【精校版】2017年高考天津卷理数试题（word版含答案）

2017年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）

数学（理工类）

一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

（1）设集合，则

（A） （B）（C）（D）

（2）设变量满足约束条件则目标函数的最大值为

（A） （B）1（C） （D）3

（3）阅读右面的程序框图，运行相应的程序，若输入的值为24，则输出的值为

（A）0 （B）1（C）2（D）3中·华.资*源%库 ziyuanku.com

（4）设，则“”是“”的

（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件

（5）已知双曲线的左焦点为，离心率为.若经过和两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为

（A） （B）（C）（D）

（6）已知奇函数在R上是增函数，.若，，，则a，b，c的大小关系为

（A） （B）  （C）  （D）

（7）设函数，，其中，.若，，且的最小正周期大于，则

（A），  （B）， （C）， （D），

（8）已知函数设，若关于x的不等式在R上恒成立，则a的取值范围是

（A） （B） （C） （D）

第Ⅱ卷

注意事项：

1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。

2．本卷共12小题，共110分。

二. 填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.

（9）已知，i为虚数单位，若为实数，则a的值为           .

（10）已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个中·华.资*源%库 ziyuanku.com正方体的表面积为18，则这个球的体积为           .

（11）在极坐标系中，直线与圆的公共点的个数为___________.

（12）若，，则的最小值为___________.

（13）在中，，，.若，，且，则的值为___________.

（14）用数字1，2，3，4，5，6，7，8，9组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有___________个.（用数字作答）

三. 解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

15.（本小题满分13分）

在中，内角所对的边分别为.已知，，.

（Ⅰ）求和的值；

（Ⅱ）求的值.

16.（本小题满分13分）

从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为.

（Ⅰ）设表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量的分布列和数学期望；

（Ⅱ）若有2辆车独立地从甲地到乙地，求这2辆车共遇到1个红灯的概率.

（17）（本小题满分13分）

如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥底面ABC，.点D，E，N分别为棱PA，PC，BC的中点，M是线段AD的中点，PA=AC=4，AB=2.

（Ⅰ）求证：MN∥平面BDE；

（Ⅱ）求二面角C-EM-N的正弦值；

（Ⅲ）已知点H在棱PA上，且直线NH与直线BE所成角的余弦值为，求线段AH的长.

18.（本小题满分13分）

已知为等差数列，前n项和为，是首项为2的等比数列，且公比大于0，,，.

（Ⅰ）求和的通项公式；

（Ⅱ）求数列的前n项和.

（19）（本小题满分14分）

设椭圆的左焦点为，右顶点为，离心率为.已知是抛物线的焦点，到抛物线的准线的距离为.

（I）求椭圆的方程和抛物线的方程；

（II）设上两点，关于轴对称，直线与椭圆相交于点（异于点），直线与轴相交于点.若的面积为，求直线的方程.

（20）（本小题满分14分）

设，已知定义在R上的函数在区间内有一个零点，为的导函数.

（Ⅰ）求的单调区间；

（Ⅱ）设，函数，求证：；

（Ⅲ）求证：存在大于0的常数，使得对于任意的正整数，且 满足.

天津理数答案

1-4BDCA  5-8BCAA

9.−2；

10. ；

11.2；

12.4 ；

13. ；

14.1080

15.（Ⅰ）解：在中，因为，故由，可得.由已知及余弦定理，有，所以.

由正弦定理,得.

所以，的值为，的值为.

（Ⅱ）解：由（Ⅰ）及，得，所以，

.故.

16.（Ⅰ）解：随机变量的所有可能取值为0,1,2,3.

，

，

，

.

所以，随机变量的分布列为

随机变量的数学期望.

（Ⅱ）解：设表示第一辆车遇到红灯的个数，表示第二辆车遇到红灯的个数，则所求事件的概率为

.

所以，这2辆车共遇到1个红灯的概率为.

（17）本小题主要考查直线与平面平行、二面角、异面直线所成的角等基础知识.考查用空间向量解决立体几何Ziyuanku.com问题的方法.考查空间想象能力、运算求解能力和推理论证能力.满分13分.

如图，以A为原点，分别以，，方向为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系.依题意可得

A（0，0，0），B（2，0，0），C（0，4，0），P（0，0，4），D（0，0，2），E（0，2，2），M（0，0，1），N（1，2，0）.

Ziyuanku.com

（Ⅰ）证明：=（0，2，0），=（2，0，）.设，为平面BDE的法向量，

则，即.不妨设，可得.又=（1，2，），可得.

因为平面BDE，所以MN//平面BDE.

（Ⅱ）解：易知为平面CEM的一个法向量.设为平面EMN的法向量，则，因为，，所以.不妨设，可得.

因此有，于是.

所以，二面角C—EM—N的正弦值为.

（Ⅲ）解：依题意，设AH=h（），则H（0，0，h），进而可得，.由已知，得，整理得，解得，或.

所以，线段AH的长为或.

18.【解析】（I）设等差数列的公差为，等比数列的公比为.

由已知，得，而，所以.

又因为，解得.所以，.

由，可得 ①.

由，可得 ②，

联立①②，解得，，由此可得.

所以，数列的通项公式为，数列的通项公式为.

（II）解：设数列的前项和为，

由，，有，

故WWW.ziyuanku.comZiyuanku.com，

，

上述两式相减，得

得.

所以，数列的前项和为.

19.（Ⅰ）解：设的坐标为.依题意，，，，解得，，，于是.

所以，椭圆的方程为，抛物线的方程为.

（Ⅱ）解：设直线的方程为，与直线的方程联立，可得点，故.将与联立，消去，整理得，解得，或.由点异于点，可得点.由，可得直线的方程为，令，解得，故.所以.又因为的面积为，故，整理得，解得，所以.

所以，直线的方程为，或.

20.（Ⅰ）解：由，可得，

进而可得.令，解得，或.

当x变化时，的变化情况如下表：

所以，的单调递增区间是，，单调递减区间是.

（Ⅱ）证明：由，得，

.

令函数，则.由（Ⅰ）知，当时，，故当时，，单调递减；当时，，单调递增.因此，当时，，可得.

令函数，则.由（Ⅰ）知，在上单调递增，故当时，，单调递增；当时，，单调递减.因此，当时，，可得.

所以，.

（III）证明：对于任意的正整数 ，，且，

令，函数.

由（II）知，当时，在区间内有零点；

当时，在区间内有零点.

所以在内至少有一个零点，不妨设为，则.

由（I）知在上单调递增，故，

于是.

因为当时，，故在上单调递增，

所以在区间上除外没有其他的零点，而，故.

又因为，，均为整数，所以是正整数，

从而.

所以.所以，只要取，就有.