2022届河南省顶级名校高三考前真题重组导向卷（三）文科数学试题及答案

2022届高三考前真题重组导向卷（三）

文科数学

一、选择题：

1．设全集，集合，则=（    ）

A．     B．       C.    D．

2．设是虚数单位，若复数是纯虚数，则的值为（    ）

A．-3 B．-1 C．1 D．3

3.设函数,则（    ）

A．是奇函数，且在单调递增 B．是奇函数，且在单调递减

C．是偶函数，且在单调递增 D．是偶函数，且在单调递减

4．甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩，老师说，你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩，看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩，根据以上信息，则（       ）

A．乙可以知道两人的成绩 B．丁可以知道四人的成绩

C．乙、丁可以知道对方的成绩 D．乙、丁可以知道自己的成绩

5．记不等式组表示的平面区域为，命题；命题.给出了四个命题：①；②；③；④，这四个命题中，所有真命题的编号是

A．①③ B．①② C．②③ D．③④

6．基本再生数与世代间隔是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：描述累计感染病例数随时间(单位:天)的变化规律，指数增长率与，近似满足。有学者基于已有数据估计出，据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为()（    ）

A．1.2天      B．1.8天       C．2.5天       D．3.5天

7．已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边上有两点，，且，则

A． B． C． D．

8. 设函数的图像与的图像关于直线对称，且，则

A． B． C． D．

9．从区间随机抽取个数，构成个数对，，…，，其中两数的平方和小于1的数对共有个，则用随机模拟的方法得到的圆周率的近似值为

A． B． C． D．

10.在长方体中，，与平面所成的角为，则该长方体的体积为

A． B． C． D．

11.设为抛物线上一点，为抛物线的焦点，以为圆心、为半径的圆和抛物线的准线相交，则的取值范围是（　　）

A． B． C． D．

12．设函数，则满足的的取值范围是

A．     B．      C．   D．

二、填空题

13.设向量，若，则=_________.

14.设是双曲线的两个焦点，是上一点，若，且的最小内角为，则的离心率为___．

15．在中，在边上，延长到，使得，若（为常数），则的长度是________．

16.某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为________

三、解答题

（一）必考题

17.某学生兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次，整理数据得到下表（单位：天）：

（1）分别估计该市一天的空气质量等级为1，2，3，4的概率；

（2）求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；

（3）若某天的空气质量等级为1或2，则称这天“空气质量好”；若某天的空气质量等级为3或4，则称这天“空气质量不好”．根据所给数据，完成下面的2×2列联表，并根据列联表，判断是否有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关？

附：，

18．已知首项都是的两个数列，满足．

(1) 令，求数列的通项公式；

(2) 若，求数列的前项和．

19.如图，三棱柱中，

（1）求证：；

（2）若，问为何值时，三棱柱体积最大，并求此最大值．

20.已知函数．

（1）当时，求曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；

（2）若不等式恒成立，求的取值范围．

21.设椭圆过点，且左焦点为

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）当过点的动直线与椭圆相交与两个不同点时，在线段上取点，满足，证明：点总在某定直线上

（二）选做题

22.在平面直角坐标系中，圆的参数方程为（为参数），过点且倾斜角为的直线与圆交于两点．

（1）求的取值范围；

（2）求中点的轨迹的参数方程．

23.已知

（1）当时，求不等式的解集；

（2）若时，，求的取值范围.

文科数学答案

1-12  D D A D A B  B C C C C B

13．-1     14.     15.      16.

17.【详解】

（1）由频数分布表可知，该市一天的空气质量等级为的概率为，等级为的概率为，等级为的概率为，等级为的概率为；

（2）由频数分布表可知，一天中到该公园锻炼的人次的平均数为

（3）列联表如下：

，

因此，有的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关.

18.（1）因为，所以

所以数列是以首项，公差的等差数列，故

（2）由知

于是数列前n项和

相减得所以

19.解：（1）∵三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∴A1A∥CC1∥BB1，

∵AA1⊥BC，∴CC1⊥BC，

∵A1B⊥BB1，∴A1B⊥CC1，

∵BC∩BA1=B，∴CC1⊥平面BA1C，A1C⊂平面BA1C∴A1C⊥CC1；

（2）作AO⊥B 于O，连结A1O，由（1）可知∠AA1O=90°，∵AB=2，AC=，BC=，∴AB⊥AC，

∴AO=，

设A1A=h，A1O==，

∴三棱柱ABC﹣A1B1C1体积V===，

当h2=，即h=时，即AA1=时棱柱的体积最大，

最大值为：．

20.（1），，.

，∴切点坐标为(1,1+e),

∴函数在点(1,f(1)处的切线方程为,即,

切线与坐标轴交点坐标分别为,

∴所求三角形面积为．

（2）［方法一］：通性通法

,，且.

设,则

∴g(x)在上单调递增，即在上单调递增，

当时，,∴,∴成立.

当时， ，，,

∴存在唯一，使得，且当时，当时，，，

因此

>1,

∴∴恒成立；

当时， ∴不是恒成立.

综上所述，实数a的取值范围是[1,+∞).

［方法二］【最优解】：同构

由得，即，而，所以．

令，则，所以在R上单调递增．

由，可知，所以，所以．

令，则．

所以当时，单调递增；

当时，单调递减．

所以，则，即．

所以a的取值范围为．

［方法三］：换元同构

由题意知，令，所以，所以．

于是．

由于，而在时为增函数，故，即，分离参数后有．

令，所以．

当时，单调递增；当时，单调递减．

所以当时，取得最大值为．所以．

［方法四］：

因为定义域为，且，所以，即．

令，则，所以在区间内单调递增．

因为，所以时，有，即．

下面证明当时，恒成立．

令，只需证当时，恒成立．

因为，所以在区间内单调递增，则．

因此要证明时，恒成立，只需证明即可．

由，得．

上面两个不等式两边相加可得，故时，恒成立．

当时，因为，显然不满足恒成立．

所以a的取值范围为．

【整体点评】

（2）方法一：利用导数判断函数的单调性，求出其最小值，由即可求出，解法虽稍麻烦，但是此类题，也是本题的通性通法；

方法二：利用同构思想将原不等式化成，再根据函数的单调性以及分离参数法即可求出，是本题的最优解；

方法三：通过先换元，令，再同构，可将原不等式化成，再根据函数的单调性以及分离参数法求出；

方法四：由特殊到一般，利用可得的取值范围，再进行充分性证明即可．

21.(1)由题意：

，解得，所求椭圆方程为

(2)方法一

设点Q、A、B的坐标分别为．

由题设知均不为零，记,则且

又A，P，B，Q四点共线，从而

于是 ，

，

从而

，（1） ，（2）

又点A、B在椭圆C上，即

（1）+（2）×2并结合（3），（4）得

即点总在定直线上

22.（1）的直角坐标方程为．

当时，与交于两点．

当时，记，则的方程为．与交于两点当且仅当，解得或，即或．

综上，的取值范围是．

（2）的参数方程为为参数， ．

设，，对应的参数分别为，，，则，且，满足．

于是，．又点的坐标满足

所以点的轨迹的参数方程是 为参数， ．

23.（1）当时，原不等式可化为；

当时，原不等式可化为，即，显然成立，

此时解集为；

当时，原不等式可化为，解得，此时解集为空集；

当时，原不等式可化为，即，显然不成立；此时解集为空集；

综上，原不等式的解集为；

（2）当时，因为，所以由可得，

即，显然恒成立；所以满足题意；

当时，，因为时， 显然不能成立，所以不满足题意；

综上，的取值范围是.