天津市耀华中学2022届高三下学期二模数学试题

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天津市耀华中学2022届高三下学期二模数学试题

试卷副标题

考试范围：xxx；考试时间：100分钟；命题人：xxx

注意事项：

1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息

2．请将答案正确填写在答题卡上

第I卷（选择题）

请点击修改第I卷的文字说明

1．已知集合，，则（       ）

A． B． C． D．

2．已知下列命题：

①命题：“，”的否定是：“，”；

②抛物线的焦点坐标为；

③已知，则是的必要不充分条件；

④在中，是的充要条件.

其中真命题的个数为（       ）个

A．1 B．2 C．3 D．4

3．函数的部分图象大致为（       ）

A． B．

C． D．

4．2022年北京冬季奥运会中国体育代表团共收获9金4银2铜，金牌数和奖牌数均创历史新高．获得的9枚金牌中，5枚来自雪上项目，4枚来自冰上项目．某体育院校随机调查了100名学生冬奥会期间观看雪上项目和冰上项目的时间长度（单位：小时），并按，，，，分组，分别得到频率分布直方图如下：

估计该体育院校学生观看雪上项目和冰上项目的时间长度的第75百分位数分别是和，方差分别是和，则（        ）

A．， B．， C．， D．，

5．已知，，，则的大小关系为（       ）

A． B． C． D．

6．一个圆锥的侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的内切球的表面积和圆锥的侧面积的比为（       ）

A． B． C． D．

7．在平面直角坐标系中，双曲线过点，且其两条渐近线的方程分别为和，则双曲线的标准方程为（       ）

A． B．

C．或 D．

8．将函数的图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象.对于下列四种说法，正确的是

①函数的图象关于点成中心对称

②函数在上有8个极值点

③函数在区间上的最大值为，最小值为

④函数在区间上单调递增

A．①② B．②③ C．②③④ D．①③④

9．已知函数 ，若函数在内恰有5个零点，则a的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

第II卷（非选择题）

请点击修改第II卷的文字说明

10．已知i为虚数单位，则复数___________.

11．若直线被圆截得线段的长为，则实数m的值为______．

12．某公司新成立3个产品研发小组，公司选派了5名专家对研发工作进行指导.若每个小组至少有一名专家且5人均要派出，若专家甲､乙需到同一个小组指导工作，则不同的专家派遣方案总数为___________.（用数字作答）

13．已知不等式的解集中恰有五个整数，则实数a的取值范围为___________.

14．某专业资格考试包含甲､乙､丙3个科目，假设小张甲科目合格的概率为，乙､丙科目合格的概率均为，且3个科目是否合格相互独立.设小张3科中合格的科目数为X，则___________；___________.

15．如图，在中，，D为中点，P为上一点，且满足，的面积为，则___________；的最小值为___________.

16．如图，在四棱锥中，平面，底面是直角梯形，其中，，，，E为棱上的点，且.

(1)求证：平面；

(2)求二面角的余弦值；

(3)求点E到平面的距离.

17．已知函数

(1)求的单调递增区间；

(2)三角形的三边a，b，c满足，求的取值范围．

18．已知函数.

(1)若，求函数的单调区间；

(2)若存在两个极小值点，求实数的取值范围.

19．已知为等差数列，前n项和为，，是首项为2的等比数列，且公比大于0，，，.

(1)求和的通项公式；

(2)设，，，求；

(3)设，其中.求的前2n项和.

20．已知椭圆：，，为其左右焦点，离心率为，.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）设点，点在椭圆上，过点作椭圆的切线，斜率为，，的斜率分别为，，则是否是定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由.

（3）设点，点在椭圆上，点在的角分线上，求的取值范围.

参考答案：

1．D

【解析】

【分析】

求得集合再求交集即可

【详解】

由题，，故

故选：D

2．B

【解析】

【分析】

根据全称命题的否定性质、抛物线焦点坐标公式，结合必要不充分条件、充要条件的定义逐一判断即可.

【详解】

①；因为全称命题的否定是存在命题，所以“，”的否定是：“，”，因此本说法正确；

②：，因此该抛物线的焦点坐标为：，所以本说法不正确；

③：由，或，由，或，

因此由能推出，但是由不一定能推出，

所以是的充分不必要条件，因此本说法不正确；

④：在中，一方面，因为，所以，由正弦定理可知：；

另一方面，由，

所以在中，是的充要条件，因此本说法正确，

所以真命题的个数为2个，

故选：B

3．B

【解析】

【分析】

分析函数的奇偶性以及的值，结合排除法可得出合适的选项.

