高中苏教版 (2019)13.3 空间图形的表面积和体积同步练习题

空间图形的体积

1．柱体、锥体、台体的体积

2.球的体积和表面积

若球的半径为R，则

(1)球的体积V＝πR3．

(2)球的表面积S＝4πR2．

1．两个半径为1的铁球，熔化成一个大球，这个大球的半径为(　　)

A．2      B．

C．      D．

【解析】选C.设熔化后的球的半径为R，

则其体积是原来小球的体积的2倍，

即V＝πR3＝2×π×13，得R＝．

2．(教材练习改编)已知圆锥SO的高为4，体积为4π，则底面半径r＝________．

【解析】由已知得4π＝πr2×4，

解得r＝.

答案：

3．如图在所有棱长均为2的正三棱柱ABC­A1B1C1中，三棱锥B­A1C1C的体积是________．

【解析】因为三棱锥B­A1C1C与三棱锥B­A1AC等底同高，故VB­A1C1C＝VB­A1AC，

又VB­A1AC＝VA1­ABC，

所以VB­A1C1C＝VA1­ABC，

而三棱锥A1­ABC的底面就是正三棱柱的底面，它的高就是正三棱柱的高，S△ABC＝×22＝，h＝AA1＝2.

所以VA1­ABC＝××2＝，

即VB­A1C1C＝.

答案：

4．已知一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，若这个球的体积是，求此三棱柱的体积．

【解析】由πR3＝，

得R＝2，

所以正三棱柱的高h＝4.

设其底面边长为a，

则·a＝2，

所以a＝4，

所以V＝×(4)2×4＝48.

一、单选题

1．已知高为3的三棱柱ABC­A1B1C1的底面是边长为1的正三角形(如图)，则三棱锥B1­ABC的体积为(　　)

A．    B．    C．    D．

【解析】选D.V＝Sh＝××3＝.

2．正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为(　　)

A．3π    B．    C．π    D．1

【解析】选B.如图所示，由图可知，该几何体由两个四棱锥构成，并且这两个四棱锥体积相等．四棱锥的底面为正方形，且边长为，故底面积为()2＝2；四棱锥的高为1，故四棱锥的体积为×2×1＝.则几何体的体积为2×＝.

3．若圆锥的侧面展开图为一个半径为2的半圆，则圆锥的体积是(　　)

A．π    B．π    C．π    D．

【解析】选B.设圆锥底面圆的半径为r，高为h，如图所示：

由题意知：2πr＝×2π×2，解得r＝1.

所以h＝＝.

故圆锥的体积V＝×π×12×＝π.

4．(2021·绵阳高一检测)已知四面体ABCD，AD＝2，△BCD为边长为的等边三角形，若顶点A在平面BCD的投影是△BCD垂心，则四面体ABCD的体积为(　　)

A．    B．    C．    D．

【解析】选B.由题意知，△BCD为边长为的等边三角形，

因为顶点A在平面BCD的投影H是△BCD垂心，所以H也为△BCD中心，

所以DE＝×＝，所以DH＝×＝1，

在直角△ADH中，可得AH＝＝＝，

所以三棱锥的体积为V＝S×AH＝××()2×＝.

二、多选题

5．已知棱长都相等的正三棱锥内接于一个球，某学生画出四个过球心的平面截球与正三棱锥所得的图形，如图所示，则正确的是(　　)

【解析】选ABC.正三棱锥内接于球，故其各个顶点均在球面上，若过球心的截面恰好截得三棱锥的面为三角形，则根据其顶点是否在截面上，有如下讨论：

①当用过球心且平行于三棱锥某底面的平面去截球时，三个点都不在截面上，则截面近似A；

②当截面是过球心和三棱锥两个顶点的平面时，它交对棱于中点，中点不在球上，也就不在截面上，则截面近似B；

③当截面是过三棱锥一顶点和球心的平面时，截得的面除了B的情况外，大都是C的情况，即另两点不在球(截面)上；

④当三棱锥的三个顶点都在截面上时，截面不过球心，与题意矛盾．综上可知，只有D是错误的．

6．正三棱锥S­ABC的外接球半径为2，底面边长AB＝3，则此棱锥的体积可能是(　　)

A．    B．    C．    D．3

【解析】选AB.设正三棱锥的高为h，球心在正三棱锥的高所在的直线上，设H为正三棱锥底面的中心．

因为底面边长AB＝3，

所以AH＝AD＝＝，

当顶点S与球心在底面ABC的同侧时，如图，

有AH2＋OH2＝OA2，即()2＋(h－2)2＝22，

解得h＝3或h＝1(舍去)，

所以三棱锥的体积为××3××3＝.

