形的对边平行　．

【解答】解：连接CD，如图2，
小明的作图依据是四边相等的四边形为菱形，菱形的对边平行．
故答案为：四边相等的四边形为菱形，菱形的对边平行．

三、解答题（本题共46分，第19题8分，每小题8分；第20-24题，每题各5分；第25题6分；第26题7分）
19．（8分）计算：
（1）；
（2）．
【解答】解：（1）原式＝3
＝2；
（2）原式
．
20．（5分）已知，，求a2+b2﹣ab的值．
【解答】解：∵，，
∴a+b＝2，ab＝3，
∴a2+b2﹣ab
＝（a+b）2﹣3ab
＝（2）2﹣3×3
＝28﹣9
＝19．
即a2+b2﹣ab的值为19．
21．（5分）如图，在▱ABCD中，点E、F是对角线BD上的两点，且BE＝DF，求证：四边形AECF是平行四边形．

【解答】证明：连接AC，交BD于点O．

∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD．
又∵BE＝DF，
∴OB﹣BE＝OD﹣DF，即OE＝OF．
又∵OA＝OC，
∴四边形AECF是平行四边形．
22．（5分）如图所示四边形ABCD，已知AB＝6，BC＝8，CD＝24，AD＝26，∠B＝90°，求该四边形ABCD的面积．

【解答】解：∵AB＝6，BC＝8，∠B＝90°，
∴AC10，
∵CD＝24，AD＝26，
∴AC2+CD2＝102+242＝676，AD2＝262＝676，
∴AC2+CD2＝AD2，
∴△ACD是直角三角形，
∴∠ACD＝90°，
∴四边形ABCD的面积＝△ABC的面积+△ACD的面积
AB•BCAC•CD
6×810×24
＝24+120
＝144，
∴四边形ABCD的面积为144．
23．（5分）春节期间，乐乐帮妈妈挂灯笼时发现，如图，长2.5米的梯子AB斜靠在一面竖直的墙AC上，这时梯子的底端B到墙角的距离BC为1.5米，当梯子的底端B向右移动0.5米到D处时，请你帮乐乐算一算，梯子顶端A下滑了多少米？

【解答】解：∵∠C＝90°，在Rt△ABC中，由勾股定理得，
AC2＝AB2﹣BC2＝2.52﹣1.52＝4，
∴AC＝2米，
∵BD＝0.5米，
在Rt△ECD中，CE2＝DE2﹣CD2＝2.52﹣（CB+BD）2＝1.52，
∴CE＝1.5米，
∴AE＝AC﹣CE＝2﹣1.5＝0.5（米），
答：梯子顶端A下滑0.5米．
24．（5分）如图，在平行四边形ABCD中，CE⊥AD于点E，延长DA至点F，使得EF＝DA，连接BF，CF．
（1）求证：四边形BCEF是矩形；
（2）若AB＝3，CF＝4，DF＝5，求EF的长．

【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∵EF＝DA，
∴EF＝BC，EF∥BC，
∴四边形BCEF是平行四边形，
又∵CE⊥AD，
∴∠CEF＝90°，
∴平行四边形BCEF是矩形；
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD＝AB＝3，
∵CF＝4，DF＝5，
∴CD2+CF2＝DF2，
∴△CDF是直角三角形，∠DCF＝90°，
∴△CDF的面积DF×CECF×CD，
∴CE，
由（1）得：EF＝BC，四边形BCEF是矩形，
∴∠FBC＝90°，BF＝CE，
∴BC，
∴EF．
25．（6分）阅读材料：
如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记半周长为p，即p，那么这个三角形的面积S，这个公式叫“海伦公式”，它是利用三角形的三条边长直接求三角形面积的公式．中国南宋数学家秦九韶也得出了类似的公式，称“三斜求积术”，所以这个公式也称为“海伦﹣秦九韶公式”．
完成下列问题：
如图，△ABC中，三边长分别为a＝7，b＝5，c＝6．
（1）求△ABC的面积；
（2）过点C作CD⊥AB，垂足为点D，请补全图形，并求线段BD的长．

【解答】解：（1）p9，
S

＝6；
（2）补全图形如图所示，

∵SAB×CD＝6，
∴6×CD＝6，
∴CD＝2，
∴BD

＝5．
26．（7分）我们规定：一组邻边相等且对角互补的四边形叫做完美四边形．
（1）在以下四种四边形中，一定是完美四边形的是 　④　（请填序号）；
①平行四边形 ②菱形③矩形④正方形
（2）如图1，菱形ABCD中，∠A＝60°，E，F分别是AB，BC上的点，且AE＝BF，求证：四边形DEBF是完美四边形；
（3）完美四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD+∠BCD＝180°，连接AC．
①如图2，求证：CA平分∠DCB；
②如图3，当∠BAD＝90°时，直接用等式表示出线段AC，BC，CD之间的数量关系．


【解答】解：（1）根据完美四边形的定义，可知“正方形”是完美四边形；
故答案为：④；

（2）证明：如图，连接BD，

∵菱形ABCD，
∴AB＝AD，AD∥BC．
∵∠A＝60°，
∴△ABD是等边三角形，∠ABC＝120°，
∴AD＝BD．
∵BD平分∠ABC，
∴∠DBC＝60°＝∠A．
∵AE＝BF，
∴△ADE≌△BDF（SAS），
∴DE＝DF，∠AED＝∠BFD．
∵∠AED+∠DEB＝180°，
∴∠BFD+∠DEB＝180°，
∴四边形DEBF是完美四边形．

（3）①证明：延长CB至点E，使BE＝CD，连接AE，

∵∠ABC+∠D＝180°，∠ABC+∠ABE＝180°，
∴∠ABE＝∠D．
又∵AB＝AD，
∴△ADC≌△ABE（SAS），
∴∠ACD＝∠E，AC＝AE，
∴∠ACE＝∠E，
∴∠ACD＝∠ACE，
∴CA平分∠DCB；
②，
理由如下：如图2，延长CB，使BE＝CD，连接AE，

∵∠ADC+∠ABC＝180°，∠ABE+∠ABC＝180°，
∴∠ADC＝∠ABE，
又∵AD＝AB，BE＝CD，
∴△ADC≌△ABE（SAS），
∴AC＝AE，∠EAB＝∠CAD，CD＝BE，
∴∠CAE＝∠DAB＝90°，
∴CEAC，
∴CD+BCAC．
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