湖南省长沙市长郡中学、长沙一中名校联考联合体2021-2022学年高一上学期12月联考数学试题

名校联考联合体2021年秋季高一12月联考

数学

时量：120分钟 满分：150分

得分：___________

一､选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中､只有一项是符合题月要求的.）

1.设集合U={1，2，3，4，5，6，7}，A={1，2，3}，B={3，4，5，6}，则（    ）

A.{4，5，6}    B.{3，4，5，6}

C.{3，4，5，6，7}    D.{1，2，4，5，6，7}

2.命题“，”的否定是（    ）

A.不存在，    B.，

C.，    D.，

3.在区间（    ）内至少有一个零点.

A.（，0）    B.（0，1）    C.（1，2）    D.（2，3）

4.根据表中的数据选择恰当的函数模型，则这个函数的解析式可能为（    ）

A.    B.    C.    D.

5.在用“二分法”求函数零点近似值时，若第一次所取区间为，则第三次所取区间可能是（    ）

A.    B.    C.    D.

6.二次函数的图象顶点横坐标的取值范围为（，），则的图象大致为（    ）

A.    B.

C.    D.

7.已知，，，则a，b，c的大小为（    ）

A.    B.    C.    D.

8.已知函数，对任意的，恒成立，则实数k的取值范围是（    ）

A.    B.    C.    D.

二､选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）

9.下列各组函数中，与不是同一函数的是（    ）

A.，    B.，

C.，    D.，

10.已知，则下列说法中正确的有（    ）

A.    B.

C.    D.

11.下列命题正确的是（    ）

A.已知，则“”是“”的充分不必要条件

B.已知，，则“”是“”的必要不充分条件

C.，使函数的图象关于y轴对称

D.，使函数在（，1）上是单调函数

12.已知定义在R上的偶函数在上单调，且，，则下列结论正确的有（    ）

A.，

B.，

C.不等式的解集为

D.关于x的方程解集中所有元素之和为4

三､填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）

13.若幂函数在（0，）上单调递减，则___________.

14.2021年10月，某人的工资应纳税所得额是11000元，纳税标准按如下表格，则他应该纳税___________元.

15.若正数x，y满足，则的最小值为___________.

16.已知函数.

（1）若，则的单调增区间是___________；

（2）若存在实数k使得方程在上有三个实数解，则a的取值范围为___________.

四､解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.）

17.（本题满分10分）

已知函数.

（1）判断函数的奇偶性，并说明理由；

（2）证明在上单调递增.

18.（本题满分12分）

已知集合，，.

（1）计算；

（2）若，求实数a的取值范围.

19.（本题满分12分）

已知的数，（其中）.

（1）设关于x的函数的最小值为m.当时，在如图所示的坐标系中画出函数的图象，并直接写出m的值；

（2）求不等式的解集.

20.（本题满分12分）

已知函数是定义域为R的奇函数.当时，.

（1）求的解析式；

（2），恒成立，求实数a的取值范围.

21.（本题满分12分）

甲､乙两个学生分别对1个单位质量的含污物体进行清洗，清洗前其清洁度（含污物体的清洁度定义为：）为0.7，要求洗完后的清洁度是0.98.学生甲的方案：一次清洗；学生乙的方案：分两次清洗.该物体初次清洗后受残留水等因素影响，其质量变为a（）.设用x单位质量的水初次清洗后的清洁度是（），用y质量的水第二次清洗后的清洁度是，其中c（0.7<c<0.98）是该物体初次清洗后的清洁度.

（1）分别求出学生甲以及c=0.95时学生乙的用水量，并比较哪一种方案用水量较少；

（2）对于学生乙的方案，当a=1.35时，如何安排初次与第二次清洗的用水量，使总用水量最少？

22.（本题满分12分）

已知函数.

（1）若关于x的方程的解集中恰好只有一个元素，求实数a的取值范围；

（2）设，若，函数在区间上的最大值和最小值之差不超过1，求实数a的取值范围.