当顶点S与球心在底面ABC的异侧时，如图，

有AH2＋OH2＝OA2，即()2＋(2－h)2＝22，

解得h＝1或h＝3(舍去)，所以三棱锥的体积为××3××1＝，综上三棱锥的体积为或.

三、填空题

7．一个长方体的三个面的面积分别是 ， ， ，则这个长方体的体积为________．

【解析】设长方体的棱长分别为a，b，c，

则三式相乘可知(abc)2＝6，

所以长方体的体积V＝abc＝.

答案：

8．半径为2的半圆卷成一个圆锥，则它的体积为________．

【解析】由题意可知该圆锥的侧面展开图为半圆，

如图所示，设圆锥底面半径为r，高为h，

则

所以

所以它的体积为×π×12×＝π.

答案：π

四、解答题

9．如图，三棱台ABC­A1B1C1中，AB∶A1B1＝1∶2，求三棱锥A1­ABC，三棱锥B­A1B1C，三棱锥C­A1B1C1的体积之比．

【解析】设棱台的高为h，S△ABC＝S，则S△A1B1C1＝4S.所以VA1­ABC＝S△ABC·h＝Sh，

VC­A1B1C1＝S△A1B1C1·h＝Sh.

又V台＝h(S＋4S＋2S)＝Sh，

所以VB­A1B1C＝V台－VA1­ABC－VC­A1B1C1＝Sh－－＝Sh，所以体积比为1∶2∶4.

10．在四棱锥S­ABCD中，底面ABCD是边长为3的正方形，且各侧棱长均为2.求该四棱锥外接球的表面积．

【解析】取正方形ABCD的中心O1，连接SO1并延长交球面于点E.连接CO1，CE，如图．

则球心O在SE上，即SE为球的直径，且SC⊥EC.

因为AB＝3，所以O1C＝3.

在Rt△SO1C中，SC＝2，

所以SO1＝.

在Rt△SCE中，Rt△SCE∽Rt△SO1C，

所以SE＝＝＝4.

所以球半径R＝2.

所以球的表面积为S＝4πR2＝4π·(2)2＝48π.

一、选择题

1．设正六棱锥的底面边长为1，侧棱长为，那么它的体积为(　　)

A．6　　　B．　　　C．2　　　D．2

【解析】选B.由正六棱锥底面边长为1和侧棱长为，可知高h＝2，又因为底面积S＝，所以体积V＝Sh＝××2＝.

2．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺．问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有(　　)

A.14斛    B．22斛    C．36斛    D．66斛

【解析】选B.设底面圆半径为R尺．

因为米堆底部弧长为8尺，所以·2πR＝8，

所以R＝.

所以体积V＝×·πR2×5＝×π×2×5.

因为π≈3，所以V≈(立方尺).

所以堆放的米约为≈22(斛).

3．分别以一个锐角为30°的直角三角形的最短直角边、较长直角边、斜边所在的直线为轴旋转一周，所形成的几何体的体积之比是(　　)

A．1∶∶    B．6∶2∶

C．6∶2∶3    D．3∶2∶6

【解析】选C.设Rt△ABC中，∠BAC＝30°，BC＝1，

则AB＝2，AC＝，求得斜边上的高CD＝，旋转所得几何体的体积分别为V1＝π×()2×1＝π，V2＝π×12×＝π，V3＝π××2＝π.V1∶V2∶V3＝1∶∶＝6∶2∶3.

4．(多选)(2021·寿光高一检测)沙漏是古代的一种计时装置，它由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组成，开始时细沙全部在上部容器中，细沙通过连接管道全部流到下部容器所需要的时间称为该沙漏的一个沙时．如图，某沙漏由上下两个圆锥组成，圆锥的底面直径和高均为8 cm，细沙全部在上部时，其高度为圆锥高度的(细管长度忽略不计).假设该沙漏每秒钟漏下0.02 cm3的沙，且细沙全部漏入下部后，恰好堆成一个盖住沙漏底部的圆锥形沙堆．以下结论正确的是(　　)

A.沙漏中的细沙体积为 cm3

B．沙漏的体积是128πcm3

C．细沙全部漏入下部后此锥形沙堆的高度约为2.4 cm

D．该沙漏的一个沙时大约是1985秒(π≈3.14)

【解析】选ACD.A.根据圆锥的截面图可知：细沙在上部时，细沙的底面半径与圆锥的底面半径之比等于细沙的高与圆锥的高之比，

所以细沙的底面半径r＝×4＝(cm)，所以体积V＝·πr2·＝··＝(cm3)；

B．沙漏的体积V＝2××π××h＝2××π×42×8＝π(cm3)；

C．设细沙流入下部后的高度为h1，根据细沙体积不变可知：＝×π×h1，

所以＝h1，所以h1≈2.4(cm)；

D．因为细沙的体积为cm3，沙漏每秒钟漏下0.02 cm3的沙，

所以一个沙时为：＝×50≈1 985(秒).

