2021湖南省三湘名校教育联盟高一下学期期中联考试题数学含答案

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三湘名校教育联盟·2021年上学期高一期中考试

数学

本试卷共4页。全卷满分150分，考试时间120分钟。

注意事项：

1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合A＝{0，1，2，3}，B＝{x|x(x－4)<0}，则A∪B＝

A.{1，2，3}     B.{x|x<4}     C.{x|0<x<4}     D.{x|0≤x<4}

2.已知直线m、n和平面α、β，下列命题正确的是

A.若m//n，n//α，则m//α      B.若m//α，nα，则m//n

C.若α//β，mβ，则m//α     D.若α//β，mα，nβ，则m//n

3.两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离分别为5km，8km，灯塔A在观察站C的北偏东70°方向上，灯塔B在观察站C的南偏东50°方向上，则灯塔A与B的距离为

A.6km     B.7km     C.6km     D.7km

4.函数y＝sinx＋cosx的图像可由函数y＝sinx－cosx的图像至少向左平移        个单位长度得到

A.     B.     C.     D.

5.已知a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，若bsin2A＋asinB＝0，b＝c，则的值为

A.1     B.     C.     D.

6.等腰三角形底和腰之比为黄金分割比的三角形称为黄金三角形，它是最美的三角形。例如，正五角星由5个黄金三角形和一个正五边形组成，且每个黄金三角形都是顶角为36°的等腰三角形，如图所示，在黄金三角形ABC中，。根据这些信息，可求得cos324°的值为

A.     B.     C.     D.

7.已知f(x)是定义在R上的偶函数，且满足f(x＋2)＝f(x)，当x∈[0，1]时，f(x)＝2x－1，则函数y＝f(x)－|log4|x||的零点个数为

A.2     B.4     C.6     D.8

8.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asinBcosC＋csinBcosA＝b，b＝，a>b，则2a＋c的最大值为

A.2     B.3     C.2     D.3

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9.已知复数z＝，则下列结论中错误的是

A.|z|＝2                  B.z的虚部为－i

C.z的共轭复数为1－i     D.z在复平面内的对应点位于第四象限

10.已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，|a＋b|＝2，则下列结论中正确的是

A.a·b＝－2     B.a⊥(a＋2b)     C.|a－b|＝     D.a与b的夹角为

11.已知a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，△ABC的面积S＝＝，则下列结论中正确的是

A.sinA＝     B.tanB＝1     C.cosC＝－     D.c＝b

12.如图，正三棱柱ABC－A1B1C1中，E是AB的中点，F是BC1的中点，AB＝AA1＝2，则下列结论中正确的是

A.EF//平面ACC1A1

B.该三棱柱有内切球(球与棱柱的每个面都相切)

C.该三棱柱外接球的体积为

D.平面CEF截该三棱柱所得大小两部分的体积比为11：1

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，a＝3，b＝，sinA＝，则B＝       。

14.已知，则＝         。

15.已知正三棱锥A－BCD中，BC＝AB，E是CD的中点，则异面直线BE与AD所成角的余弦值为         。

16.已知△ABC外接圆的圆心为O，其面积S＝abc(a，b，c为△ABC的三边长)，＝0，则△ABC外接圆的半径为         ；cosA的值为         。

四、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(10分)

设平面内三点A(1，0)，B(0，1)，C(2，5)。

(1)求||；

(2)设向量与的夹角为θ，求cosθ。

18.(12分)

已知函数f(x)＝sinxcosx＋cos2x－。

(1)求f(x)的单调递增区间；

(2)设a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，已知f(A)＝，2a＝b＋c，且＝9，求a的值。

19.(12分)

如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是平行四边形，M、N、Q分别为BC、PA、PB的中点。

(1)证明：平面MNQ//平面PCD；

(2)在线段PD上是否存在一点E，使得MN//平面ACE？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由。

20.(12分)

已知a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，sinB＋2sinCcosA＝0。

(1)证明：a2－c2＝2b2；

(2)请问角B是否存在最大值？若存在，求出角B的最大值；若不存在，说明理由。

21.(12分)

如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F、G分别是AB、CC1、AD的中点。

(1)求异面直线B1E与BG所成角的余弦值；

(2)棱CD上是否存在点T，使得AT//平面B1EF？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由。

22.(12分)

在△ABC中，D是BC的中点，AB＝2，AC＝3，AD＝2。

(1)求△ABC的面积；

(2)若E为BC上一点，且，求λ的值。