名校联考联合体2021年秋季高-12月联考

数学参考答案

一､二､选择题

1.A   【解析】，所以选.

2.D   【解析】命题“”的否定是“”，所以选D.

3.B   【解析】，所以选B.

4.D   【解析】由题意有：，即，所以选D.

5.C   【解析】第一次所取区间为，则第二次所取区间可能是；第三次所取的区间可能是，所以选C.

6.C   【解析】的图象顶点横坐标的取值范围为，即，解得：，所以选.

7.B   【解析】，因为，所以选B.

8.C   【解析】由题意得，为奇函数且在上单调递增，恒成立即恒成立，则对恒成立，解得.所以选C.

9.ACD   【解析】定义域为定义域为，则与不是同一函数；B：与定义域和对应关系一样，则与是同一函数；

C：定义域为定义域为，则与不是同一函数；

D：与的对应关系不一样，则与不是同一函数；所以选ACD.

10.AD   【解析】当时，，所以错误；当时，无意义，所以错误，故选.

11.ABD   【解析】不能推出，所以正确.，所以正确.

当时，，不关于轴对称；

当时，的对称轴是，所以C不正确.

当时，在上单调递增；

当时，对称轴是或，所以函数在上是单调函数，所以正确.故选.

12.ACD   【解析】由题意有：，则在上单调递增，在上单调递减，所以正确；

，所以B不正确；

不等式的解集为，所以正确；

令，则的解为，所以或或或，所以解集中所有元素之和为4.所以D正确.故选ACD.

三､填空题

13.   【解析】，解得（（舍））.

14.890   【解析】（元）.

15.   【解析】，当且仅当时取等号.

16.（1）（2）（第（1）小问2分，第（2）小问3分）

【解析】（1）函数图象如图1所示，可知的单调增区间是；

（2）当时，由图2知，在上最多有两个实数解，不满足题意；

当时，由图3知，存在实数使得在上有三个实数解；

当时，由图4知，不存在实数使得在上有三个实数解，不满足题意.

四､解答题

17. 【解析】（1）函数定义域为.

因为，且，

所以函数为偶函数.

（2）时，.设且，

因为，所以，且.

于是，即.

所以函数在上单调递增.

18.【解析】（1）由得，

又函数在上单调递增，

则即，

由，得，即，

则.

（2）因为，

当时，，即；

当时，由有

即，

综上，的取值范围是.

19.【解析】（1）时，的图象如图所示.

则.

（2）.

①当时，；

②当时，；

③当时，.

综上所述：当时，不等式的解集为；

当时，不等式的解集为；

当时，不等式的解集为.

20.【解析】（1）因为是上的奇函数，，

设，则，则，

设，则，

所以，

所以

（2）恒成立.

令，则恒成立，

即，

即，

由于在上单调递减，所以，

所以实数的取值范围为.

21.【解析】（1）设学生甲的用水量为，

由题设有，解得.

由得学生乙初次用水量为5，

第二次用水量满足方程：，解得.

故即两种方案的用水量分别为14与.

因为当时，，即，故学生乙的用水量较少.

（2）设学生乙初次与第二次清洗的用水量分别为与，

类似（1）得.

.

于是.

当时，.

当且仅当时等号成立.

此时（不合题意，舍去）或.

故学生乙初次清洗的用水量为，第二次清洗的用水量为时，使总用水量最少为.

22.【解析】（1）由题意有：.

所以.①

可得，即.

当时，方程的解为，代入①式，成立.

当时，方程的解为，代入①式，成立.

当且时，方程的解为.

若为方程①的解，则，即；

若为方程①的解，则，即，

要使方程①有且只有一个解，则.

综上所述，的取值范围为或.

（2）在上单调递减，依题意有，.

即，

所以，即，

令，则，当时，，

当时，；

综上，.