【详解】

对任意的，，所以，函数的定义域为，

因为，则函数为奇函数，排除C选项；

因为，，则，所以，，排除AD选项.

故选：B.

4．A

【解析】

【分析】

分别计算出和，进行比较；由方差的意义比较和，即可得到答案.

【详解】

由题意进行数据分析，可得：

，解得：；

，解得：；

所以.

比较两个频率分布直方图可以看出：雪上项目的数据更分散，冰上项目的数据更分散，由方差的意义可以得到：.

故选：A

5．A

【解析】

【分析】

根据指对数互化，利用对数函数的性质判断a、b、c的大小.

【详解】

由题设，，又，

而，则，

综上，.

故选：A

6．A

【解析】

【分析】

设圆锥的底面半径为，母线长为，圆锥的高为，内切球的半径为，则由题意可得，从而可求得，作出轴截面如图，利用与相似可求出，从而可求出圆锥的内切球的表面积和圆锥的侧面积的比

【详解】

设圆锥的底面半径为，母线长为，圆锥的高为，内切球的半径为，其轴截面如图所示，设为内切球球心，

因为圆锥的侧面展开图是一个半圆，

所以，得，即，

所以，

所以，

因为∽，所以,

所以，得，

所以圆锥的内切球的表面积和圆锥的侧面积的比为

，

故选：A

7．B

【解析】

【分析】

待定系数法设双曲线方程后求解

【详解】

若双曲线焦点在轴上，则可设其标准方程为，

可列解得，其标准方程为

若双曲线焦点在轴上，则可设其标准方程为

此时无解

综上，双曲线方程为

故选：B

8．B

【解析】

【详解】

，将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到的图象.对于①，，故函数的图象不关于点成中心对称，所以①错误；对于②，由得，结合函数图象可得在上有8个极值点，所以②正确；对于③，由，得，则，所以的最大值为，最小值为，所以③正确；对于④，当时，，故函数在区间上不单调， 所以④错误.故选B．

9．D

【解析】

【分析】

分析可知，对实数的取值进行分类讨论，确定函数在上的零点个数，然后再确定函数在上的零点个数，可得出关于实数的不等式（组），综合可得出实数的取值范围.

【详解】

当时，对任意的，在上至多个零点，不合乎题意，所以，.

函数的对称轴为直线，.

所以，函数在上单调递减，在上单调递增，且.

①当时，即当时，则函数在上无零点，

所以，函数在上有个零点，

当时，，则，

由题意可得，解得，此时不存在；

②当时，即当时，函数在上只有一个零点，

当时，，则，则函数在上只有个零点，

此时，函数在上的零点个数为，不合乎题意；

③当时，即当时，函数在上有个零点，

则函数在上有个零点，

则，解得，此时；

④当时，即当时，函数在上有个零点，

则函数在上有个零点，

则，解得，此时，.

综上所述，实数的取值范围是.

故选：D.

【点睛】

已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法：

（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；

（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；

（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.

10．.

【解析】

【分析】

根据复数模的运算公式，结合复数除法的运算法则进行运算即可.

【详解】

，

故答案为：.

11．

【解析】

【分析】

求解圆心到直线的距离，结合圆的弦长公式求解即可．

【详解】

圆的圆心坐标为，半径为1，

圆心到直线的距离．

据题意，得，解得．

故答案为：

12．

【解析】

【分析】

根据甲､乙两人组成一组和甲､乙两人与其他三人中选一人组成一组二种情况分类讨论求解即可.

【详解】

当甲､乙两人组成一组时，不同的专家派遣方案总数为：；

当甲､乙两人与其他三人中选一人组成一组时，

不同的专家派遣方案总数为：，

所以专家甲､乙需到同一个小组指导工作，则不同的专家派遣方案总数为：，

故答案为：

13．

【解析】

【分析】

根据一元二次不等式的解法，结合已知分类讨论进行求解即可.

【详解】

，

当时，原不等式化为，显然，不符合题意；

当时，不等式的解集为，其中解集中必有元素，

若五个整数是时，可得，此时解集为空集，

若五个整数是时，，此时解集为空集，

若五个整数是时，，

若五个整数是时，，此时解集为空集，

若五个整数是时，，此时解集为空集；

当时，不等式的解集为，其中解集中必有元素，

若五个整数是时，可得，此时解集为空集，

若五个整数是时，，此时解集为空集，

若五个整数是时，，

若五个整数是时，，此时解集为空集，

五个整数是时，，此时解集为空集，

故答案为：.

【点睛】

关键点睛：运用分类讨论思想是解题的关键.

