模拟卷04-2022年高考数学仿真预测模拟试题（新高考专用）

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2022年(新高考)全国卷数学高考全真模拟试题本试卷共22小题，满分150分。考试用时120分钟。一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1. 已知集合，，则(    )A.       B.       C.       D. 【答案】C【解析】【分析】先解出集合，然后计算.【详解】解不等式得，，即，所以.故选：C．2. 已知i是虚数单位，a为实数，且，则a＝(    )A 2 B. 1 C. -2 D. -1【答案】B【解析】【分析】可得，即得.【详解】由，得a＝1.故选：B．3. 已知实数，，，则a，b，c的大小关系为(    )A.     B.      C.     D. 【答案】C【解析】【分析】利用对数函数和指数函数的性质可判断，利用对数函数的性质可判断，利用三角函数的性质可判断，由此可比较出a，b，c的大小关系【详解】解：因为在上为增函数，且，所以，因为在上为增函数，所以，即，因为在上为增函数，且，所以，即，因为，所以，即，所以，故选：C4.已知双曲线的一条渐近线平行于直线，则双曲线的离心率为(    )A.  B.  C.  D. 【答案】D【解析】【分析】由渐近线平行于直线可得两直线斜率相等，即可求出离心率.【详解】因为一条渐近线平行于直线，可知两直线斜率相等，由题知双曲线的一条渐近线方程为，则，， .故选：D．5. 命题“，lg|2x-1|＞0”的否定是(    )A. ， B. ，C. ， D. ，【答案】C【解析】【分析】根据全称命题的否定是特称命题，命题的否定只否定结论，全称命题的否定是特称命题，即可解题.【详解】命题“，”的否定是“，”.故选：C6. 已知正方体的棱长为1，则直线与直线所成角的余弦值为(    )A.  B.  C.  D. 【答案】C【解析】【分析】连接，得到，把异面直线与直线所成角转化为直线与直线所成角，在中，即可求解.【详解】在正方体中，连接，可得，异面直线与直线所成角，即为直线与直线所成角，因为是正三角形，所以.故选：C． 7. 函数的部分图象大致为(    )A.  B. C.  D. 【答案】A【解析】【分析】根据函数为奇函数，可排除D；再根据的函数值，即可得答案；【详解】，故排除D；当时，，故选：A.8. 六博，又称“陆博”，是春秋战国时期开始流行的一种棋类游戏.游戏中需要使用的“博茕”，与我们今天的骰子非常接近，是古代人玩“六博”游戏的关键棋具.最早被发现的“博茕”是在陕西临潼秦始皇陵出土的石制十四面茕.这枚“博茕”为球形十四而体，每面都刻有一个数字，分别为零到十三，每投一次，出现任何一个数字都是等可能的.现投掷“博茕”三次，观察向上的点数：则这三个数依次能构成公比不为1的整数的等比数列的概率为(    ) A.  B.  C.  D. 【答案】D【解析】【分析】利用枚举法，直接列举求解即可【详解】枚举法：可组成的等比数列有1，2，4；2，4，8；1，3，9；3，6，12；4，2，1；8，4，2；9，3，1；12，6，3；共有8种，列式计算得故选：D二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9. 已知双曲线过点，则下列结论正确的是(    )A. C的焦距为4                    B. C的离心率为C. C的渐近线方程为     D. 直线与C有两个公共点【答案】AC【解析】【分析】由题意先求出的值，得到双曲线的标准方程，确定的值，求出椭圆C的焦距，离心率，渐近线方程即可判断选项A B C；将直线与双曲线的方程联立消，得到关于的一元二次方程，利用判别式即可判断选项D.【详解】由双曲线过点，可得，则双曲线的标准方程为：；所以，因为椭圆C的焦距为，所以选项A正确；因为椭圆C的离心率为，所以选项B不正确；因为椭圆C的渐近线方程为，所以选项C正确；将直线与双曲线联立消可得：，，所以直线与双曲线C没有公共点，所以选项D不正确；故选：AC.10.已知函数，则以下说法中正确的是(    )A. 的最小正周期为B. 在上单调递减C. 是的一个对称中心D. 当时，的最大值为【答案】ABC【解析】【分析】根据正弦型三角函数的最小正周期、单调区间、对称中心、最值的求法，判断出正确选项.【详解】因为，所以的最小正周期为，A选项正确.由，解得，所以在上单调递减，B选项正确.