二、填空题

5．若正方体的体对角线长为a，则它的体积为________．

【解析】设正方体的边长为x，则x＝a，

故x＝，V＝a3.

答案：a3

6．圆柱形容器内盛有高度为8 cm的水，若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球(如图所示)，则球的半径是________cm.

【解析】设球的半径为x cm，由题意得πx2×8＝πx2×6x－πx3×3，解得x＝4.

答案：4

7．如图①，一个正三棱柱容器，底面边长为a，高为2a，内装水若干，将容器放倒，把一个侧面作为底面，如图②，这时水面恰好为中截面，则图①中容器内水面的高度是____________．

【解析】设题图①中容器内水面的高度为h，水的体积为V，则V＝S△ABCh.又题图②中水组成了一个直四棱柱，其底面积为S△ABC，高度为2a，则V＝S△ABC·2a，

所以h＝＝a.

答案：a

8．湖面上漂着一个小球，湖水结冰后将球取出，冰面上留下了一个直径为6 cm，深为1 cm的空穴，则该球半径是________cm，表面积是________cm2.

【解析】设球心为O，OC是与冰面垂直的一条半径，冰面截球得到的小圆圆心为D，AB为小圆D的一条直径，设球的半径为R cm，则OD＝R－1，

则(R－1)2＋32＝R2，解得R＝5，

所以该球表面积为S＝4πR2＝4π×52＝100π(cm2).

答案：5　100π

三、解答题

9．如图，已知在直三棱柱ABC­A1B1C1中AA1＝AC＝4，BC＝3，AC⊥BC，点D是AB的中点，求三棱锥A1­B1CD的体积．

【思路导引】方法一：VA1­B1C D＝V柱－VA1­ADC－VB1­BDC－VC ­A1B1C1.

方法二：利用等体积法求解，VA1­B1C D＝VC ­A1B1D.

【解析】因为AA1＝AC＝4，BC＝3，AC⊥BC，

所以AB＝A1B1＝5.

方法一：由题意可知

VA1B1C1­ABC＝S△ABC×AA1＝×4×3×4＝24.

又VA1­ADC＝×S△ABC×AA1＝S△ABC×AA1＝4.

VB1­BDC＝×S△ABC×BB1＝S△ABC×BB1＝4.

VC ­A1B1C1＝S△A1B1C1×CC1＝8，

所以VA1­B1CD＝VA1B1C1­ABC－VA1­ADC－VB1­BDC－VC ­A1B1C1＝24－4－4－8＝8.

方法二：在△ABC中过C作CF⊥AB，垂足为F，

由平面ABB1A1⊥平面ABC知，CF⊥平面A1B1BA.

又S△A1B1D＝A1B1·AA1＝×5×4＝10.

在△ABC中，CF＝＝＝.

所以VA1­B1CD＝VC ­A1B1D＝S△A1B1D·CF＝×10×＝8.

10．如图所示，半径为R的半圆内的阴影部分以直径AB所在直线为轴，旋转一周得到一个几何体，求阴影部分形成的几何体的表面积(其中∠BAC＝30°)及其体积．

【解析】如图所示，过点C作CO1⊥AB于点O1，在半圆中可得∠BCA＝90°，∠BAC＝30°，AB＝2R，

所以AC＝R，BC＝R，CO1＝R，

所以S球＝4πR2，S圆锥AO1侧＝π×R×R＝πR2，

S圆锥BO1侧＝π×R×R＝πR2，

S几何体表＝S球＋S圆锥AO1侧＋S圆锥BO1侧＝πR2，

所以旋转所得到的几何体的表面积为πR2.

又V球＝πR3，V圆锥AO1＝AO1·π·CO＝πR2·AO1，V圆锥BO1＝BO1·π·CO＝πR2·BO1，

又AO1＋BO1＝2R，

V几何体＝V球－(V圆锥AO1＋V圆锥BO1)＝πR3.