14．     ；     ##.

【解析】

【分析】

根据独立事件概率的公式，结合数学期望的公式进行求解即可.

【详解】

；

，

，

，

所以，

故答案为：；

15．     ；     .

【解析】

【分析】

根据平面向量加法的几何意义、共线向量的性质，结合平面向量的运算性质、基本不等式进行求解即可.

【详解】

设，由而，

所以有，即；

因为的面积为，，

所以有，

因为，

所以有

，

当有仅当时取等号，

故答案为：；.

【点睛】

关键点睛：运用基本不等式是解题的关键.

16．(1)证明过程见解析；

(2)；

(3).

【解析】

【分析】

（1）建立空间直角坐标系，利用空间向量数量积的运算性质，结合线面垂直的判定定理进行计算证明即可；

（2）利用空间向量夹角公式进行求解即可；

（3）利用空间向量夹角公式，结合锐角三角函数定义进行求解即可.

(1)

因为平面，平面，

所以，而，因此可以建立如下图所示的空间直角坐标系，

则有，

，，，

因为，

所以，而平面，

所以平面；

(2)

设平面的法向量为，

，

则有，

由（1）可知平面的法向量为，

所以有，

由图知二面角为锐角，所以二面角的余弦值为；

(3)

由（2）可知：平面的法向量为，

，所以可得：

，

所以点E到平面的距离为.

17．(1)

(2)

【解析】

【分析】

（1）先利用倍角公式以及两角和差的正弦公式进行化简可得，然后根据函数的单调性即可求得的单调递增区间；

（2）根据余弦定理可求得，便可知的取值范围从而求得的取值范围.

(1)

解：由题意得：

当时，函数单调递增，解得：

的单调递增区间：

(2)

由可知

由余弦定理得：

故可知                    

∴

又

∴．

18．(1)递减区间为，递增区间为

(2)

【解析】

【分析】

（1）当时，求得，令，利用导数求得，进而求得函数的单调区间；

（2）求得，令，结合单调性得到，进而得到，分和，两种情况分类讨论，结合单调性与极值点的概念，即可求解.

(1)

解：当时，函数，

可得，

令，可得，所以函数单调递增，

因为，所以，

当时，，单调递减；

当时，，单调递增，

即函数的单调递减区间为，单调递增区间为.

(2)

解：由函数，

可得，

令，可得，

所以函数在上单调递增，在上单调递减，所以，

当时，可得，所以，

①当时，，此时当时，，单调递减；

当时，，单调递增，

所以函数的极小值为，无极大值；

②当时，，

又由在上单调递增，所以在上有唯一的零点，且，

因为当时，令，可得，

又因为，所以，即，所以，

所以，，

因为在上单调递减，所以在上有唯一的零点，且，

所以当时，，单调递减；

当时，，单调递增；

当时，，单调递减；

当时，，单调递增，

所以函数有两个极小值点，故实数的取值范围为.

19．(1)，；

(2)；

(3).

【解析】

【分析】

（1）根据等差数列的通项公式、前n项和公式，结合等比数列的通项公式进行求解即可；

（2）运用累和法，结合对数的运算性质进行求解即可；

（3）根据（1）（2）的结论，结合裂项相消法进行求解即可.

(1)

设等差数列的公差为，等比数列的公比为，

由，或舍去，所以；

，

，解得：，即，

所以有，；

(2)

因为，

所以当时，

有

，显然当时也适合，

即；

(3)

由（1）（2）可知：，，.

当，时，，

当，时，，

，

.

【点睛】

关键点睛：运用裂项相消法是解题的关键.

20．（1）；（2）是定值-8；（3）.

【解析】

【分析】

（1）建立，，的三个方程，求解即可得椭圆的标准方程；

（2）先把用，表示，再把，也用，表示，代入中即可得结论；

（3）把点在的角分线上转化为点 到直线和直线的距离相等，进而建立一个方程，化简即可得到得．

【详解】

（1）由题设知

，解得，

∴椭圆：.

（2）是定值-8，下面证明之.

∵点，过点作椭圆的切线，斜率为，

∴：且，

与：联立消得

“*”

由题设得，

即，

∵点在椭圆上，

∴，代入上式得.

（另法：过上的点的切线为

：，其斜率为，

，，

∴

（定值），

∴是定值-8.

（3）由题设知，，

∵点，

∴：即，

：即，

∵点在的角分线上，

∴点到直线和直线的距离相等，

∴，

∵点在椭圆上，

∴，

故得，

∵，，

∴，

得，

∴的取值范围是.