，所以是的一个对称中心，C选项正确.由于，所以D选项错误.故选：ABC11.下面的结论中，正确的是(    )A. 若，则B. 若，，，则C. 若，，则D. 若且，则【答案】BCD【解析】【分析】利用基本不等式及成立的条件可判断A、B的正误，利用作差法可判断C的正误，根据对数函数的图象及性质分析判断D的正误即可.【详解】对于A选项，当时，，故A错；对于B选项，由，，可知，，所以，当且仅当时等号成立，故B正确；对于C选项，因为当，时，，即 成立，故C正确；对于D选项，若且，则有，则 ，所以，所以D正确.故选：BCD.12.关于函数，下列说法正确的是(    )A. 是的极大值点B. 函数有且只有个零点C. 存在正整数，使得恒成立D. 对任意两个正实数，，且，若，则【答案】BD【解析】【分析】根据导数解决函数的极值，零点，不等式等问题依次讨论选项即可得答案.【详解】对于A选项，函数的的定义域为，函数的导数 ，∴时，，函数单调递减，时，，函数单调递增，∴是的极小值点，故A错误；对于B选项，，∴，∴ 函数在上单调递减，又∵ ，，∴ 函数有且只有1个零点，故B正确；对于C选项，若，可得，令，则，令，则，∴在上，，函数单调递增，上，，函数单调递减，∴，∴，∴在上函数单调递减，函数无最小值，∴不存在正实数，使得成立，故C错误；对于D选项，由，可知，要证，即证，且，由函数在是单调递增函数，所以有，由于，所以即证明，令，则，所以在是单调递减函数，所以，即成立，故成立，所以D正确.综上，故正确的是BD.故选：BD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13. 已知f(x)是定义域为R的偶函数，且在区间(-∞，0]上单调递增，则不等式，f(3x-1)＞f(2)的解集是________．【答案】【解析】【分析】根据函数的奇偶性，可知函数在上递减，即可求解.【详解】因为f(x)是定义域为R的偶函数，且在区间(-∞，0]上单调递增，所以函数上递减，因为f(3x-1)＞f(2)，所以所以即-2＜3x-1＜2，解得．故答案为：14. 已知函数则的值为___________.【答案】【解析】【分析】利用分段函数直接带入进行求值即可.【详解】∵∴，故答案为：.15. 已知正实数满足，则当_______时，取得最小值是________.【答案】    (1).     (2). 9【解析】【分析】由，利用重要不等式得到，然后利用基本不等式转化为，再利用二次函数性质求解.【详解】因为，所以，解得，当且仅当，即时，取等号，所以，所以的最小值是9，故答案为：，9.16. 已知三棱锥的四个顶点在球的球面上，，是边长为正三角形，分别是的中点，，则球的体积为_________________．【答案】【解析】【分析】由已知设出，，，分别在中和在中运用余弦定理表示，得到关于x与y的关系式，再在中运用勾股定理得到关于x与y的又一关系式，联立可解得x，y，从而分析出正三棱锥是，，两两垂直的正三棱锥，所以三棱锥的外接球就是以为棱的正方体的外接球，再通过正方体的外接球的直径等于正方体的体对角线的长求出球的半径，再求出球的体积.【详解】在中，设，，，,，因为点，点分别是，的中点，所以，，在中，，在中，，整理得，因为是边长为的正三角形，所以，又因为，所以，由，解得，所以．又因为是边长为的正三角形，所以，所以，所以，，两两垂直，则球为以为棱的正方体的外接球，则外接球直径为，所以球的体积为,故答案为. 四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.（10分）已知为等差数列，，，分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且，，中的任何两个数都不在下表的同一列． 第一列第二列第三列第一行   第二行469第三行1287 请从①，②，③ 的三个条件中选一个填入上表，使满足以上条件的数列存在；并在此存在的数列中，试解答下列两个问题(1)求数列的通项公式；(2)设数列满足，求数列的前n项和．【答案】(1)；(2)．【解析】【分析】(1)分别代入①，②，③ ，结合已知条件可判断，，，求出数列的公差，即可求出通项公式.(2)由(1)知，当n为偶数时，结合数列的求和的定义求出，由等差数列的求和公式即可求解；当n为奇数时，即可求解.【详解】解：(1)若选择条件①，当第一行第一列为时，由题意知，可能的组合有，不是等差数列，不是等差数列；当第一行第二列为时，由题意知，可能的组合有，不是等差数列，不是等差数列；当第一行第三列为时，由题意知，可能的组合有，不是等差数列，不是等差数列，则放在第一行的任何一列，满足条件的等差数列都不存在，若选择条件②，则放在第一行第二列，结合条件可知，，，则公差，所以，，若选择条件③，当第一行第一列为时，由题意知，可能的组合有，不是等差数列，不是等差数列；当第一行第二列为时，由题意知，可能的组合有，不是等差数列，不是等差数列；当第一行第三列为时，由题意知，可能的组合有，不是等差数列，不是等差数列，则放在第一行的任何一列，满足条件的等差数列都不存在，综上可知：，.(2)由(1)知，，所以当n为偶数时，，当n为奇数时， ，     18.（12分）宜城市流水镇是全国闻名的西瓜基地，流水西瓜含糖量高，口感好，多次入选全国农博会并获金奖，畅销全国12省百余个大中城市.实践证明西瓜的产量和品质与施肥关系极大，现研究发现该镇礼品瓜“金皇后”的每亩产量(单位：百斤)与施用肥料(单位：百斤)满足如下关系：，肥料成本投入为(单位：百元)，其它成本投入为(单位：百元).已知“金皇后”的市场批发价为2元/斤，且销路畅通供不应求，记每亩“金皇后”的利润为(单位：百元).(1)求的函数关系式；(2)当施用肥料为多少斤时，每亩“金皇后”的利润最大，最大利润是多少元？(参考数据：).【答案】(1)；(2)182.8斤，最大利润为5016元.【解析】【分析】(1)由以及的解析式可得结果；(2)分段求出最大值，再取更大的函数值即可得解.【详解】(1)，(2)①当时，对称轴，当时，百元，②当时，百元，当且仅当即百斤，由①②可知：时，百元.当施用肥料为182.8斤时，每亩“金皇后”的利润最大，最大利润为5016元.19.（12分）在中，角的对边分别为，且．(1)求角的值；(2)若，的面积为，求的周长．【答案】(1)；(2)．【解析】【分析】(1)由正弦定理和题设条件，求得，进而得到，得到，即可求解；(2)由的面积为，利用三角形的面积公式，求得，再结合余弦定理，求得，即可求得的周长．【详解】(1)由题意，在中，满足．根据正弦定理可得：，即，  又由，可得，即，又因为，可得，所以，即，因为， 所以． (2)由的面积为，即，可得，解得，又由余弦定理，可得，解得，所以的周长为．20.（12分）如图所示，在三棱柱中，侧面是矩形，，，是的中点，与交于，且面.(1)求证：；(2)若，求二面角的余弦值.【答案】(1)详见解析；(2).【解析】【分析】(1)推导出DB⊥AB1，，从而AB1⊥平面BDC，由此能证明AB1⊥BC，(2)以O为坐标原点，OA，O，OC所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角的余弦值．【详解】解：(1)由于侧面是矩形，是中点，故，，所以，又，于是，，而面，所以 面，得到(2)如图，建立空间直角坐标系，则，，，可以计算出面的一个法向量的坐标为而平面的一个法向量为设二面角的大小为，则21.（12分）20. 如图，设点，的坐标分别为，，直线，相交于点，且它们的斜率之积为.(1)求的轨迹方程；(2)设点的轨迹为，点､是轨迹为上不同于，的两点，且满足，，求的面积.【答案】(1)；(2).【解析】【分析】(1)先设动点坐标，根据条件斜率之积为列方程即得解； (2)由平行条件得斜率关系得，即得坐标关系；设直线的方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理可得韦达定理，代入可得，再求三角形面积，将代入化简即得解.【详解】(1)由已知设点的坐标为，由题意知，化简得的轨迹方程为.(2)证明：由题意是椭圆上非顶点的两点，且，，则直线，斜率必存在且不为0，又由已知.因为，，所以.设直线的方程为，代入椭圆方程，得，设的坐标分别为，则.又，所以，得.又，所以，即的面积为定值. 22.（12分）已知函数. (1)若是定义域上的增函数，求的取值范围；(2)设，分别为的极大值和极小值，若，求的取值范围.【答案】(1)；(2)【解析】【分析】(1)先写出函数的定义域，对函数求导，是定义域上的增函数，转化为，即恒成立，从而求出的取值范围；(2)将表示为关于的函数，由且，得，设方程，即得两根为，，且，利用韦达定理可得，，由，从而得到，根据题意可得，由得，将其代入上边式子可得，之后令，则，从而有，，则，利用导数研究函数可得结果.【详解】(1)的定义域为，∵在定义域内单调递增，∴，即对恒成立. 则恒成立. ∴    ∵    ∴所以，的取值范围是(2)将表示为关于的函数，由且，得设方程，即得两根为，，且. 则，，∵，∴    ∴∵∴代入得令，则，得，，则        ∴而且上递减，从而即        ∴.